1.已知$5m + 4n - 3 = 0$，求$32^m · 16^n$的值.

1.由 5m+4n−3=0,得 5m+4n=3.
将 32^m · 16^n转化为$ 2^{5m} · 2^{4n}=2^{5m+4n}.$
代入 5m+4n=3,得$ 2^3=8.$

【分析】
首先观察待求式$32^m ·16^n$，两个因式的底数32、16均为2的整数次幂，因此可先利用幂的乘方法则将两个式子的底数统一为2；再根据同底数幂相乘、底数不变指数相加的法则，将待求式转化为以2为底、指数为$5m+4n$的幂的形式；接着对已知等式$5m+4n-3=0$移项，可得到$5m+4n$的值，最后将该值整体代入转化后的待求式计算即可得到结果。
【解析】
解：由$5m + 4n - 3 = 0$，移项可得$5m + 4n = 3$。
根据幂的乘方法则对待求式变形：
$32^m = (2^5)^m = 2^{5m}$，$16^n = (2^4)^n = 2^{4n}$
根据同底数幂的乘法法则计算：
$32^m · 16^n = 2^{5m} · 2^{4n} = 2^{5m + 4n}$
将$5m + 4n = 3$代入上式，得：
$2^{5m + 4n} = 2^3 = 8$
【答案】
$8$
【知识点】
幂的乘方运算，同底数幂乘法，整体代入求值
【点评】
本题是幂的运算法则的典型应用题型，解题核心是通过幂的运算性质将待求式的指数与已知条件中的代数式建立联系，利用整体代入的思想简化计算，熟练掌握幂的相关运算法则是解决这类问题的前提。
【难度系数】
0.8

2.已知$x+2y-2=0$,求$4^y · 2^x$的值.

2.由已知 x+2y−2=0,可得 x+2y=2.
将 4^y 转化为$ 2^{2y},$则$ 4^y · 2^x=2^{2y} · 2^x=2^{x+2y}.$
代入 x+2y=2,得到$ 2^2=4.$

【分析】
解题时先观察所求式子的结构，两个幂的底数分别为4和2，首先利用幂的乘方法则把底数为4的幂转化为底数为2的幂，再根据同底数幂的乘法法则合并两个幂，此时合并后幂的指数恰好是已知等式中含未知数的部分，最后把已知条件变形得到的x+2y的值整体代入计算即可，不需要单独求解x、y的具体值。
【解析】
解：由已知$x+2y-2=0$，移项可得$x+2y=2$。
根据幂的乘方法则，$4^y=(2^2)^y=2^{2y}$，因此：
$4^y · 2^x=2^{2y} · 2^x$
再根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得：
$2^{2y} · 2^x=2^{x+2y}$
将$x+2y=2$代入上式计算：
$2^{x+2y}=2^2=4$
【答案】
4
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方运算；整体代入求值
【点评】
本题是幂的运算法则的基础应用题型，解题核心是将不同底数的幂统一为同底数幂，再利用整体思想代入求值，避免了单独求解未知数的繁琐，能很好地考查对幂的运算性质的掌握程度和整体代换思想的运用能力。
【难度系数】
0.8

3.已知$2x + 3y - 4 = 0$，求$9^x · 27^y$的值.

3.
∵2x+3y−4=0,
∴2x+3y=4.
∴$9^x · 27^y=(3^2)^x × (3^3)^y=3^{2x} × 3^{3y}=3^{2x+3y}=3^4=81.$

【分析】
解题时先观察所求代数式的底数特征，9和27都可以转化为以3为底的幂，因此先统一底数，再利用幂的运算法则将所求式子的指数合并为2x+3y；接着从已知方程中移项求出2x+3y的值，最后整体代入化简后的式子计算即可得到结果。
【解析】
∵2x + 3y - 4 = 0，
∴2x + 3y = 4，
∴$9^x · 27^y = (3^2)^x × (3^3)^y = 3^{2x} × 3^{3y} = 3^{2x+3y} = 3^4 = 81$。
【答案】
81
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法；整体代入求值
【点评】
本题是幂的运算法则的基础活用题型，解题的核心是将不同底数的幂转化为同底数幂，再结合已知条件整体代入指数计算，熟练掌握幂的相关运算性质是解题的前提。
【难度系数】
0.8

4.若$4^{x-3}=2^{42}$，求$x$的值.

4.
∵$4^{x−3}=2^{42},$
∴$(2^2)^{x−3}=2^{42}.$
∴$2^{2x−6}=2^{42}.$
∴2x−6=42.
∴x=24.

【分析】
解题时首先观察等式两边幂的底数，发现4是2的平方，因此可以先将等式两边的幂统一为底数为2的形式，再利用幂的乘方法则化简左侧式子，最后根据“同底数且不为0、1的两个幂相等时，对应指数相等”的性质列一元一次方程，即可求出x的值。
【解析】
解：
∵$4^{x−3}=2^{42},$
∴将4转化为$2^2$代入得：$(2^2)^{x−3}=2^{42}.$
根据幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$化简得：$2^{2x−6}=2^{42}.$
∵底数2≠0且2≠1，同底数幂相等则指数相等，
∴$2x−6=42.$
移项计算得$2x=48$，解得$x=24.$
【答案】
$x=24$
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的性质；一元一次方程求解
【点评】
本题属于幂的运算法则的基础应用题型，解题关键是掌握不同底数幂转化为同底数幂的方法，结合指数相等建立方程求解，能很好地考察学生对幂的运算规则的掌握情况和转化思想的运用能力。
【难度系数】
0.8

5.已知$2^{x+3} · 3^{x+3} = 6^{2x-4}$，求$x$的值.

5.
∵$2^{x+3} · 3^{x+3}=6^{2x−4},$
∴$(2×3)^{x+3}=6^{2x−4}.$
∴$6^{x+3}=6^{2x−4}.$
∴x+3=2x−4,解得 x=7.

【分析】
解题时先观察等式左侧的结构，发现两个幂的指数相同，符合积的乘方逆运算的特征，因此可先将左侧合并为底数是6的幂；此时等式左右两边幂的底数相同，根据“若两个同底数幂相等，则它们的指数相等”的性质，即可列出关于x的一元一次方程，解方程就能求出x的值。
【解析】
∵$2^{x+3} · 3^{x+3}=6^{2x−4},$
∴逆用积的乘方法则得：$(2×3)^{x+3}=6^{2x−4},$
化简得：$6^{x+3}=6^{2x−4},$
根据同底数幂相等的性质，指数相等，可得：
$x+3=2x−4,$
移项计算得：$x=7.$
【答案】
$x=7$
【知识点】
积的乘方逆运算；同底数幂的性质；解一元一次方程
【点评】
本题是幂的运算法则的典型应用题目，核心是灵活运用积的乘方的逆运算对式子进行化简，再结合同底数幂的性质转化为整式方程求解，熟练掌握幂的相关运算法则即可顺利解题。
【难度系数】
0.8

6.已知$9^b=4$，$3^a=2$，求$3^{3a+2b}$的值.

6.
∵9^b=4,3^a=2,
∴$3^{3a+2b}=3^{3a}×3^{2b}=(3^a)^3×(3^2)^b=(3^a)^3×9^b=2^3×4=8×4=32.$

【分析】
解题时首先观察所求式子$3^{3a+2b}$的结构，指数是两部分相加的形式，首先想到逆用同底数幂的乘法法则，将其拆分为两个同底数幂相乘的形式$3^{3a} × 3^{2b}$；再观察拆分后两个幂的指数都是乘积形式，逆用幂的乘方法则，将$3^{3a}$变形为$(3^a)^3$，将$3^{2b}$变形为$(3^2)^b=9^b$，刚好变形后的式子中包含题目给出的已知条件$3^a=2$和$9^b=4$，最后代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：$\because 9^b=4$，$3^a=2$，
$\begin{aligned}\therefore 3^{3a+2b}&=3^{3a} × 3^{2b} \\&=(3^a)^3 × (3^2)^b \\&=(3^a)^3 × 9^b \\&=2^3 × 4 \\&=8 × 4 \\&=32\end{aligned}$
【答案】
32
【知识点】
1.同底数幂的乘法
2.幂的乘方
3.幂的运算逆用
【点评】
本题核心考查幂的运算法则的灵活运用，难点在于熟练逆用幂的运算公式对所求式子进行变形，将未知式子转化为含有已知条件的形式即可求解，熟练掌握幂的相关运算公式是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8

7.已知$a^m = 4$，$a^n = 7$，求$a^{m+n}$的值.

7.
∵a^m=4,a^n=7,
∴$a^{m+n}=a^m · a^n=4×7=28.$

【分析】
本题考查同底数幂乘法法则的逆用，解题思路如下：首先回忆同底数幂的乘法公式：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$a^m · a^n = a^{m+n}$。反过来推导可得$a^{m+n} = a^m · a^n$，题目已经给出$a^m$和$a^n$的具体数值，将其代入拆分后的式子计算即可得到结果。
【解析】
已知$a^m = 4$，$a^n = 7$，
根据同底数幂乘法法则的逆运算可得：
$a^{m+n}=a^m · a^n$
代入已知数值计算：
$a^{m+n}=4×7=28$
【答案】
28
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的运算逆用
【点评】
本题属于幂的运算的基础题型，核心考查对同底数幂乘法公式变形的掌握程度，熟练记忆公式的正用和逆用规则即可快速求解。
【难度系数】
0.9

8.已知$2^m=3,2^n=5$,求:①$2^{3m}$的值;②$2^{3m+2n}$的值.

8.①
∵2^m=3,
∴$2^{3m}=(2^m)^3=3^3=27.$
②由已知得$ 2^{3m+2n}=2^{3m} · 2^{2n},$且$ 2^{2n}=(2^n)^2.$
又
∵2^m=3,2^n=5,
∴$2^{3m}=(2^m)^3=3^3=27,2^{2n}=(2^n)^2=5^2=25.$
∴$2^{3m+2n}=2^{3m} · 2^{2n}=27×25=675.$

【分析】
这道题考查幂的运算法则的逆用，解题思路如下：①求$2^{3m}$的值时，观察到指数$3m$是$m$的3倍，对应幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$的逆用，即$a^{mn}=(a^m)^n$，因此可将$2^{3m}$变形为$(2^m)^3$，代入已知$2^m=3$即可计算。②求$2^{3m+2n}$的值时，观察到指数是两个项的和，对应同底数幂乘法法则$a^m·a^n=a^{m+n}$的逆用，即$a^{m+n}=a^m·a^n$，先将原式拆分为$2^{3m}·2^{2n}$，再将$2^{2n}$通过幂的乘方逆用变形为$(2^n)^2$，最后代入已知条件和①的计算结果相乘即可。
【解析】
①
∵$2^m=3$,
∴$2^{3m}=(2^m)^3=3^3=27$.
②由幂的运算法则可得$2^{3m+2n}=2^{3m} · 2^{2n}$，且$2^{2n}=(2^n)^2$.
又
∵$2^m=3,2^n=5$,
∴$2^{3m}=(2^m)^3=3^3=27$，$2^{2n}=(2^n)^2=5^2=25$.
∴$2^{3m+2n}=2^{3m} · 2^{2n}=27×25=675$.
【答案】
①$\boxed{27}$；②$\boxed{675}$
【知识点】
幂的乘方运算；同底数幂的乘法；幂的运算法则逆用
【点评】
本题侧重考查幂的运算法则的灵活应用，掌握幂的相关公式的正用、逆用变形是解决此类代数式求值问题的关键，属于幂运算部分的常规基础题型。
【难度系数】
0.8

9.已知$n$为正整数，且$x^{2n}=4$，求$(x^{3n})^2 - 2(x^2)^{2n}$的值。

$9.(x^{3n})^2−2(x^2)^{2n}=x^{6n}−2x^{4n}=(x^{2n})^3−2(x^{2n})^2,$
将$ x^{2n}=4 $代入,得$ 4^3−2×4^2=64−32=32.$

【分析】
解题时首先观察已知条件给出的是$x^{2n}$的取值，因此需要将所求代数式利用幂的乘方运算法则进行变形，把所有未知幂的指数都转化为$2n$的倍数，再通过整体代入已知值计算即可得到结果。第一步先利用幂的乘方法则$(a^m)^n=a^{mn}$化简所求式的每一项，第二步逆用幂的乘方法则将变形后的式子转化为含$x^{2n}$的形式，第三步代入数值计算即可。
【解析】
根据幂的乘方法则化简原式：
$\begin{aligned}(x^{3n})^2 - 2(x^2)^{2n}&=x^{3n×2} - 2x^{2×2n}\\&=x^{6n} - 2x^{4n}\\&=(x^{2n})^3 - 2(x^{2n})^2\end{aligned}$
将$x^{2n}=4$代入上式计算：
$\begin{aligned}原式&=4^3 - 2×4^2\\&=64 - 2×16\\&=64 - 32\\&=32\end{aligned}$
【答案】
$32$
【知识点】
1.幂的乘方运算
2.整体代入求值
3.幂的运算法则逆用
【点评】
本题是幂的运算法则的典型应用题型，核心是熟练掌握幂的乘方的正逆运算，学会将所求代数式向已知条件的形式转化，通过整体代入的方法简化计算，运算时注意指数的计算不要出错。
【难度系数】
0.8