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9. 已知在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为$(-4,3)$，作$AB⊥ y$轴于点B，则$△ AOB$的周长为(
A.$12$
B.$7+\sqrt{7}$
C.$12$或$7+\sqrt{7}$
D.以上都不对
A
)。A.$12$
B.$7+\sqrt{7}$
C.$12$或$7+\sqrt{7}$
D.以上都不对
答案
9.A
解析
【分析】
解题时先根据点A的坐标和AB⊥y轴的条件确定点B的坐标，再分别求出△AOB三条边的长度，最后相加得到周长即可。首先AB垂直y轴说明AB平行于x轴，B点纵坐标与A点相同，且B在y轴上横坐标为0，由此得到B点坐标；再分别计算OB、AB的长度，结合勾股定理求出斜边OA的长度，三边求和就是三角形周长。
【解析】
∵ 点A坐标为$(-4,3)$，$AB⊥y$轴于B
∴ B点在y轴上，横坐标为0，纵坐标与A点相同，即$B(0,3)$
∴ OB的长度为O到B的距离：$OB=3$
AB的长度为A到B的距离：$AB=|0 - (-4)|=4$
∵ $AB⊥y$轴，
∴ $∠ ABO=90°$，$△ AOB$是直角三角形
由勾股定理得：$OA=\sqrt{AB^2+OB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$
∴ $△ AOB$的周长$=AB+OB+OA=4+3+5=12$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
平面直角坐标系坐标特征，勾股定理，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查平面直角坐标系中线段长度的求解方法，结合直角三角形勾股定理计算边长，解题的关键是准确确定点B的坐标。
【难度系数】
0.8
解题时先根据点A的坐标和AB⊥y轴的条件确定点B的坐标，再分别求出△AOB三条边的长度，最后相加得到周长即可。首先AB垂直y轴说明AB平行于x轴，B点纵坐标与A点相同，且B在y轴上横坐标为0，由此得到B点坐标；再分别计算OB、AB的长度，结合勾股定理求出斜边OA的长度，三边求和就是三角形周长。
【解析】
∵ 点A坐标为$(-4,3)$，$AB⊥y$轴于B
∴ B点在y轴上，横坐标为0，纵坐标与A点相同，即$B(0,3)$
∴ OB的长度为O到B的距离：$OB=3$
AB的长度为A到B的距离：$AB=|0 - (-4)|=4$
∵ $AB⊥y$轴，
∴ $∠ ABO=90°$，$△ AOB$是直角三角形
由勾股定理得：$OA=\sqrt{AB^2+OB^2}=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5$
∴ $△ AOB$的周长$=AB+OB+OA=4+3+5=12$
故选：A
【答案】
A
【知识点】
平面直角坐标系坐标特征，勾股定理，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题型，重点考查平面直角坐标系中线段长度的求解方法，结合直角三角形勾股定理计算边长，解题的关键是准确确定点B的坐标。
【难度系数】
0.8
10. 如图，直线$m ⊥ n$，在某平面直角坐标系中，$x$轴$// m$，$y$轴$// n$，点$A$的坐标为$(-4,2)$，点$B$的坐标为$(2,-4)$，则坐标原点可能为(
A.$O_1$
B.$O_2$
C.$O_3$
D.$O_4$
A
)。A.$O_1$
B.$O_2$
C.$O_3$
D.$O_4$
答案
10.A
解析
【分析】
解题时先结合平面直角坐标系中坐标的含义分析原点相对于已知点的位置：点A的坐标为(-4,2)，横坐标为负、纵坐标为正，说明原点在点A的右侧、下方；点B的坐标为(2,-4)，横坐标为正、纵坐标为负，说明原点在点B的左侧、上方。再结合图形判断哪个点同时满足上述位置要求即可。
【解析】
在平面直角坐标系中：
1. 横坐标小于0的点在原点左侧，横坐标大于0的点在原点右侧；纵坐标大于0的点在原点上方，纵坐标小于0的点在原点下方。
2. 对于点A(-4,2)：x=-4＜0，y=2＞0，因此原点在点A的右侧、下方。
3. 对于点B(2,-4)：x=2＞0，y=-4＜0，因此原点在点B的左侧、上方。
4. 观察图形，只有O₁同时满足在A的右下方、B的左上方，故坐标原点可能为O₁。
【答案】
A
【知识点】
1. 平面直角坐标系
2. 点坐标的几何意义
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标与位置的对应关系，解题核心是根据点横、纵坐标的正负判断原点相对于已知点的方位，结合图形直观筛选即可得到答案，是坐标概念的基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
解题时先结合平面直角坐标系中坐标的含义分析原点相对于已知点的位置：点A的坐标为(-4,2)，横坐标为负、纵坐标为正，说明原点在点A的右侧、下方；点B的坐标为(2,-4)，横坐标为正、纵坐标为负，说明原点在点B的左侧、上方。再结合图形判断哪个点同时满足上述位置要求即可。
【解析】
在平面直角坐标系中：
1. 横坐标小于0的点在原点左侧，横坐标大于0的点在原点右侧；纵坐标大于0的点在原点上方，纵坐标小于0的点在原点下方。
2. 对于点A(-4,2)：x=-4＜0，y=2＞0，因此原点在点A的右侧、下方。
3. 对于点B(2,-4)：x=2＞0，y=-4＜0，因此原点在点B的左侧、上方。
4. 观察图形，只有O₁同时满足在A的右下方、B的左上方，故坐标原点可能为O₁。
【答案】
A
【知识点】
1. 平面直角坐标系
2. 点坐标的几何意义
【点评】
本题考查平面直角坐标系中点的坐标与位置的对应关系，解题核心是根据点横、纵坐标的正负判断原点相对于已知点的方位，结合图形直观筛选即可得到答案，是坐标概念的基础应用类题目。
【难度系数】
0.7
11. 如图，过点$A(-3,4)$的直线$l// x$轴，点$B$在$x$轴的正半轴上，$OC$平分$∠ AOB$交$l$于点$C$，则点$C$的坐标是________。
答案
11.(2,4)
解析
【分析】
首先根据直线$l// x$轴且过点$A(-3,4)$，可确定点$C$的纵坐标为4，只需计算横坐标即可；其次利用角平分线定义和平行线的内错角相等的性质，推导出$△ AOC$为等腰三角形，得到$AC=AO$；最后用勾股定理求出$AO$的长度，结合点$A$的横坐标计算出点$C$的横坐标。
【解析】
1. 确定点$C$的纵坐标：
因为直线$l// x$轴，且过点$A(-3,4)$，所以直线$l$上所有点的纵坐标均为4，因此点$C$的纵坐标为4，设点$C$坐标为$(x,4)$。
2. 推导等腰三角形：
因为$OC$平分$∠ AOB$，所以$∠ AOC=∠ COB$；
又因为$l// x$轴，根据平行线的内错角相等，可得$∠ COB=∠ ACO$；
因此$∠ AOC=∠ ACO$，即$△ AOC$为等腰三角形，$AC=AO$。
3. 计算线段长度求横坐标：
根据勾股定理，$AO=\sqrt{(-3-0)^2+(4-0)^2}=\sqrt{9+16}=5$，所以$AC=5$；
因为点$C$在点$A$右侧，所以$AC=x-(-3)=x+3=5$，解得$x=2$。
【答案】
$(2,4)$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，勾股定理
【点评】
本题将平面直角坐标系的坐标特征与几何性质结合考查，解题关键是通过角平分线和平行线的性质推出等腰三角形，将坐标求解转化为线段长度计算，能有效锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
首先根据直线$l// x$轴且过点$A(-3,4)$，可确定点$C$的纵坐标为4，只需计算横坐标即可；其次利用角平分线定义和平行线的内错角相等的性质，推导出$△ AOC$为等腰三角形，得到$AC=AO$；最后用勾股定理求出$AO$的长度，结合点$A$的横坐标计算出点$C$的横坐标。
【解析】
1. 确定点$C$的纵坐标：
因为直线$l// x$轴，且过点$A(-3,4)$，所以直线$l$上所有点的纵坐标均为4，因此点$C$的纵坐标为4，设点$C$坐标为$(x,4)$。
2. 推导等腰三角形：
因为$OC$平分$∠ AOB$，所以$∠ AOC=∠ COB$；
又因为$l// x$轴，根据平行线的内错角相等，可得$∠ COB=∠ ACO$；
因此$∠ AOC=∠ ACO$，即$△ AOC$为等腰三角形，$AC=AO$。
3. 计算线段长度求横坐标：
根据勾股定理，$AO=\sqrt{(-3-0)^2+(4-0)^2}=\sqrt{9+16}=5$，所以$AC=5$；
因为点$C$在点$A$右侧，所以$AC=x-(-3)=x+3=5$，解得$x=2$。
【答案】
$(2,4)$
【知识点】
平行线的性质，角平分线的定义，勾股定理
【点评】
本题将平面直角坐标系的坐标特征与几何性质结合考查，解题关键是通过角平分线和平行线的性质推出等腰三角形，将坐标求解转化为线段长度计算，能有效锻炼数形结合的思维能力。
【难度系数】
0.7
12. 已知点A，B的坐标分别为(0，−3)，(0，5)，点C在x轴上。若△ABC的面积为20，求点C的坐标。
答案
12.(5,0)或(-5,0)
解析
【分析】
首先观察点A、B的坐标特征，两点都在y轴上，可先求出线段AB的长度作为△ABC的底；点C在x轴上，那么点C到y轴的距离就是△ABC中AB边上的高，结合已知的三角形面积，利用面积公式列方程求出高的长度，再根据x轴上点的坐标特征考虑正负两种情况，即可得到点C的坐标。
【解析】
解：
∵点A(0,−3)，B(0,5)都在y轴上
∴AB的长度为：$\vert 5 - (-3)\vert = 8$
设点C的坐标为$(x, 0)$，则点C到y轴（AB所在直线）的距离为$\vert x\vert$，即AB边上的高为$\vert x\vert$
根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×底×高$，代入已知条件得：
$\frac{1}{2}×8×\vert x\vert=20$
化简得：$4\vert x\vert=20$
解得：$\vert x\vert=5$
∴$x=5$或$x=-5$
即点C的坐标为$(5,0)$或$(-5,0)$
【答案】
$(5,0)$或$(-5,0)$
【知识点】
平面直角坐标系点的特征，坐标轴两点距离计算，三角形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系与三角形面积结合的基础题，解题时需先确定底边长度，再结合面积公式求高，要注意x轴上的点横坐标有正、负两种可能，避免漏解。
【难度系数】
0.8
首先观察点A、B的坐标特征，两点都在y轴上，可先求出线段AB的长度作为△ABC的底；点C在x轴上，那么点C到y轴的距离就是△ABC中AB边上的高，结合已知的三角形面积，利用面积公式列方程求出高的长度，再根据x轴上点的坐标特征考虑正负两种情况，即可得到点C的坐标。
【解析】
解：
∵点A(0,−3)，B(0,5)都在y轴上
∴AB的长度为：$\vert 5 - (-3)\vert = 8$
设点C的坐标为$(x, 0)$，则点C到y轴（AB所在直线）的距离为$\vert x\vert$，即AB边上的高为$\vert x\vert$
根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×底×高$，代入已知条件得：
$\frac{1}{2}×8×\vert x\vert=20$
化简得：$4\vert x\vert=20$
解得：$\vert x\vert=5$
∴$x=5$或$x=-5$
即点C的坐标为$(5,0)$或$(-5,0)$
【答案】
$(5,0)$或$(-5,0)$
【知识点】
平面直角坐标系点的特征，坐标轴两点距离计算，三角形面积计算
【点评】
本题是平面直角坐标系与三角形面积结合的基础题，解题时需先确定底边长度，再结合面积公式求高，要注意x轴上的点横坐标有正、负两种可能，避免漏解。
【难度系数】
0.8
13.【数学应用】类似于平面直角坐标系，如图①，在平面内，如果原点重合的两条数轴不垂直，那么我们称这样的坐标系为斜坐标系。若点P是斜坐标系xOy中任意一点，过点P作两坐标轴的平行线，分别与x轴、y轴交于点M，N。如果点M，N在x轴、y轴上对应的实数分别是a，b，那么这时点P的坐标为(a,b)。
(1)如图②，在斜坐标系xOy中，画出点A(-2,3)；
(2)如图③，在斜坐标系xOy中，∠xOy=60°，将边长为3的等边三角形OPQ放入此坐标系中，使△OPQ的两边分别在x轴、y轴正半轴上，画出图形，并写出O，P，Q三点的坐标。
(1)如图②，在斜坐标系xOy中，画出点A(-2,3)；
(2)如图③，在斜坐标系xOy中，∠xOy=60°，将边长为3的等边三角形OPQ放入此坐标系中，使△OPQ的两边分别在x轴、y轴正半轴上，画出图形，并写出O，P，Q三点的坐标。
答案
13.解:(1)画图如图①所示。
(2)画图如图②所示。
点O,P,Q的坐标分别为(0,0),(0,3),(3,0)。
解析
【分析】
解题前首先理解斜坐标系的坐标定义：斜坐标系中，点的坐标$(a,b)$的确定方法是过点作两坐标轴的平行线，与x轴交点对应的实数为$a$，与y轴交点对应的实数为$b$。
(1)画点$A(-2,3)$时，先分别找到x轴上对应$-2$的点、y轴上对应$3$的点，再分别作对应坐标轴的平行线，交点即为所求点。
(2)解决第二问时，结合等边三角形边长为3、两边在坐标轴正半轴的条件，先确定三个点的位置：原点$O$坐标直接可得，$P$在y轴正半轴、到$O$的距离为3，$Q$在x轴正半轴、到$O$的距离为3，再结合斜坐标系坐标定义写出三点坐标即可。
【解析】
(1) ①在x轴上找到表示数$-2$的点，过该点作y轴的平行线；②在y轴上找到表示数$3$的点，过该点作x轴的平行线；③两条平行线的交点就是点$A(-2,3)$。
(2) 已知$△ OPQ$是边长为3的等边三角形，且两边分别在x轴、y轴正半轴上：
点$O$是坐标原点，因此坐标为$(0,0)$；
点$P$在y轴正半轴上，$OP=3$，过$P$作x轴的平行线，与y轴交点对应实数为$3$，与x轴交点对应实数为$0$，因此$P$的坐标为$(0,3)$；
点$Q$在x轴正半轴上，$OQ=3$，过$Q$作y轴的平行线，与x轴交点对应实数为$3$，与y轴交点对应实数为$0$，因此$Q$的坐标为$(3,0)$。
【答案】
(1)画图如图①所示。
(2)画图如图②所示。
点$O,P,Q$的坐标分别为$(0,0),(0,3),(3,0)$。
【知识点】
1. 斜坐标系坐标定义
2. 等边三角形的性质
3. 点的坐标确定
【点评】
本题是新定义类题型，类比平面直角坐标系的坐标规则考查斜坐标系下点的坐标确定，解题关键是读懂新定义的坐标规则，结合图形性质分析点的位置即可求解，侧重考查对新定义的理解和迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
解题前首先理解斜坐标系的坐标定义：斜坐标系中，点的坐标$(a,b)$的确定方法是过点作两坐标轴的平行线，与x轴交点对应的实数为$a$，与y轴交点对应的实数为$b$。
(1)画点$A(-2,3)$时，先分别找到x轴上对应$-2$的点、y轴上对应$3$的点，再分别作对应坐标轴的平行线，交点即为所求点。
(2)解决第二问时，结合等边三角形边长为3、两边在坐标轴正半轴的条件，先确定三个点的位置：原点$O$坐标直接可得，$P$在y轴正半轴、到$O$的距离为3，$Q$在x轴正半轴、到$O$的距离为3，再结合斜坐标系坐标定义写出三点坐标即可。
【解析】
(1) ①在x轴上找到表示数$-2$的点，过该点作y轴的平行线；②在y轴上找到表示数$3$的点，过该点作x轴的平行线；③两条平行线的交点就是点$A(-2,3)$。
(2) 已知$△ OPQ$是边长为3的等边三角形，且两边分别在x轴、y轴正半轴上：
点$O$是坐标原点，因此坐标为$(0,0)$；
点$P$在y轴正半轴上，$OP=3$，过$P$作x轴的平行线，与y轴交点对应实数为$3$，与x轴交点对应实数为$0$，因此$P$的坐标为$(0,3)$；
点$Q$在x轴正半轴上，$OQ=3$，过$Q$作y轴的平行线，与x轴交点对应实数为$3$，与y轴交点对应实数为$0$，因此$Q$的坐标为$(3,0)$。
【答案】
(1)画图如图①所示。
(2)画图如图②所示。
点$O,P,Q$的坐标分别为$(0,0),(0,3),(3,0)$。
【知识点】
1. 斜坐标系坐标定义
2. 等边三角形的性质
3. 点的坐标确定
【点评】
本题是新定义类题型，类比平面直角坐标系的坐标规则考查斜坐标系下点的坐标确定，解题关键是读懂新定义的坐标规则，结合图形性质分析点的位置即可求解，侧重考查对新定义的理解和迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
