1. (2023·贵州)如图,在四边形ABCD中,AD//BC,BC= 5,CD= 3.按照图中的尺规作图痕迹作射线DP交BC于点G,则BG的长为( )

A.2
B.3
C.4
D.5

A

由尺规作图痕迹可知，DP是∠ADC的平分线，
∴∠ADP=∠CDP，
∵AD//BC，
∴∠ADP=∠DGC，
∴∠CDP=∠DGC，
∴CG=CD=3，
∵BC=5，
∴BG=BC-CG=5-3=2.
答案：A

2. 如图,AC,BD相交于点O,∠A= ∠D,若再补充一个条件,使得△BOC为等腰三角形,则该条件不能是( )

A.OA= OD
B.AB= CD
C.∠ABO= ∠DCO
D.∠ABC= ∠DCB

C

对于选项A：
∵∠A=∠D，∠AOB=∠DOC，OA=OD，
∴△AOB≌△DOC（ASA），
∴OB=OC，
∴△BOC为等腰三角形。
对于选项B：
∵∠A=∠D，∠AOB=∠DOC，AB=CD，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴OB=OC，
∴△BOC为等腰三角形。
对于选项C：
∵∠A=∠D，∠ABO=∠DCO，
∴△ABO∽△DCO，
∴$\frac{OB}{OC}=\frac{OA}{OD}$，无法得出OB=OC或∠OBC=∠OCB，
∴△BOC不一定为等腰三角形。
对于选项D：
∵∠ABC=∠DCB，∠A=∠D，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB（AAS），
∴AB=DC，∠ABO=∠DCO，
∵∠A=∠D，∠AOB=∠DOC，
∴△AOB≌△DOC（AAS），
∴OB=OC，
∴△BOC为等腰三角形。
C

3. (新情境·现实生活)(2024·沭阳段考)如图,一艘轮船在某海域上由西向东匀速航行,在A处测得小岛P在北偏东75°方向上,继续向东航行12海里到达B处后,在B处测得小岛P在北偏东60°方向上,则轮船在B处时与小岛P的距离为海里.

12

过点P作PC⊥AB，交AB延长线于点C。
由题意得，∠PAC=90°-75°=15°，∠PBC=90°-60°=30°，AB=12海里。
设PC=x海里，在Rt△PBC中，∠PBC=30°，则PB=2x，BC=√(PB²-PC²)=√(4x²-x²)=√3x。
在Rt△PAC中，∠PAC=15°，tan∠PAC=PC/AC，即tan15°=x/(AB+BC)=x/(12+√3x)。
因为tan15°=2-√3，所以2-√3=x/(12+√3x)，解得x=6。
则PB=2x=12海里。
12

4. (2024·重庆B卷)如图,在△ABC中,AB= AC,∠A= 36°,BD平分∠ABC交AC于点D.若BC= 2,则AD的长为.

2

在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=(180°-36°)/2=72°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=72°/2=36°，
∴∠BDC=180°-∠C-∠CBD=180°-72°-36°=72°，
∴∠BDC=∠C，∠ABD=∠A，
∴AD=BD，BD=BC，
∵BC=2，
∴AD=2.

5. 如图,在△ABC中,AB= AC,过点A作BC的平行线交∠ABC的平分线于点D,连接CD.求证:△ACD为等腰三角形.

∵ AD//BC,
∴ ∠ADB=∠DBC.
∵ BD 平分∠ABC，
∴ ∠ABD=∠DBC,
∴ ∠ABD=∠ADB,
∴ AB=AD.
∵ AB=AC,
∴ AD=AC,
∴ △ACD 是等腰三角形

6. (教材P45练习第1题变式)如图,在△ABC中,∠A= 36°,AB= AC,BD是△ABC的角平分线.若在边AB上截取BE= BC,连接DE,则图中的等腰三角形共有( )

A.2个
B.3个
C.4个
D.5个

D 解析:
∵ AB=AC,∠A=36°,
∴ △ABC 是等腰三角形,∠ABC=∠C=$\frac{1}{2}$×(180°-36°)=72°.
∵ BD 是△ABC 的角平分线,
∴ ∠ABD=∠CBD=$\frac{1}{2}$∠ABC=36°,
∴ ∠A=∠ABD,
∴ AD=BD,
∴ △ABD 是等腰三角形.
∵ 在△BCD 中,∠BDC=180°-∠CBD-∠C=180°-36°-72°=72°,
∴ ∠BDC=∠C,
∴ BD=BC,
∴ △BCD 是等腰三角形.又
∵ BE=BC,
∴ BD=BE,
∴ △BDE 是等腰三角形,
∴ ∠BDE=∠BED=$\frac{1}{2}$×(180°-36°)=72°.
∵ ∠BED 是△AED 的外角,∠A=36°,
∴ ∠ADE=∠BED-∠A=72°-36°=36°,
∴ ∠A=∠ADE,
∴ AE=DE,
∴ △ADE 是等腰三角形.综上所述,等腰三角形共有5个.