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1.下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻阳光下的影子的是() 
答案
解：同一时刻阳光下的投影是平行投影，具有如下性质：同一时刻，不同物体的影子朝向相同，且物体的高度与影子长度成正比，即高度更高的树对应的影子更长。
逐一分析选项：
1. 选项A：两棵树的影子朝向不同，不符合平行投影的特征；
2. 选项B：高度更高的树的影子长度小于较矮的树的影子长度，不符合高度与影长成正比的规律；
3. 选项C：两棵树影子朝向相同，且高树的影子长度大于矮树的影子长度，符合同一时刻阳光下平行投影的性质；
4. 选项D：两棵树的影子朝向不同，不符合平行投影的特征。
综上，答案为$\boldsymbol{C}$。
逐一分析选项：
1. 选项A：两棵树的影子朝向不同，不符合平行投影的特征；
2. 选项B：高度更高的树的影子长度小于较矮的树的影子长度，不符合高度与影长成正比的规律；
3. 选项C：两棵树影子朝向相同，且高树的影子长度大于矮树的影子长度，符合同一时刻阳光下平行投影的性质；
4. 选项D：两棵树的影子朝向不同，不符合平行投影的特征。
综上，答案为$\boldsymbol{C}$。
解析
【分析】
要解决这道题，首先需明确同一时刻阳光下的影子属于平行投影，平行投影有两个核心判断依据：一是同一时刻所有物体的影子朝向相同，因为太阳光线是平行光线；二是同一时刻不同物体的高度和影长成正比，也就是越高的物体对应的影子越长。解题时分两步筛选即可：第一步先排查各选项中两棵树的影子朝向是否一致，排除朝向不同的选项；第二步再核对剩余选项里高树和矮树的影长关系，高树的影子应长于矮树的影子，不符合该规律的选项即可排除，最终得到正确答案。
【解析】
同一时刻阳光下的投影属于平行投影，具备两个性质：①同一时刻，不同物体的影子朝向相同；②同一时刻，物体的高度与影长成正比，即高度更高的物体对应的影子更长。
逐一分析选项：
1. 选项A：两棵树的影子朝向相反，不符合平行投影的特征，排除；
2. 选项B：更高的树的影子长度小于矮树的影子长度，不符合物高与影长成正比的规律，排除；
3. 选项C：两棵树影子朝向相同，且高树的影子长度大于矮树的影子长度，符合同一时刻阳光下平行投影的性质；
4. 选项D：两棵树的影子朝向相反，不符合平行投影的特征，排除。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
$\boldsymbol{C}$
【知识点】
平行投影、物高与影长成正比
【点评】
这道题是平行投影性质的基础应用题，解题时可先通过影子朝向快速排除错误选项，再结合物高和影长的比例关系锁定答案，掌握平行投影的核心特征就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先需明确同一时刻阳光下的影子属于平行投影，平行投影有两个核心判断依据：一是同一时刻所有物体的影子朝向相同，因为太阳光线是平行光线；二是同一时刻不同物体的高度和影长成正比，也就是越高的物体对应的影子越长。解题时分两步筛选即可：第一步先排查各选项中两棵树的影子朝向是否一致，排除朝向不同的选项；第二步再核对剩余选项里高树和矮树的影长关系，高树的影子应长于矮树的影子，不符合该规律的选项即可排除，最终得到正确答案。
【解析】
同一时刻阳光下的投影属于平行投影，具备两个性质：①同一时刻，不同物体的影子朝向相同；②同一时刻，物体的高度与影长成正比，即高度更高的物体对应的影子更长。
逐一分析选项：
1. 选项A：两棵树的影子朝向相反，不符合平行投影的特征，排除；
2. 选项B：更高的树的影子长度小于矮树的影子长度，不符合物高与影长成正比的规律，排除；
3. 选项C：两棵树影子朝向相同，且高树的影子长度大于矮树的影子长度，符合同一时刻阳光下平行投影的性质；
4. 选项D：两棵树的影子朝向相反，不符合平行投影的特征，排除。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
$\boldsymbol{C}$
【知识点】
平行投影、物高与影长成正比
【点评】
这道题是平行投影性质的基础应用题，解题时可先通过影子朝向快速排除错误选项，再结合物高和影长的比例关系锁定答案，掌握平行投影的核心特征就能轻松解答。
【难度系数】
0.8
2.下图是小红在一天中四个不同时刻看到的同一棵树的影子。将它们按时间先后顺序排列，正确的是()
①
③ ④
A.①②③④
B.④②①③
C.④①②③
D.①③④②
①
③ ④A.①②③④
B.④②①③
C.④①②③
D.①③④②
答案
B
解析
【分析】
解这道题首先要回忆北半球一天中平行投影的变化规律：太阳东升西落，影子的朝向始终与太阳所在方位相反，因此从早到晚影子的朝向依次为西→西北→北→东北→东，影长先逐渐变短，正午时最短，之后逐渐变长。首先明确图中方向标遵循上北下南、左西右东的规则，且图中三角形的尖端指向就是影子的朝向，细杆代表树的位置。接下来依次判断四个图的影子朝向，对应到大致的时间段，再按时间先后排序即可得到答案。
【解析】
首先根据方向标确定方位规则：上为北、右为东，因此方位为上北下南，左西右东。
北半球从早晨到傍晚，太阳的方位变化为东→东南→南→西南→西，由于影子朝向与太阳所在方位相反，因此物体影子的朝向变化规律为：西→西北→北→东北→东。
观察四个图形的影子朝向（三角形尖端为影子朝向）：
1. 图④影子朝西（向左），对应清晨，时间最早；
2. 图②影子朝西北（向左上），对应上午，时间晚于④；
3. 图①影子朝东北（向右上），对应下午，时间晚于②；
4. 图③影子朝东（向右），对应傍晚，时间最晚。
因此按时间先后顺序排列为④②①③，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平行投影的规律，方向辨认
【点评】
这道题结合生活实际考查平行投影的应用，解题核心是掌握一天中影子的朝向变化规律，易错点是容易混淆影子和太阳的方位关系，结合日常观察到的太阳升降规律就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
解这道题首先要回忆北半球一天中平行投影的变化规律：太阳东升西落，影子的朝向始终与太阳所在方位相反，因此从早到晚影子的朝向依次为西→西北→北→东北→东，影长先逐渐变短，正午时最短，之后逐渐变长。首先明确图中方向标遵循上北下南、左西右东的规则，且图中三角形的尖端指向就是影子的朝向，细杆代表树的位置。接下来依次判断四个图的影子朝向，对应到大致的时间段，再按时间先后排序即可得到答案。
【解析】
首先根据方向标确定方位规则：上为北、右为东，因此方位为上北下南，左西右东。
北半球从早晨到傍晚，太阳的方位变化为东→东南→南→西南→西，由于影子朝向与太阳所在方位相反，因此物体影子的朝向变化规律为：西→西北→北→东北→东。
观察四个图形的影子朝向（三角形尖端为影子朝向）：
1. 图④影子朝西（向左），对应清晨，时间最早；
2. 图②影子朝西北（向左上），对应上午，时间晚于④；
3. 图①影子朝东北（向右上），对应下午，时间晚于②；
4. 图③影子朝东（向右），对应傍晚，时间最晚。
因此按时间先后顺序排列为④②①③，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
平行投影的规律，方向辨认
【点评】
这道题结合生活实际考查平行投影的应用，解题核心是掌握一天中影子的朝向变化规律，易错点是容易混淆影子和太阳的方位关系，结合日常观察到的太阳升降规律就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
3. 提升题 光伏发电可为城市提供清洁能源，减少污染与能源消耗。如图，一块长(BC)8 m、宽(AB)1.5 m的矩形太阳能电池板与水平面成$30°$角，该电池板在太阳光下的正投影在水平面上形成的阴影面积为。
答案
解：在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠CBD=30°，BC=8 m，
∴ BD = BC · cos30° = 8 × $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $4\sqrt{3}$ m。
∵ 矩形电池板的边AB平行于水平面，其正投影长度仍为1.5 m，
∴ 水平面上的阴影为矩形，面积为：
$S = BD × AB = 4\sqrt{3} × 1.5 = 6\sqrt{3} \ \mathrm{m}^2$。
答：该电池板形成的阴影面积为$6\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$。
∴ BD = BC · cos30° = 8 × $\frac{\sqrt{3}}{2}$ = $4\sqrt{3}$ m。
∵ 矩形电池板的边AB平行于水平面，其正投影长度仍为1.5 m，
∴ 水平面上的阴影为矩形，面积为：
$S = BD × AB = 4\sqrt{3} × 1.5 = 6\sqrt{3} \ \mathrm{m}^2$。
答：该电池板形成的阴影面积为$6\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$。
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确正投影的性质：平行光线垂直照射水平面时，平行于水平面的线段正投影长度与原长相等，倾斜于水平面的线段的水平投影长度可通过解直角三角形计算。本题中太阳能电池板为矩形，边AB平行于水平面，投影长度不变；边BC与水平面成30°角，先利用三角函数求出BC的水平投影BD的长度，阴影为矩形，将两个邻边的投影长度相乘即可得到阴影面积。
【解析】
解：在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠CBD=30°，BC=8 m，
根据余弦的定义可得：
$BD = BC · \cos30° = 8 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ m。
∵ 矩形电池板的边AB平行于水平面，由正投影性质可知其正投影长度与原长相等，仍为1.5 m，
∴ 水平面上的阴影为矩形，面积为：
$S = BD × AB = 4\sqrt{3} × 1.5 = 6\sqrt{3} \ \mathrm{m}^2$。
【答案】
$6\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
正投影的性质，解直角三角形，矩形面积计算
【点评】
本题结合光伏发电的实际场景，将生活问题转化为几何投影问题，既考查了对正投影特点的理解，也考查了三角函数的实际应用，解题核心是准确求出倾斜边的水平投影长度，能够锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.6
要解决本题，首先需明确正投影的性质：平行光线垂直照射水平面时，平行于水平面的线段正投影长度与原长相等，倾斜于水平面的线段的水平投影长度可通过解直角三角形计算。本题中太阳能电池板为矩形，边AB平行于水平面，投影长度不变；边BC与水平面成30°角，先利用三角函数求出BC的水平投影BD的长度，阴影为矩形，将两个邻边的投影长度相乘即可得到阴影面积。
【解析】
解：在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠CBD=30°，BC=8 m，
根据余弦的定义可得：
$BD = BC · \cos30° = 8 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 4\sqrt{3}$ m。
∵ 矩形电池板的边AB平行于水平面，由正投影性质可知其正投影长度与原长相等，仍为1.5 m，
∴ 水平面上的阴影为矩形，面积为：
$S = BD × AB = 4\sqrt{3} × 1.5 = 6\sqrt{3} \ \mathrm{m}^2$。
【答案】
$6\sqrt{3}\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
正投影的性质，解直角三角形，矩形面积计算
【点评】
本题结合光伏发电的实际场景，将生活问题转化为几何投影问题，既考查了对正投影特点的理解，也考查了三角函数的实际应用，解题核心是准确求出倾斜边的水平投影长度，能够锻炼学生将实际问题转化为数学模型的能力。
【难度系数】
0.6
4.在阳光下，一座高为1.8 m的雕像在地面上的影长为3.6 m。同一时刻，该处另一座高为1.6 m的雕像在地面上的影长为 m。
答案
解：设高为1.6 m的雕像在地面上的影长为x m。
同一时刻，阳光下物体的高度与影长成正比，因此可得：
$\frac{1.8}{3.6}=\frac{1.6}{x}$
解得 $x=3.2$。
答：该处高为1.6 m的雕像在地面上的影长为3.2 m。
同一时刻，阳光下物体的高度与影长成正比，因此可得：
$\frac{1.8}{3.6}=\frac{1.6}{x}$
解得 $x=3.2$。
答：该处高为1.6 m的雕像在地面上的影长为3.2 m。
解析
【分析】
解题时首先要明确，同一时刻的阳光下太阳光线是平行的，此时不同物体的高度和其对应影长的比值相等，本质是相似三角形对应边成比例。我们可以先设未知影长为x m，再根据物高与影长的比例相等列方程，最后解方程即可得到结果。
【解析】
解：设高为1.6 m的雕像在地面上的影长为x m。
同一时刻，阳光下物体的高度与影长成正比，因此可得：
$\frac{1.8}{3.6}=\frac{1.6}{x}$
交叉相乘得：$1.8x=1.6×3.6$
计算得：$1.8x=5.76$
解得：$x=3.2$
【答案】
3.2
【知识点】
平行投影的性质、相似三角形的应用、比例方程求解
【点评】
这是结合生活实际的基础应用题，核心考查同一时刻物高与影长的正比例关系，解题思路清晰，计算难度低，掌握相关规律即可快速作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确，同一时刻的阳光下太阳光线是平行的，此时不同物体的高度和其对应影长的比值相等，本质是相似三角形对应边成比例。我们可以先设未知影长为x m，再根据物高与影长的比例相等列方程，最后解方程即可得到结果。
【解析】
解：设高为1.6 m的雕像在地面上的影长为x m。
同一时刻，阳光下物体的高度与影长成正比，因此可得：
$\frac{1.8}{3.6}=\frac{1.6}{x}$
交叉相乘得：$1.8x=1.6×3.6$
计算得：$1.8x=5.76$
解得：$x=3.2$
【答案】
3.2
【知识点】
平行投影的性质、相似三角形的应用、比例方程求解
【点评】
这是结合生活实际的基础应用题，核心考查同一时刻物高与影长的正比例关系，解题思路清晰，计算难度低，掌握相关规律即可快速作答。
【难度系数】
0.8
5.《孙子算经》中有这样一道题：“今有竿不知长短，度其影得一丈五尺。别立一表，长一尺五寸，影得五寸。问竿长几何。”意思是：有一根竹竿不知道有多长，直立后测得它在阳光下的影长为一丈五尺，同时直立一根长一尺五寸的标杆，测得其影长为五寸（1丈＝10尺，1尺＝10寸），问竹竿长多少。如图，这根竹竿的长为尺。
答案
$\boldsymbol{45}$
解析
【分析】
同一时刻太阳光为平行光线，竹竿、标杆均与地面垂直，因此竹竿与其影子、标杆与其影子分别构成的两个直角三角形相似，相似三角形对应边成比例，即同一时刻物高和影长的比值相等。解题时先统一长度单位，再根据比例关系列方程求解即可。
【解析】
先统一单位：
一丈五尺 = 15尺，一尺五寸 = 1.5尺，五寸 = 0.5尺。
设竹竿的长为$x$尺，根据同一时刻物高与影长成正比，列比例式：
$\frac{x}{15}=\frac{1.5}{0.5}$
解得：$x=15×3=45$
【答案】
$\boldsymbol{45}$
【知识点】
相似三角形的应用、平行投影的性质
【点评】
本题结合古代数学名著设置情境，考查了利用相似三角形或平行投影的性质解决实际问题的能力，解题的核心是明确同一时刻物高与影长成正比，同时要注意单位统一，避免因单位换算错误失分。
【难度系数】
0.8
同一时刻太阳光为平行光线，竹竿、标杆均与地面垂直，因此竹竿与其影子、标杆与其影子分别构成的两个直角三角形相似，相似三角形对应边成比例，即同一时刻物高和影长的比值相等。解题时先统一长度单位，再根据比例关系列方程求解即可。
【解析】
先统一单位：
一丈五尺 = 15尺，一尺五寸 = 1.5尺，五寸 = 0.5尺。
设竹竿的长为$x$尺，根据同一时刻物高与影长成正比，列比例式：
$\frac{x}{15}=\frac{1.5}{0.5}$
解得：$x=15×3=45$
【答案】
$\boldsymbol{45}$
【知识点】
相似三角形的应用、平行投影的性质
【点评】
本题结合古代数学名著设置情境，考查了利用相似三角形或平行投影的性质解决实际问题的能力，解题的核心是明确同一时刻物高与影长成正比，同时要注意单位统一，避免因单位换算错误失分。
【难度系数】
0.8
6.如图,长方体的一个底面ABCD在投影面P上,M,N分别是侧棱BF,CG的中点,连接MN,EM,HN。矩形EFGH与矩形EMNH的投影都是矩形ABCD,设它们的面积分别是$S_1,S_2,S$,则$S_1,S_2,S$的大小关系是（用“＞”“＜”或“=”连接）。
答案
$\boldsymbol{S_1 = S ＜ S_2}$
解析
【分析】
解题时先结合正投影的性质和长方体的特征判断S₁与S的关系，再通过比较矩形EMNH和EFGH的边长，推导S₂和S₁的大小关系：①长方体的上下底面平行且全等，顶面EFGH平行于投影面P，它的正投影和本身全等，因此S₁和S相等；②矩形EMNH和EFGH有公共边EH，只需比较另一组对边EM和EF的长度，EM是直角三角形的斜边，长度大于直角边EF，因此S₂大于S₁，即可得出三者的大小关系。
【解析】
1. 长方体中矩形EFGH与底面ABCD平行且全等，由正投影的性质可知，平行于投影面的平面图形的正投影与原图形全等，已知EFGH的投影是ABCD，因此$\boldsymbol{S_1 = S}$。
2. 矩形EMNH的边EH与矩形EFGH的边EH长度相等；M是侧棱BF的中点，在$Rt△ EFM$中，EM为斜边，根据直角三角形中斜边大于直角边，可得$EM＞EF$。
3. 由矩形面积公式：$S_1 = EH × EF$，$S_2 = EH × EM$，因为$EM＞EF$，因此$\boldsymbol{S_2 ＞ S_1}$。
综上，三者大小关系为$S_1 = S ＜ S_2$。
【答案】
$S_1 = S ＜ S_2$
【知识点】
正投影的性质、矩形面积计算、长方体的特征
【点评】
本题将立体图形的投影和面积比较结合，解题的关键是抓住两个矩形的公共边，通过比较另一组边长的大小判断面积关系，难度不大，侧重对基础概念的理解和应用。
【难度系数】
0.7
解题时先结合正投影的性质和长方体的特征判断S₁与S的关系，再通过比较矩形EMNH和EFGH的边长，推导S₂和S₁的大小关系：①长方体的上下底面平行且全等，顶面EFGH平行于投影面P，它的正投影和本身全等，因此S₁和S相等；②矩形EMNH和EFGH有公共边EH，只需比较另一组对边EM和EF的长度，EM是直角三角形的斜边，长度大于直角边EF，因此S₂大于S₁，即可得出三者的大小关系。
【解析】
1. 长方体中矩形EFGH与底面ABCD平行且全等，由正投影的性质可知，平行于投影面的平面图形的正投影与原图形全等，已知EFGH的投影是ABCD，因此$\boldsymbol{S_1 = S}$。
2. 矩形EMNH的边EH与矩形EFGH的边EH长度相等；M是侧棱BF的中点，在$Rt△ EFM$中，EM为斜边，根据直角三角形中斜边大于直角边，可得$EM＞EF$。
3. 由矩形面积公式：$S_1 = EH × EF$，$S_2 = EH × EM$，因为$EM＞EF$，因此$\boldsymbol{S_2 ＞ S_1}$。
综上，三者大小关系为$S_1 = S ＜ S_2$。
【答案】
$S_1 = S ＜ S_2$
【知识点】
正投影的性质、矩形面积计算、长方体的特征
【点评】
本题将立体图形的投影和面积比较结合，解题的关键是抓住两个矩形的公共边，通过比较另一组边长的大小判断面积关系，难度不大，侧重对基础概念的理解和应用。
【难度系数】
0.7
