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8 数形结合思想 已知点$P(a-3,2-a)$关于原点对称的点在第四象限，则$a$的取值范围在数轴上表示正确的是（
C
）答案
8. C
解析
【分析】
要解决这道题，需分三步思考：第一步，回忆关于原点对称的点的坐标特征；第二步，根据第四象限内点的坐标符号，列出关于a的不等式组；第三步，解不等式组得到a的取值范围，再对应数轴表示选出正确选项。
【解析】
1. 求点P关于原点对称的点的坐标：
已知点$P(a-3,2-a)$，根据关于原点对称的点的坐标特征（点$(x,y)$关于原点对称的点为$(-x,-y)$），可得其对称点坐标为$(3-a,a-2)$。
2. 根据第四象限的坐标条件列不等式组：
第四象限内的点满足横坐标大于0、纵坐标小于0，因此可列不等式组：
$\begin{cases}3 - a ＞ 0 \\ a - 2 ＜ 0\end{cases}$
3. 解不等式组：
解不等式$3 - a ＞ 0$，得$a ＜ 3$；
解不等式$a - 2 ＜ 0$，得$a ＜ 2$；
取两个不等式的公共解集，得$a ＜ 2$。
4. 对应数轴表示：$a ＜ 2$在数轴上表示为从2向左的射线，且2的位置是空心圆圈（不包含2），符合该特征的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
关于原点对称的点的坐标；一元一次不等式组的解法；数轴表示不等式解集
【点评】
本题结合坐标对称、象限性质与不等式解集的数轴表示，考查数形结合思想的应用，需准确掌握各知识点的联系，按步骤推导即可解题。
【难度系数】
0.5
要解决这道题，需分三步思考：第一步，回忆关于原点对称的点的坐标特征；第二步，根据第四象限内点的坐标符号，列出关于a的不等式组；第三步，解不等式组得到a的取值范围，再对应数轴表示选出正确选项。
【解析】
1. 求点P关于原点对称的点的坐标：
已知点$P(a-3,2-a)$，根据关于原点对称的点的坐标特征（点$(x,y)$关于原点对称的点为$(-x,-y)$），可得其对称点坐标为$(3-a,a-2)$。
2. 根据第四象限的坐标条件列不等式组：
第四象限内的点满足横坐标大于0、纵坐标小于0，因此可列不等式组：
$\begin{cases}3 - a ＞ 0 \\ a - 2 ＜ 0\end{cases}$
3. 解不等式组：
解不等式$3 - a ＞ 0$，得$a ＜ 3$；
解不等式$a - 2 ＜ 0$，得$a ＜ 2$；
取两个不等式的公共解集，得$a ＜ 2$。
4. 对应数轴表示：$a ＜ 2$在数轴上表示为从2向左的射线，且2的位置是空心圆圈（不包含2），符合该特征的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
关于原点对称的点的坐标；一元一次不等式组的解法；数轴表示不等式解集
【点评】
本题结合坐标对称、象限性质与不等式解集的数轴表示，考查数形结合思想的应用，需准确掌握各知识点的联系，按步骤推导即可解题。
【难度系数】
0.5
9 如图,在平面直角坐标系中,$△ ABC$的顶点$A$在第一象限,点$B$,$C$的坐标分别为$(2,1)$,$(6,1)$,$∠ BAC=90°$,$AB=AC$,直线$AB$交$y$轴于点$P$.若$△ ABC$与$△ A'B'C'$关于点$P$成中心对称,则点$A'$的坐标为
(-4,-5)
.答案
9. $(-4,-5)$
解析
【分析】
要解决本题，需按以下思路推导：首先根据等腰直角三角形的性质确定点A的坐标，再通过待定系数法求出直线AB的解析式得到对称中心P的坐标，最后利用中心对称的性质（对称点连线被对称中心平分）计算点A'的坐标。
【解析】
1. 求点A的坐标
已知B(2,1)，C(6,1)，则BC的长度为$6-2=4$，且BC平行于x轴。
因为△ABC中$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，所以△ABC是等腰直角三角形，BC为斜边，其垂直平分线为$x=\frac{2+6}{2}=4$，斜边上的高为$\frac{BC}{2}=2$，且A在第一象限，故A点坐标为$(4,1+2)=(4,3)$。
2. 求直线AB的解析式，得P点坐标
设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将A(4,3)、B(2,1)代入得：
$\begin{cases}4k + b = 3 \\2k + b =1 \end{cases}$
解得$k=1$，$b=-1$，即直线AB的解析式为$y=x-1$。
直线AB与y轴交于P，令$x=0$，得$y=-1$，故P点坐标为$(0,-1)$。
3. 求点A'的坐标
因为△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，所以P是线段AA'的中点。设$A'(x,y)$，根据中点坐标公式：
$\frac{4+x}{2}=0$，$\frac{3+y}{2}=-1$
解得$x=-4$，$y=-5$，即A'的坐标为$(-4,-5)$。
【答案】
$(-4,-5)$
【知识点】
等腰直角三角形性质；一次函数解析式；中心对称性质
【点评】
本题综合考查等腰直角三角形、一次函数及中心对称的相关知识，解题关键是先确定各关键点坐标，再利用中心对称的中点关系求解，步骤清晰，难度适中。
【难度系数】
0.4
要解决本题，需按以下思路推导：首先根据等腰直角三角形的性质确定点A的坐标，再通过待定系数法求出直线AB的解析式得到对称中心P的坐标，最后利用中心对称的性质（对称点连线被对称中心平分）计算点A'的坐标。
【解析】
1. 求点A的坐标
已知B(2,1)，C(6,1)，则BC的长度为$6-2=4$，且BC平行于x轴。
因为△ABC中$∠ BAC=90°$，$AB=AC$，所以△ABC是等腰直角三角形，BC为斜边，其垂直平分线为$x=\frac{2+6}{2}=4$，斜边上的高为$\frac{BC}{2}=2$，且A在第一象限，故A点坐标为$(4,1+2)=(4,3)$。
2. 求直线AB的解析式，得P点坐标
设直线AB的解析式为$y=kx+b$，将A(4,3)、B(2,1)代入得：
$\begin{cases}4k + b = 3 \\2k + b =1 \end{cases}$
解得$k=1$，$b=-1$，即直线AB的解析式为$y=x-1$。
直线AB与y轴交于P，令$x=0$，得$y=-1$，故P点坐标为$(0,-1)$。
3. 求点A'的坐标
因为△ABC与△A'B'C'关于点P成中心对称，所以P是线段AA'的中点。设$A'(x,y)$，根据中点坐标公式：
$\frac{4+x}{2}=0$，$\frac{3+y}{2}=-1$
解得$x=-4$，$y=-5$，即A'的坐标为$(-4,-5)$。
【答案】
$(-4,-5)$
【知识点】
等腰直角三角形性质；一次函数解析式；中心对称性质
【点评】
本题综合考查等腰直角三角形、一次函数及中心对称的相关知识，解题关键是先确定各关键点坐标，再利用中心对称的中点关系求解，步骤清晰，难度适中。
【难度系数】
0.4
10 若点 A 的坐标是$(a,b)$,且 a , b 满足$\sqrt{a-3}+b^{2}+4b+4=0$,求点 A 关于原点 O 的对称点$A'$的坐标.
$A'$
$A'$
答案
10. $\because \sqrt{a-3}+b^{2}+4b+4=0,\therefore \sqrt{a-3}+(b+2)^{2}=0.$
$\therefore \begin{cases}a-3=0,\\b+2=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=3,\\b=-2.\end{cases}$ $\therefore$ 点 $A$ 的坐标为$(3,-2). \therefore$ 点 $A$ 关于原点 $O$ 的对称点 $A'$ 的坐标为$(-3,2)$
$\therefore \begin{cases}a-3=0,\\b+2=0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=3,\\b=-2.\end{cases}$ $\therefore$ 点 $A$ 的坐标为$(3,-2). \therefore$ 点 $A$ 关于原点 $O$ 的对称点 $A'$ 的坐标为$(-3,2)$
解析
【分析】
要解决这个问题，需分两步：首先利用非负数的性质求出点A的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征得到A'的坐标。具体思路：1. 观察等式，根号和平方均为非负数，它们的和为0时，每个非负数都为0，据此列方程求出a、b的值；2. 得到点A的坐标后，依据“关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数”的规律，计算出A'的坐标。
【解析】
已知$\sqrt{a-3} + b^2 + 4b + 4 = 0$，先将式子变形为完全平方形式：
$\sqrt{a-3} + (b+2)^2 = 0$。
因为算术平方根$\sqrt{a-3} ≥ 0$，平方数$(b+2)^2 ≥ 0$，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，因此可得方程组：
$\begin{cases} a - 3 = 0 \\ b + 2 = 0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a = 3 \\ b = -2 \end{cases}$，即点A的坐标为$(3, -2)$。
根据关于原点对称的点的坐标特征：点$(x,y)$关于原点的对称点为$(-x, -y)$，所以点A$(3,-2)$关于原点的对称点A'的坐标为$(-3, 2)$。
【答案】
$(-3,2)$
【知识点】
非负数的性质、关于原点对称的点的坐标
【点评】
本题是基础题型，综合考查非负数的性质和关于原点对称的点的坐标规律，需熟练掌握完全平方公式变形、非负数和为0的条件以及对称点的坐标特征。
【难度系数】
0.6
要解决这个问题，需分两步：首先利用非负数的性质求出点A的坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征得到A'的坐标。具体思路：1. 观察等式，根号和平方均为非负数，它们的和为0时，每个非负数都为0，据此列方程求出a、b的值；2. 得到点A的坐标后，依据“关于原点对称的点，横、纵坐标均互为相反数”的规律，计算出A'的坐标。
【解析】
已知$\sqrt{a-3} + b^2 + 4b + 4 = 0$，先将式子变形为完全平方形式：
$\sqrt{a-3} + (b+2)^2 = 0$。
因为算术平方根$\sqrt{a-3} ≥ 0$，平方数$(b+2)^2 ≥ 0$，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，因此可得方程组：
$\begin{cases} a - 3 = 0 \\ b + 2 = 0 \end{cases}$
解得$\begin{cases} a = 3 \\ b = -2 \end{cases}$，即点A的坐标为$(3, -2)$。
根据关于原点对称的点的坐标特征：点$(x,y)$关于原点的对称点为$(-x, -y)$，所以点A$(3,-2)$关于原点的对称点A'的坐标为$(-3, 2)$。
【答案】
$(-3,2)$
【知识点】
非负数的性质、关于原点对称的点的坐标
【点评】
本题是基础题型，综合考查非负数的性质和关于原点对称的点的坐标规律，需熟练掌握完全平方公式变形、非负数和为0的条件以及对称点的坐标特征。
【难度系数】
0.6
11 如图,在平面直角坐标系中有$△ ABC$(图中的网格由边长均为1的小正方形组成).
(1) 分别写出 A , B , C 三点的坐标;
(2) 试判断$△ ABC$的形状;
(3) 画出$△ ABC$关于原点对称的$△ A'B'C'$.
(1) 分别写出 A , B , C 三点的坐标;
(2) 试判断$△ ABC$的形状;
(3) 画出$△ ABC$关于原点对称的$△ A'B'C'$.
答案
11. (1) 点 $A$ 的坐标为$(1,1)$,点 $B$ 的坐标为$(4,-1)$,点 $C$ 的坐标为$(2,2)$
(2) $\because AB=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13},BC=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{13},\therefore AB=BC. \therefore △ ABC$ 为等腰三角形
(3) 如图, $△ A'B'C'$ 即为所求
解析
【分析】
要解决本题，分三步思考：①确定点的坐标：根据平面直角坐标系中，点的横坐标是到y轴的水平距离，纵坐标是到x轴的垂直距离，结合网格边长为1，可直接读出A、B、C三点的坐标；②判断三角形形状：利用两点间距离公式计算△ABC三边长度，通过边长关系判定形状；③画关于原点对称的三角形：根据“点$(x,y)$关于原点对称的点为$(-x,-y)$”的特征，求出A、B、C的对称点，依次连接得到所求三角形。
【解析】
(1) 根据平面直角坐标系中点的坐标定义，结合网格边长为1，可得：点$A$的坐标为$(1,1)$，点$B$的坐标为$(4,-1)$，点$C$的坐标为$(2,2)$。
(2) 利用两点间距离公式：对于两点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，两点间距离为$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，计算△ABC的边长：
$AB=\sqrt{(4-1)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{13}$，
$BC=\sqrt{(2-4)^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{(-2)^2+3^2}=\sqrt{13}$，
因此$AB=BC$，故△ABC为等腰三角形。
(3) 关于原点对称的点的坐标特征为：点$P(x,y)$关于原点对称的点为$P'(-x,-y)$，因此：
点$A(1,1)$的对称点$A'(-1,-1)$，点$B(4,-1)$的对称点$B'(-4,1)$，点$C(2,2)$的对称点$C'(-2,-2)$；
在平面直角坐标系中描出$A'$、$B'$、$C'$三点，依次连接，得到△$A'B'C'$，即为所求。
【答案】
(1) $A(1,1)$，$B(4,-1)$，$C(2,2)$；
(2) △$ABC$是等腰三角形；
(3) △$A'B'C'$如图所示。
【知识点】
平面直角坐标系、两点间距离公式、等腰三角形判定
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系的基础应用，包括点的坐标确定、两点间距离公式的运用、关于原点对称的点的坐标特征，以及三角形形状的判定，属于基础题型，熟练掌握相关知识点即可解答。
【难度系数】
0.5
要解决本题，分三步思考：①确定点的坐标：根据平面直角坐标系中，点的横坐标是到y轴的水平距离，纵坐标是到x轴的垂直距离，结合网格边长为1，可直接读出A、B、C三点的坐标；②判断三角形形状：利用两点间距离公式计算△ABC三边长度，通过边长关系判定形状；③画关于原点对称的三角形：根据“点$(x,y)$关于原点对称的点为$(-x,-y)$”的特征，求出A、B、C的对称点，依次连接得到所求三角形。
【解析】
(1) 根据平面直角坐标系中点的坐标定义，结合网格边长为1，可得：点$A$的坐标为$(1,1)$，点$B$的坐标为$(4,-1)$，点$C$的坐标为$(2,2)$。
(2) 利用两点间距离公式：对于两点$(x_1,y_1)$、$(x_2,y_2)$，两点间距离为$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$，计算△ABC的边长：
$AB=\sqrt{(4-1)^2+(-1-1)^2}=\sqrt{3^2+(-2)^2}=\sqrt{13}$，
$BC=\sqrt{(2-4)^2+(2-(-1))^2}=\sqrt{(-2)^2+3^2}=\sqrt{13}$，
因此$AB=BC$，故△ABC为等腰三角形。
(3) 关于原点对称的点的坐标特征为：点$P(x,y)$关于原点对称的点为$P'(-x,-y)$，因此：
点$A(1,1)$的对称点$A'(-1,-1)$，点$B(4,-1)$的对称点$B'(-4,1)$，点$C(2,2)$的对称点$C'(-2,-2)$；
在平面直角坐标系中描出$A'$、$B'$、$C'$三点，依次连接，得到△$A'B'C'$，即为所求。
【答案】
(1) $A(1,1)$，$B(4,-1)$，$C(2,2)$；
(2) △$ABC$是等腰三角形；
(3) △$A'B'C'$如图所示。
【知识点】
平面直角坐标系、两点间距离公式、等腰三角形判定
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系的基础应用，包括点的坐标确定、两点间距离公式的运用、关于原点对称的点的坐标特征，以及三角形形状的判定，属于基础题型，熟练掌握相关知识点即可解答。
【难度系数】
0.5
12 如图,在平面直角坐标系中,点 A,B,C 的坐标分别为$(1,0),(0,1),(-1,0)$.一个电动玩具从坐标原点 O 出发,第一次跳跃到点$P_{1}$,使得点$P_{1}$与点 O 关于点 A 成中心对称;第二次跳跃到点$P_{2}$,使得点$P_{2}$与点$P_{1}$关于点 B 成中心对称;第三次跳跃到点$P_{3}$,使得点$P_{3}$与点$P_{2}$关于点 C成中心对称;第四次跳跃到点$P_{4}$,使得点$P_{4}$与点$P_{3}$关于点 A 成中心对称;第五次跳跃到点$P_{5}$,使得点$P_{5}$与点$P_{4}$关于点 B 成中心对称……照此规律重复下去,试求点$P_{7},P_{2025}$的坐标.
答案
12. 根据题意,得 $P_1(2,0),P_2(-2,2),P_3(0,-2),P_4(2,2),P_5(-2,0),P_6(0,0). \therefore$ 每 6 个点循环一次. $\therefore$ 点 $P_7$ 的坐标为$(2,0). \because 2025÷6=337······3,\therefore$ 点 $P_{2025}$ 的坐标与点 $P_3$ 的坐标一致,即点 $P_{2025}$ 的坐标为$(0,-2)$
解析
【分析】
首先明确：若两点关于点M(a,b)成中心对称，则点P(x,y)的对称点P'的坐标为(2a - x, 2b - y)。我们依次计算前几个点的坐标，找到坐标的循环规律，再根据规律求P₇和P₂₀₂₅的坐标。
【解析】
根据中心对称点的坐标公式，依次计算各点坐标：
1. 点O(0,0)关于A(1,0)的对称点P₁：
P₁的坐标为(2×1 - 0, 2×0 - 0) = (2, 0)；
2. 点P₁(2,0)关于B(0,1)的对称点P₂：
P₂的坐标为(2×0 - 2, 2×1 - 0) = (-2, 2)；
3. 点P₂(-2,2)关于C(-1,0)的对称点P₃：
P₃的坐标为(2×(-1) - (-2), 2×0 - 2) = (0, -2)；
4. 点P₃(0,-2)关于A(1,0)的对称点P₄：
P₄的坐标为(2×1 - 0, 2×0 - (-2)) = (2, 2)；
5. 点P₄(2,2)关于B(0,1)的对称点P₅：
P₅的坐标为(2×0 - 2, 2×1 - 2) = (-2, 0)；
6. 点P₅(-2,0)关于C(-1,0)的对称点P₆：
P₆的坐标为(2×(-1) - (-2), 2×0 - 0) = (0, 0)；
由此可知，点的坐标每6个为一个循环，周期为6。
求P₇：7÷6=1……1，余数为1，对应循环中第1个点P₁，故P₇的坐标为(2,0)；
求P₂₀₂₅：2025÷6=337……3，余数为3，对应循环中第3个点P₃，故P₂₀₂₅的坐标为(0,-2)。
【答案】
P₇的坐标为(2,0)，P₂₀₂₅的坐标为(0,-2)
【知识点】
中心对称的坐标特征；找规律（循环规律）
【点评】
本题通过中心对称的坐标变换计算点的坐标，关键在于计算前几个点的坐标后发现循环周期，利用周期规律简化大数的计算，考查学生的逻辑推理和坐标计算能力。
【难度系数】
0.5
首先明确：若两点关于点M(a,b)成中心对称，则点P(x,y)的对称点P'的坐标为(2a - x, 2b - y)。我们依次计算前几个点的坐标，找到坐标的循环规律，再根据规律求P₇和P₂₀₂₅的坐标。
【解析】
根据中心对称点的坐标公式，依次计算各点坐标：
1. 点O(0,0)关于A(1,0)的对称点P₁：
P₁的坐标为(2×1 - 0, 2×0 - 0) = (2, 0)；
2. 点P₁(2,0)关于B(0,1)的对称点P₂：
P₂的坐标为(2×0 - 2, 2×1 - 0) = (-2, 2)；
3. 点P₂(-2,2)关于C(-1,0)的对称点P₃：
P₃的坐标为(2×(-1) - (-2), 2×0 - 2) = (0, -2)；
4. 点P₃(0,-2)关于A(1,0)的对称点P₄：
P₄的坐标为(2×1 - 0, 2×0 - (-2)) = (2, 2)；
5. 点P₄(2,2)关于B(0,1)的对称点P₅：
P₅的坐标为(2×0 - 2, 2×1 - 2) = (-2, 0)；
6. 点P₅(-2,0)关于C(-1,0)的对称点P₆：
P₆的坐标为(2×(-1) - (-2), 2×0 - 0) = (0, 0)；
由此可知，点的坐标每6个为一个循环，周期为6。
求P₇：7÷6=1……1，余数为1，对应循环中第1个点P₁，故P₇的坐标为(2,0)；
求P₂₀₂₅：2025÷6=337……3，余数为3，对应循环中第3个点P₃，故P₂₀₂₅的坐标为(0,-2)。
【答案】
P₇的坐标为(2,0)，P₂₀₂₅的坐标为(0,-2)
【知识点】
中心对称的坐标特征；找规律（循环规律）
【点评】
本题通过中心对称的坐标变换计算点的坐标，关键在于计算前几个点的坐标后发现循环周期，利用周期规律简化大数的计算，考查学生的逻辑推理和坐标计算能力。
【难度系数】
0.5
