登录
例1 为确保信息安全,信息需要加密传输,发送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文(解密).已知加密规则为:明文$a,b,c$对应的密文是$a+1,2b+4,3c+9$.例如明文1,2,3对应的密文为2,8,18.如果接收方收到密文7,18,15,则解密得到的明文为（）
A.4,5,6
B.6,7,2
C.2,6,7
D.7,2,6
分析:根据题意可将问题转化为一元一次方程,即$a+1=7,2b+4=18,3c+9=15$,然后解出$a,b,c$的值,即可求得明文.
解:B
A.4,5,6
B.6,7,2
C.2,6,7
D.7,2,6
分析:根据题意可将问题转化为一元一次方程,即$a+1=7,2b+4=18,3c+9=15$,然后解出$a,b,c$的值,即可求得明文.
解:B
答案
B
解析
根据题意将解密过程转化为解一元一次方程：
1. 由密文第一个数7，得$a+1=7$，解得$a=6$；
2. 由密文第二个数18，得$2b+4=18$，解得$b=7$；
3. 由密文第三个数15，得$3c+9=15$，解得$c=2$；
最终得到解密的明文为6,7,2。
1. 由密文第一个数7，得$a+1=7$，解得$a=6$；
2. 由密文第二个数18，得$2b+4=18$，解得$b=7$；
3. 由密文第三个数15，得$3c+9=15$，解得$c=2$；
最终得到解密的明文为6,7,2。
例2 一个角的补角与它的余角的2倍的差是直角的一半,求这个角.
分析:这里涉及“一个角”,它的“余角”和“补角”等多重复杂的关系,但核心是“这个角”.设这个角度数为$α$,根据题中的相等关系,列方程求解.
解:设这个角度数为$α$,则它的余角是$90° - α$,它的补角是$180° - α$.
依题意列方程:
$(180° - α) - 2(90° - α) = \frac{1}{2} × 90°$
解得$α = 45°$.
分析:这里涉及“一个角”,它的“余角”和“补角”等多重复杂的关系,但核心是“这个角”.设这个角度数为$α$,根据题中的相等关系,列方程求解.
解:设这个角度数为$α$,则它的余角是$90° - α$,它的补角是$180° - α$.
依题意列方程:
$(180° - α) - 2(90° - α) = \frac{1}{2} × 90°$
解得$α = 45°$.
答案
解：设这个角的度数为$α$，则它的余角是$90°-α$，它的补角是$180°-α$。
依题意列方程：
$(180°-α)-2(90°-α)=\frac{1}{2}×90°$
去括号，得：
$180°-α-180°+2α=45°$
合并同类项，得：
$α=45°$
答：这个角是$45°$。
依题意列方程：
$(180°-α)-2(90°-α)=\frac{1}{2}×90°$
去括号，得：
$180°-α-180°+2α=45°$
合并同类项，得：
$α=45°$
答：这个角是$45°$。
例3 如图,在长方形ABCD中,放入6个形状、大小相同的长方形,所标尺寸如图所示,求图中阴影部分面积.
分析:阴影部分是两块不规则的图形和一个小长方形,可以看成是长方形ABCD的面积减去6个小长方形的面积,本题的关键是求小长方形的长与宽,可转化为二元一次方程组解决此题.
解:设小长方形长为$x$ cm,宽为$y$ cm,根据题意,得$\begin{cases} x+3y=14 \\ 2y+6=x+y \end{cases}$,解得$\begin{cases} x=8 \\ y=2 \end{cases}$.
$\therefore S_{阴影}=14×10 -8×2×6=44(cm^2)$.
分析:阴影部分是两块不规则的图形和一个小长方形,可以看成是长方形ABCD的面积减去6个小长方形的面积,本题的关键是求小长方形的长与宽,可转化为二元一次方程组解决此题.
解:设小长方形长为$x$ cm,宽为$y$ cm,根据题意,得$\begin{cases} x+3y=14 \\ 2y+6=x+y \end{cases}$,解得$\begin{cases} x=8 \\ y=2 \end{cases}$.
$\therefore S_{阴影}=14×10 -8×2×6=44(cm^2)$.
答案
解：设小长方形长为$x\ \mathrm{cm}$，宽为$y\ \mathrm{cm}$，根据题意，得
$\begin{cases}x + 3y = 14 \\2y + 6 = x + y\end{cases}$
解得
$\begin{cases}x = 8 \\y = 2\end{cases}$
大长方形$ABCD$的宽为$x + y = 8 + 2 = 10\ \mathrm{cm}$，
$S_{\mathrm{阴影}} = 14 × 10 - 8 × 2 × 6 = 44\ (\mathrm{cm}^2)$。
答：图中阴影部分面积为$44\ \mathrm{cm}^2$。
$\begin{cases}x + 3y = 14 \\2y + 6 = x + y\end{cases}$
解得
$\begin{cases}x = 8 \\y = 2\end{cases}$
大长方形$ABCD$的宽为$x + y = 8 + 2 = 10\ \mathrm{cm}$，
$S_{\mathrm{阴影}} = 14 × 10 - 8 × 2 × 6 = 44\ (\mathrm{cm}^2)$。
答：图中阴影部分面积为$44\ \mathrm{cm}^2$。
例4 阅读下列材料，回答问题.
材料 股票市场买、卖股票都要分别交纳印花税等有关税费.以沪市A股的股票交易为例，除成本外还要交纳：
①印花税：按成交金额的0.1%计算；
②过户费：按成交金额的0.1%计算；
③佣金：按不高于成交金额的0.3%计算(本题按0.3%计算)，不足5元按5元计算.
例：某投资者以每股5.00元的价格在沪市A股中买入股票“金杯汽车”1000股，以每股5.50元的价格全部卖出，共盈利多少？
解：直接成本：$5×1000=5000$(元)
印花税：$(5000+5.50×1000)×0.1\%=10.50$(元)
过户费：$(5000+5.50×1000)×0.1\%=10.50$(元)
佣金：$(5000+5.50×1000)×0.3\%=31.50$(元)
∵$31.50＞5$，∴佣金为31.50元.
总支出：$5000+10.50+10.50+31.50=5052.50$(元)
总收入：$5.50×1000=5500$(元)
所以这次交易共盈利：$5500-5052.50=447.50$(元)
(1)小王对此很感兴趣，以每股5.00元的价格买入以上股票100股，以每股5.50元的价格全部卖出，则他的盈利为元.
(2)小张以每股$a(a≥5)$元的价格买入以上股票1000股，股市波动大，他准备在不亏不盈时卖出.请你帮他计算出卖出的价格每股是元(用含$a$的代数式表示)，由此可得卖出价格与买入价格相比至少要上涨才不亏(结果保留到小数点后第2位).
(3)小张再以每股5.00元的价格买入以上股票1000股，准备盈利1000元时才卖出，请你帮他计算卖出的价格每股是多少元？(精确到0.01元)
分析：这是一个阅读信息量大的问题，需正确理解题意.(1)，(2)两个问题可以仿照题中提供的例子，第(3)个问题可以直接用公式计算佣金，利用一元一次方程解决.
解：(1)42.9 (2)$\frac{201a}{199}$ 1.01%
(3)因为$5×1000×0.3\%=15＞5$，可以直接用公式计算佣金.
设卖出的价格每股是$x$元，依题意得：
$1000x - 1000×5.00 - (1000x + 1000×5.00)×0.1\% - (1000x + 1000×5.00)×0.1\% - (1000x + 1000×5.00)×0.3\% = 1000$.
解之得：$x≈6.06$
材料 股票市场买、卖股票都要分别交纳印花税等有关税费.以沪市A股的股票交易为例，除成本外还要交纳：
①印花税：按成交金额的0.1%计算；
②过户费：按成交金额的0.1%计算；
③佣金：按不高于成交金额的0.3%计算(本题按0.3%计算)，不足5元按5元计算.
例：某投资者以每股5.00元的价格在沪市A股中买入股票“金杯汽车”1000股，以每股5.50元的价格全部卖出，共盈利多少？
解：直接成本：$5×1000=5000$(元)
印花税：$(5000+5.50×1000)×0.1\%=10.50$(元)
过户费：$(5000+5.50×1000)×0.1\%=10.50$(元)
佣金：$(5000+5.50×1000)×0.3\%=31.50$(元)
∵$31.50＞5$，∴佣金为31.50元.
总支出：$5000+10.50+10.50+31.50=5052.50$(元)
总收入：$5.50×1000=5500$(元)
所以这次交易共盈利：$5500-5052.50=447.50$(元)
(1)小王对此很感兴趣，以每股5.00元的价格买入以上股票100股，以每股5.50元的价格全部卖出，则他的盈利为元.
(2)小张以每股$a(a≥5)$元的价格买入以上股票1000股，股市波动大，他准备在不亏不盈时卖出.请你帮他计算出卖出的价格每股是元(用含$a$的代数式表示)，由此可得卖出价格与买入价格相比至少要上涨才不亏(结果保留到小数点后第2位).
(3)小张再以每股5.00元的价格买入以上股票1000股，准备盈利1000元时才卖出，请你帮他计算卖出的价格每股是多少元？(精确到0.01元)
分析：这是一个阅读信息量大的问题，需正确理解题意.(1)，(2)两个问题可以仿照题中提供的例子，第(3)个问题可以直接用公式计算佣金，利用一元一次方程解决.
解：(1)42.9 (2)$\frac{201a}{199}$ 1.01%
(3)因为$5×1000×0.3\%=15＞5$，可以直接用公式计算佣金.
设卖出的价格每股是$x$元，依题意得：
$1000x - 1000×5.00 - (1000x + 1000×5.00)×0.1\% - (1000x + 1000×5.00)×0.1\% - (1000x + 1000×5.00)×0.3\% = 1000$.
解之得：$x≈6.06$
答案
解：
(1) 直接成本：$5×100=500$(元)
印花税：$(500 + 5.50×100)×0.1\% = 1.05$(元)
过户费：$(500 + 5.50×100)×0.1\% = 1.05$(元)
买入佣金：$500×0.3\%=1.5$(元)，$1.5＜5$，按5元收取；
卖出佣金：$5.50×100×0.3\%=1.65$(元)，$1.65＜5$，按5元收取，总佣金为$5+5=10$(元)。
总支出：$500 + 1.05 + 1.05 + 10 = 512.1$(元)
总收入：$5.50×100=550$(元)
盈利：$550 - 512.1 = 42.9$(元)
(2) 设卖出的价格每股是$b$元，
由$a≥5$，可知买入、卖出的佣金均大于5元，无需按5元收取，不亏不盈时总收入等于总支出，列方程：
$1000b = 1000a + (1000a + 1000b)×0.1\% + (1000a + 1000b)×0.1\% + (1000a + 1000b)×0.3\%$
化简得：
$b = a + 0.005(a + b)$
解得：$b=\frac{201a}{199}$
上涨比例为：$(\frac{201a}{199} - a)÷ a×100\%=\frac{2}{199}×100\%\approx1.01\%$
(3) 因为买入成交金额为$5×1000=5000$元，买入佣金为$5000×0.3\%=15＞5$，可直接按比例计算佣金。
设卖出的价格每股是$x$元，依题意得：
$1000x - 1000×5.00 - (1000x + 1000×5.00)×0.1\% - (1000x + 1000×5.00)×0.1\% - (1000x + 1000×5.00)×0.3\% = 1000$
化简得：
$1000x - 5000 - 0.005(1000x + 5000) = 1000$
解得：$x\approx6.06$
答：卖出的价格每股约是6.06元。
(1) 直接成本：$5×100=500$(元)
印花税：$(500 + 5.50×100)×0.1\% = 1.05$(元)
过户费：$(500 + 5.50×100)×0.1\% = 1.05$(元)
买入佣金：$500×0.3\%=1.5$(元)，$1.5＜5$，按5元收取；
卖出佣金：$5.50×100×0.3\%=1.65$(元)，$1.65＜5$，按5元收取，总佣金为$5+5=10$(元)。
总支出：$500 + 1.05 + 1.05 + 10 = 512.1$(元)
总收入：$5.50×100=550$(元)
盈利：$550 - 512.1 = 42.9$(元)
(2) 设卖出的价格每股是$b$元，
由$a≥5$，可知买入、卖出的佣金均大于5元，无需按5元收取，不亏不盈时总收入等于总支出，列方程：
$1000b = 1000a + (1000a + 1000b)×0.1\% + (1000a + 1000b)×0.1\% + (1000a + 1000b)×0.3\%$
化简得：
$b = a + 0.005(a + b)$
解得：$b=\frac{201a}{199}$
上涨比例为：$(\frac{201a}{199} - a)÷ a×100\%=\frac{2}{199}×100\%\approx1.01\%$
(3) 因为买入成交金额为$5×1000=5000$元，买入佣金为$5000×0.3\%=15＞5$，可直接按比例计算佣金。
设卖出的价格每股是$x$元，依题意得：
$1000x - 1000×5.00 - (1000x + 1000×5.00)×0.1\% - (1000x + 1000×5.00)×0.1\% - (1000x + 1000×5.00)×0.3\% = 1000$
化简得：
$1000x - 5000 - 0.005(1000x + 5000) = 1000$
解得：$x\approx6.06$
答：卖出的价格每股约是6.06元。
