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13. 在平面直角坐标系中，$△ ABC$ 的位置如图所示。
(1)分别写出$△ ABC$各顶点的坐标：A
(2)点 A 关于 x 轴对称的点 A' 的坐标为(
(3)求$△ ABC$的面积。
(1)分别写出$△ ABC$各顶点的坐标：A
$(-4,3)$
,B $(3,0)$
,C $(-2,5)$
;(2)点 A 关于 x 轴对称的点 A' 的坐标为(
$-4$
, $-3$
),关于 y 轴对称的点 A'' 的坐标为($4$
, $3$
);(3)求$△ ABC$的面积。
答案
13.解:(1)$(-4,3)\quad(3,0)\quad(-2,5)$
(2)$-4\quad -3\quad 4\quad 3$
(3)$S_{△ ABC}=5×7-\frac{1}{2}×(3×7+2×2+5×5)=35-25=10$。
(2)$-4\quad -3\quad 4\quad 3$
(3)$S_{△ ABC}=5×7-\frac{1}{2}×(3×7+2×2+5×5)=35-25=10$。
解析
【分析】
(1) 确定平面直角坐标系中点的坐标时，横坐标看点向x轴作垂线对应的刻度（左负右正），纵坐标看点向y轴作垂线对应的刻度（下负上正），数出三个顶点对应的横、纵坐标即可。
(2) 关于x轴对称的点的坐标规律是横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点的坐标规律是纵坐标不变，横坐标互为相反数，代入A点坐标计算即可得到对应对称点的坐标。
(3) 本题中△ABC没有直接可求的底和高，采用割补法：先构造恰好包围△ABC的矩形，用矩形的面积减去矩形内△ABC外的三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
【解析】
(1) 观察坐标系：
点A的横坐标为-4，纵坐标为3，即A(-4,3)；
点B的横坐标为3，纵坐标为0，即B(3,0)；
点C的横坐标为-2，纵坐标为5，即C(-2,5)。
(2) 根据对称点坐标规律：
点A关于x轴对称的点A'，横坐标不变为-4，纵坐标为3的相反数-3，即A'(-4,-3)；
点A关于y轴对称的点A''，纵坐标不变为3，横坐标为-4的相反数4，即A''(4,3)。
(3) 用割补法计算面积：
首先构造包围△ABC的矩形，矩形横向长度为$3-(-4)=7$，纵向宽度为$5-0=5$，矩形面积为$5×7=35$。
矩形内三个多余直角三角形的面积和为$\frac{1}{2}×3×7+\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×5×5=25$。
因此$S_{△ABC}=35-25=10$。
【答案】
(1)$(-4,3)$；$(3,0)$；$(-2,5)$
(2)$-4$；$-3$；$4$；$3$
(3)$10$
【知识点】
点的坐标确定；轴对称点的坐标规律；割补法求面积
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础题型，既考查了坐标的基本识别、对称点坐标的变换规律，也考查了不规则图形面积的常用求解方法，需要熟练掌握基础概念并灵活运用割补思想。
【难度系数】
0.7
(1) 确定平面直角坐标系中点的坐标时，横坐标看点向x轴作垂线对应的刻度（左负右正），纵坐标看点向y轴作垂线对应的刻度（下负上正），数出三个顶点对应的横、纵坐标即可。
(2) 关于x轴对称的点的坐标规律是横坐标不变，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点的坐标规律是纵坐标不变，横坐标互为相反数，代入A点坐标计算即可得到对应对称点的坐标。
(3) 本题中△ABC没有直接可求的底和高，采用割补法：先构造恰好包围△ABC的矩形，用矩形的面积减去矩形内△ABC外的三个直角三角形的面积，即可得到△ABC的面积。
【解析】
(1) 观察坐标系：
点A的横坐标为-4，纵坐标为3，即A(-4,3)；
点B的横坐标为3，纵坐标为0，即B(3,0)；
点C的横坐标为-2，纵坐标为5，即C(-2,5)。
(2) 根据对称点坐标规律：
点A关于x轴对称的点A'，横坐标不变为-4，纵坐标为3的相反数-3，即A'(-4,-3)；
点A关于y轴对称的点A''，纵坐标不变为3，横坐标为-4的相反数4，即A''(4,3)。
(3) 用割补法计算面积：
首先构造包围△ABC的矩形，矩形横向长度为$3-(-4)=7$，纵向宽度为$5-0=5$，矩形面积为$5×7=35$。
矩形内三个多余直角三角形的面积和为$\frac{1}{2}×3×7+\frac{1}{2}×2×2+\frac{1}{2}×5×5=25$。
因此$S_{△ABC}=35-25=10$。
【答案】
(1)$(-4,3)$；$(3,0)$；$(-2,5)$
(2)$-4$；$-3$；$4$；$3$
(3)$10$
【知识点】
点的坐标确定；轴对称点的坐标规律；割补法求面积
【点评】
本题属于平面直角坐标系的基础题型，既考查了坐标的基本识别、对称点坐标的变换规律，也考查了不规则图形面积的常用求解方法，需要熟练掌握基础概念并灵活运用割补思想。
【难度系数】
0.7
14. 已知$△ ABC$三个顶点的坐标分别为$A(0,2),B(2,0),C(5,3)$。
(1) 在图中画出$△ ABC$；
(2) 试说明$△ ABC$是直角三角形；
(3) 已知点$P$在$x$轴上，若$S_{△ PBC} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$，求点$P$的坐标。
(1) 在图中画出$△ ABC$；
(2) 试说明$△ ABC$是直角三角形；
(3) 已知点$P$在$x$轴上，若$S_{△ PBC} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$，求点$P$的坐标。
答案
14.解:(1)$△ ABC$如图所示。
(2)因为$AB^2=2^2+2^2=8$,$AC^2=(3-2)^2+5^2=26$,$BC^2=(5-2)^2+3^2=18$,所以$AB^2+BC^2=AC^2$,所以$△ ABC$是直角三角形。
(3)$S_{△ ABC}=3×5-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×(5-2)×3-\frac{1}{2}×(3-2)×5=6$。
设点 P 的坐标为$(t,0)$,因为$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}$,所以$\frac{1}{2}×3×|t-2|=\frac{1}{2}×6$,所以$t-2=\pm2$,所以$t=4$或$t=0$,所以点 P 的坐标为$(4,0)$或$(0,0)$。
解析
【分析】
(1) 画三角形的思路：根据三个顶点的横纵坐标，在平面直角坐标系中分别定位A(0,2)、B(2,0)、C(5,3)三个点，依次连接三点即可得到△ABC。
(2) 证明直角三角形的思路：已知三个顶点坐标，可通过勾股定理计算AB、BC、AC三边长度的平方，验证是否存在两边平方和等于第三边平方，若满足则可通过勾股定理逆定理判定△ABC为直角三角形。
(3) 求点P坐标的思路：首先用割补法计算△ABC的面积，再根据面积关系得到△PBC的面积；点P在x轴上，因此△PBC的底为BP的长度，高为点C到x轴的距离（即C点纵坐标3），设P坐标为(t,0)，结合面积公式列方程求解，计算时需加绝对值避免漏解。
【解析】
(1) 在坐标系中分别找到A(0,2)、B(2,0)、C(5,3)三点，依次连接AB、BC、CA，即可画出△ABC。
(2) 由勾股定理计算三边平方：
$AB^2=(2-0)^2+(0-2)^2=2^2+2^2=8$，
$BC^2=(5-2)^2+(3-0)^2=3^2+3^2=18$，
$AC^2=(5-0)^2+(3-2)^2=5^2+1^2=26$，
可得$AB^2+BC^2=8+18=26=AC^2$，根据勾股定理的逆定理，可判定△ABC是直角三角形。
(3) 用割补法计算△ABC面积：将△ABC放入长为5、宽为3的矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积：
$S_{△ ABC}=3×5-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×(5-2)×3-\frac{1}{2}×(3-2)×5=15-2-4.5-2.5=6$。
设点P的坐标为$(t,0)$，则$BP=|t-2|$，△PBC的高为点C的纵坐标3，因此$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}×3×|t-2|$。
根据题意$S_{△ PBC} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$，代入得：
$\frac{1}{2}×3×|t-2|=\frac{1}{2}×6$，
化简得$|t-2|=2$，即$t-2=2$或$t-2=-2$，
解得$t=4$或$t=0$。
【答案】
(1) $△ ABC$如图所示。
(2) △ABC是直角三角形，证明见解析。
(3) 点P的坐标为$(4,0)$或$(0,0)$。
【知识点】
勾股定理逆定理；三角形面积计算；坐标与图形性质
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何结合的基础综合题，既考查了画图、直角三角形判定的基础能力，也渗透了分类讨论的思想，第三问借助绝对值可避免漏解，是巩固数形结合思维的典型习题。
【难度系数】
0.7
(1) 画三角形的思路：根据三个顶点的横纵坐标，在平面直角坐标系中分别定位A(0,2)、B(2,0)、C(5,3)三个点，依次连接三点即可得到△ABC。
(2) 证明直角三角形的思路：已知三个顶点坐标，可通过勾股定理计算AB、BC、AC三边长度的平方，验证是否存在两边平方和等于第三边平方，若满足则可通过勾股定理逆定理判定△ABC为直角三角形。
(3) 求点P坐标的思路：首先用割补法计算△ABC的面积，再根据面积关系得到△PBC的面积；点P在x轴上，因此△PBC的底为BP的长度，高为点C到x轴的距离（即C点纵坐标3），设P坐标为(t,0)，结合面积公式列方程求解，计算时需加绝对值避免漏解。
【解析】
(1) 在坐标系中分别找到A(0,2)、B(2,0)、C(5,3)三点，依次连接AB、BC、CA，即可画出△ABC。
(2) 由勾股定理计算三边平方：
$AB^2=(2-0)^2+(0-2)^2=2^2+2^2=8$，
$BC^2=(5-2)^2+(3-0)^2=3^2+3^2=18$，
$AC^2=(5-0)^2+(3-2)^2=5^2+1^2=26$，
可得$AB^2+BC^2=8+18=26=AC^2$，根据勾股定理的逆定理，可判定△ABC是直角三角形。
(3) 用割补法计算△ABC面积：将△ABC放入长为5、宽为3的矩形中，用矩形面积减去周围三个直角三角形的面积：
$S_{△ ABC}=3×5-\frac{1}{2}×2×2-\frac{1}{2}×(5-2)×3-\frac{1}{2}×(3-2)×5=15-2-4.5-2.5=6$。
设点P的坐标为$(t,0)$，则$BP=|t-2|$，△PBC的高为点C的纵坐标3，因此$S_{△ PBC}=\frac{1}{2}×3×|t-2|$。
根据题意$S_{△ PBC} = \frac{1}{2}S_{△ ABC}$，代入得：
$\frac{1}{2}×3×|t-2|=\frac{1}{2}×6$，
化简得$|t-2|=2$，即$t-2=2$或$t-2=-2$，
解得$t=4$或$t=0$。
【答案】
(1) $△ ABC$如图所示。
(2) △ABC是直角三角形，证明见解析。
(3) 点P的坐标为$(4,0)$或$(0,0)$。
【知识点】
勾股定理逆定理；三角形面积计算；坐标与图形性质
【点评】
本题是平面直角坐标系与几何结合的基础综合题，既考查了画图、直角三角形判定的基础能力，也渗透了分类讨论的思想，第三问借助绝对值可避免漏解，是巩固数形结合思维的典型习题。
【难度系数】
0.7
15.【综合与实践】如图，O为坐标原点，四边形OABC为长方形，A(10,0),C(0,4),点D是OA的中点，点P在线段BC上运动，当△ODP是等腰三角形时，求满足条件的点P的坐标。
答案
15.解:如图①,当$PO=PD$时,点 P 在 OD 的垂直平分线上,过 P 作$PH⊥ OD$于点 H,则$OH=HD=2.5$,所以点 P 的坐标为$(2.5,4)$;
如图②,当$OD=OP=5$时,过 P 作$PE⊥ OD$于点 E,则$PE=4$,$OE=3$,所以点 P 的坐标为$(3,4)$;
如图③,当$DO=DP=5$时,分两种情况。过 P 作$PF⊥ OD$于点 F,过$P'$作$P'F'⊥ OD$交 OD 的延长线于点$F'$,则$PF=P'F'=4$,$DF=DF'=3$,所以$P(2,4)$,$P'(8,4)$。
综上所述,点 P 的坐标为$(2.5,4)$,$(3,4)$,$(2,4)$或$(8,4)$。
解析
【分析】
首先明确已知条件：四边形OABC是长方形，因此BC边平行于x轴，BC上所有点的纵坐标均为4；由A(10,0)得OA=10，D是OA中点，故OD=5，可设点P坐标为$(x,4)$（$0≤ x≤10$）。等腰三角形$△ ODP$需分三类讨论：①$PO=PD$；②$OP=OD$；③$DP=DO$，结合勾股定理分别计算每类情况下的x值，即可得到点P坐标，解题时注意不要漏解。
【解析】
1. 当$PO=PD$时，点P在OD的垂直平分线上：
过P作$PH⊥ OD$于点H，根据垂直平分线的性质，$OH=HD=\frac{1}{2}OD=2.5$，因此P点横坐标为2.5，纵坐标为4，即$P(2.5,4)$；
2. 当$OD=OP=5$时：
过P作$PE⊥ OD$于点E，$PE=OC=4$，在$Rt△ OPE$中，由勾股定理得$OE=\sqrt{OP^2-PE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，因此P点横坐标为3，纵坐标为4，即$P(3,4)$；
3. 当$DO=DP=5$时，分两种情况：
若P在D点左侧：过P作$PF⊥ OD$于点F，$PF=4$，在$Rt△ PDF$中，由勾股定理得$DF=\sqrt{DP^2-PF^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，因此横坐标为$OD-DF=5-3=2$，即$P(2,4)$；
若P在D点右侧：过$P'$作$P'F'⊥ OD$交OD的延长线于点$F'$，同理可得$DF'=3$，因此横坐标为$OD+DF'=5+3=8$，即$P'(8,4)$。
【答案】
如图①,当$PO=PD$时,点 P 在 OD 的垂直平分线上,过 P 作$PH⊥ OD$于点 H,则$OH=HD=2.5$,所以点 P 的坐标为$(2.5,4)$;
如图②,当$OD=OP=5$时,过 P 作$PE⊥ OD$于点 E,则$PE=4$,$OE=3$,所以点 P 的坐标为$(3,4)$;
如图③,当$DO=DP=5$时,分两种情况。过 P 作$PF⊥ OD$于点 F,过$P'$作$P'F'⊥ OD$交 OD 的延长线于点$F'$,则$PF=P'F'=4$,$DF=DF'=3$,所以$P(2,4)$,$P'(8,4)$。
综上所述,点 P 的坐标为$(2.5,4)$,$(3,4)$,$(2,4)$或$(8,4)$。
【知识点】
等腰三角形性质，坐标与图形性质，勾股定理
【点评】
本题是等腰三角形存在性的典型题型，核心考查分类讨论思想，需按照三条边分别为腰的三类情况逐一分析计算，解题时结合长方形的特征确定动点的纵坐标，再用勾股定理求解横坐标，要注意$DO=DP$时存在两种位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
首先明确已知条件：四边形OABC是长方形，因此BC边平行于x轴，BC上所有点的纵坐标均为4；由A(10,0)得OA=10，D是OA中点，故OD=5，可设点P坐标为$(x,4)$（$0≤ x≤10$）。等腰三角形$△ ODP$需分三类讨论：①$PO=PD$；②$OP=OD$；③$DP=DO$，结合勾股定理分别计算每类情况下的x值，即可得到点P坐标，解题时注意不要漏解。
【解析】
1. 当$PO=PD$时，点P在OD的垂直平分线上：
过P作$PH⊥ OD$于点H，根据垂直平分线的性质，$OH=HD=\frac{1}{2}OD=2.5$，因此P点横坐标为2.5，纵坐标为4，即$P(2.5,4)$；
2. 当$OD=OP=5$时：
过P作$PE⊥ OD$于点E，$PE=OC=4$，在$Rt△ OPE$中，由勾股定理得$OE=\sqrt{OP^2-PE^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，因此P点横坐标为3，纵坐标为4，即$P(3,4)$；
3. 当$DO=DP=5$时，分两种情况：
若P在D点左侧：过P作$PF⊥ OD$于点F，$PF=4$，在$Rt△ PDF$中，由勾股定理得$DF=\sqrt{DP^2-PF^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3$，因此横坐标为$OD-DF=5-3=2$，即$P(2,4)$；
若P在D点右侧：过$P'$作$P'F'⊥ OD$交OD的延长线于点$F'$，同理可得$DF'=3$，因此横坐标为$OD+DF'=5+3=8$，即$P'(8,4)$。
【答案】
如图①,当$PO=PD$时,点 P 在 OD 的垂直平分线上,过 P 作$PH⊥ OD$于点 H,则$OH=HD=2.5$,所以点 P 的坐标为$(2.5,4)$;
如图②,当$OD=OP=5$时,过 P 作$PE⊥ OD$于点 E,则$PE=4$,$OE=3$,所以点 P 的坐标为$(3,4)$;
如图③,当$DO=DP=5$时,分两种情况。过 P 作$PF⊥ OD$于点 F,过$P'$作$P'F'⊥ OD$交 OD 的延长线于点$F'$,则$PF=P'F'=4$,$DF=DF'=3$,所以$P(2,4)$,$P'(8,4)$。
综上所述,点 P 的坐标为$(2.5,4)$,$(3,4)$,$(2,4)$或$(8,4)$。
【知识点】
等腰三角形性质，坐标与图形性质，勾股定理
【点评】
本题是等腰三角形存在性的典型题型，核心考查分类讨论思想，需按照三条边分别为腰的三类情况逐一分析计算，解题时结合长方形的特征确定动点的纵坐标，再用勾股定理求解横坐标，要注意$DO=DP$时存在两种位置情况，避免漏解。
【难度系数】
0.6
