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11. 阅读材料，解答下列问题：
已知实数$m,n$满足$3m^2 -5m -2=0,3n^2 -5n -2=0$，且$m≠n$，求$m^2n + mn^2$的值.
解:根据题意,可将$m,n$看作方程$3x^2 -5x -2=0$的两个实数根.
∴ $m+n=$,$mn=$.
∴ $m^2n + mn^2 = mn(m+n)=$.
(1) 已知实数$a,b$满足$a^2=2a+3,9b^2=6b+3$，且$a≠3b$，求$ab$的值.
(2) 已知实数$m,n$满足$m + mn + n=\frac{a^2}{4} -6$，$m - mn + n=-\frac{a^2}{4} +2a$，求实数$a$的最大整数值.
已知实数$m,n$满足$3m^2 -5m -2=0,3n^2 -5n -2=0$，且$m≠n$，求$m^2n + mn^2$的值.
解:根据题意,可将$m,n$看作方程$3x^2 -5x -2=0$的两个实数根.
∴ $m+n=$,$mn=$.
∴ $m^2n + mn^2 = mn(m+n)=$.
(1) 已知实数$a,b$满足$a^2=2a+3,9b^2=6b+3$，且$a≠3b$，求$ab$的值.
(2) 已知实数$m,n$满足$m + mn + n=\frac{a^2}{4} -6$，$m - mn + n=-\frac{a^2}{4} +2a$，求实数$a$的最大整数值.
答案
解:根据题意,可将$m,n$看作方程$3x^2 -5x -2=0$的两个实数根.
∴ $m+n=\boldsymbol{\frac{5}{3}}$,$mn=\boldsymbol{-\frac{2}{3}}$.
∴ $m^2n + mn^2 = mn(m+n)=\boldsymbol{-\frac{10}{9}}$.
(1) 解：
由$a^2=2a+3$整理得：$a^2 -2a -3=0$，
由$9b^2=6b+3$变形得：$(3b)^2 - 2· 3b -3=0$，
又$\because a≠ 3b$，
$\therefore a$和$3b$可看作一元二次方程$x^2 -2x -3=0$的两个实数根，
由根与系数的关系得：$a· 3b = -3$，
$\therefore ab=-1$。
(2) 解：
将已知两式相加：
$(m+mn+n)+(m-mn+n)=\frac{a^2}{4}-6 -\frac{a^2}{4}+2a$，
化简得：$2(m+n)=2a-6$，即$m+n=a-3$。
将已知两式相减：
$(m+mn+n)-(m-mn+n)=\frac{a^2}{4}-6 +\frac{a^2}{4}-2a$，
化简得：$2mn=\frac{a^2}{2}-2a-6$，即$mn=\frac{a^2}{4}-a-3$。
$\therefore m,n$是一元二次方程$x^2-(a-3)x+\frac{a^2}{4}-a-3=0$的两个实数根，
$\therefore$ 该方程的判别式$\Delta≥0$，
即$\Delta=[-(a-3)]^2 -4×1×(\frac{a^2}{4}-a-3)≥0$，
展开计算：
$a^2-6a+9 -a^2 +4a +12≥0$，
$-2a+21≥0$，
解得$a≤10.5$，
$\therefore$ 实数$a$的最大整数值为$10$。
∴ $m+n=\boldsymbol{\frac{5}{3}}$,$mn=\boldsymbol{-\frac{2}{3}}$.
∴ $m^2n + mn^2 = mn(m+n)=\boldsymbol{-\frac{10}{9}}$.
(1) 解：
由$a^2=2a+3$整理得：$a^2 -2a -3=0$，
由$9b^2=6b+3$变形得：$(3b)^2 - 2· 3b -3=0$，
又$\because a≠ 3b$，
$\therefore a$和$3b$可看作一元二次方程$x^2 -2x -3=0$的两个实数根，
由根与系数的关系得：$a· 3b = -3$，
$\therefore ab=-1$。
(2) 解：
将已知两式相加：
$(m+mn+n)+(m-mn+n)=\frac{a^2}{4}-6 -\frac{a^2}{4}+2a$，
化简得：$2(m+n)=2a-6$，即$m+n=a-3$。
将已知两式相减：
$(m+mn+n)-(m-mn+n)=\frac{a^2}{4}-6 +\frac{a^2}{4}-2a$，
化简得：$2mn=\frac{a^2}{2}-2a-6$，即$mn=\frac{a^2}{4}-a-3$。
$\therefore m,n$是一元二次方程$x^2-(a-3)x+\frac{a^2}{4}-a-3=0$的两个实数根，
$\therefore$ 该方程的判别式$\Delta≥0$，
即$\Delta=[-(a-3)]^2 -4×1×(\frac{a^2}{4}-a-3)≥0$，
展开计算：
$a^2-6a+9 -a^2 +4a +12≥0$，
$-2a+21≥0$，
解得$a≤10.5$，
$\therefore$ 实数$a$的最大整数值为$10$。
解析
【分析】
解题核心是运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）及判别式的性质，结合整体代换思想简化计算。题干填空部分：当两个不同实数满足结构相同的一元二次方程时，可将二者看作该方程的两个不等实根，直接用韦达定理得两根和与积，再因式分解所求代数式代入计算即可。(1)问先对两个已知等式变形，使a和3b满足同一个一元二次方程，结合a≠3b的条件，将二者看作方程两根，用韦达定理求乘积即可得ab的值。(2)问先对两个已知等式做加减运算，整体求出m+n和mn的值，再将m、n看作对应一元二次方程的两根，利用方程有实根则判别式≥0的性质列不等式，求解a的范围后即可得到a的最大整数值。
【解析】
题干填空部分
根据题意，m、n是方程$3x^2 -5x -2=0$的两个不等实根，由韦达定理得：
$m+n=\frac{5}{3}$，$mn=-\frac{2}{3}$
$m^2n + mn^2 = mn(m+n)=-\frac{2}{3}×\frac{5}{3}=-\frac{10}{9}$
---
(1)求解ab的值
由$a^2=2a+3$整理得：$a^2 -2a -3=0$
对$9b^2=6b+3$变形得：$(3b)^2 - 2· 3b -3=0$
$\because a≠ 3b$，$\therefore a$和$3b$可看作一元二次方程$x^2 -2x -3=0$的两个不等实数根
由根与系数的关系得：$a· 3b = -3$
解得$ab=-1$
---
(2)求a的最大整数值
将已知两式相加：
$(m+mn+n)+(m-mn+n)=\frac{a^2}{4}-6 -\frac{a^2}{4}+2a$
化简得：$2(m+n)=2a-6$，即$m+n=a-3$
将已知两式相减：
$(m+mn+n)-(m-mn+n)=\frac{a^2}{4}-6 -(-\frac{a^2}{4}+2a)$
化简得：$2mn=\frac{a^2}{2}-2a-6$，即$mn=\frac{a^2}{4}-a-3$
$\because m,n$为实数，$\therefore$二者是一元二次方程$x^2-(a-3)x+\frac{a^2}{4}-a-3=0$的两个实数根，方程判别式$\Delta≥0$
代入计算判别式：
$\Delta=[-(a-3)]^2 -4×1×(\frac{a^2}{4}-a-3)≥0$
$a^2-6a+9 -a^2 +4a +12≥0$
$-2a+21≥0$
解得$a≤10.5$，因此a的最大整数值为10。
【答案】
题干填空：$\frac{5}{3}$，$-\frac{2}{3}$，$-\frac{10}{9}$；(1)$ab=-1$；(2)实数a的最大整数值为$\boldsymbol{10}$
【知识点】
韦达定理，一元二次方程判别式，代数式化简
【点评】
本题重点考查构造一元二次方程解决代数式求值、参数范围类问题，渗透整体代换的数学思想，要求熟练掌握韦达定理和判别式的应用，对代数式变形能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题核心是运用一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）及判别式的性质，结合整体代换思想简化计算。题干填空部分：当两个不同实数满足结构相同的一元二次方程时，可将二者看作该方程的两个不等实根，直接用韦达定理得两根和与积，再因式分解所求代数式代入计算即可。(1)问先对两个已知等式变形，使a和3b满足同一个一元二次方程，结合a≠3b的条件，将二者看作方程两根，用韦达定理求乘积即可得ab的值。(2)问先对两个已知等式做加减运算，整体求出m+n和mn的值，再将m、n看作对应一元二次方程的两根，利用方程有实根则判别式≥0的性质列不等式，求解a的范围后即可得到a的最大整数值。
【解析】
题干填空部分
根据题意，m、n是方程$3x^2 -5x -2=0$的两个不等实根，由韦达定理得：
$m+n=\frac{5}{3}$，$mn=-\frac{2}{3}$
$m^2n + mn^2 = mn(m+n)=-\frac{2}{3}×\frac{5}{3}=-\frac{10}{9}$
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(1)求解ab的值
由$a^2=2a+3$整理得：$a^2 -2a -3=0$
对$9b^2=6b+3$变形得：$(3b)^2 - 2· 3b -3=0$
$\because a≠ 3b$，$\therefore a$和$3b$可看作一元二次方程$x^2 -2x -3=0$的两个不等实数根
由根与系数的关系得：$a· 3b = -3$
解得$ab=-1$
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(2)求a的最大整数值
将已知两式相加：
$(m+mn+n)+(m-mn+n)=\frac{a^2}{4}-6 -\frac{a^2}{4}+2a$
化简得：$2(m+n)=2a-6$，即$m+n=a-3$
将已知两式相减：
$(m+mn+n)-(m-mn+n)=\frac{a^2}{4}-6 -(-\frac{a^2}{4}+2a)$
化简得：$2mn=\frac{a^2}{2}-2a-6$，即$mn=\frac{a^2}{4}-a-3$
$\because m,n$为实数，$\therefore$二者是一元二次方程$x^2-(a-3)x+\frac{a^2}{4}-a-3=0$的两个实数根，方程判别式$\Delta≥0$
代入计算判别式：
$\Delta=[-(a-3)]^2 -4×1×(\frac{a^2}{4}-a-3)≥0$
$a^2-6a+9 -a^2 +4a +12≥0$
$-2a+21≥0$
解得$a≤10.5$，因此a的最大整数值为10。
【答案】
题干填空：$\frac{5}{3}$，$-\frac{2}{3}$，$-\frac{10}{9}$；(1)$ab=-1$；(2)实数a的最大整数值为$\boldsymbol{10}$
【知识点】
韦达定理，一元二次方程判别式，代数式化简
【点评】
本题重点考查构造一元二次方程解决代数式求值、参数范围类问题，渗透整体代换的数学思想，要求熟练掌握韦达定理和判别式的应用，对代数式变形能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
