例1如图，数轴上的点 O表示的数是0，点 A表示的数是2， AB $ \bot $ OA，垂足为 A，且 $ A B=\frac{1}{2} O A $ ，以点 O为圆心，OB长为半径画弧，交数轴于点 C，则点 C表示的数为 ( )


A.$ -\sqrt{5} $
B.$ \sqrt{5} $
C.$ -2-\sqrt{5} $
D.$ 2-\sqrt{5} $
解析 由题意得 OA=2.因为 $ A B=\frac{1}{2} O A $ ，所以 AB=1.因为 $ A B\bot O A $ ，所以根据勾股定理，得 $ O B=\sqrt{O A^{2}+A B^{2}}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5} $ .由题意及图可知OC=OB $ =\sqrt{5} $ ，点C在数轴的负半轴上。所以点C表示的数为 $ -\sqrt{5}. $
答案 A

A

由题意得$OA=2$，因为$AB=\frac{1}{2}OA$，所以$AB=1$。
因为$AB\bot OA$，根据勾股定理，得$OB=\sqrt{OA^{2}+AB^{2}}=\sqrt{2^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}$。
由题意及图可知$OC=OB=\sqrt{5}$，且点C在数轴负半轴，所以点C表示的数为$-\sqrt{5}$。

例2如图 $ \textcircled{1} $在 $ △ ABC $中， $ ∠ BAC=90° $请解答下列问题.
(1) 如图 $ \textcircled{2} $，若分别以直角三角形的三边为边向外作等边三角形，求它们的面积 $ S_{1} $ $ S_{2} $ $ S_{3} $之间的数量关系；

(2) 如图 $ \textcircled{3} $，若分别以直角三角形的三边为直径向外作半圆，求它们的面积 $ S_{1} $ ， $ S_{2} $ ， $ S_{3} $之间的数量关系.

解 由题意可知 $ A B^{2}+A C^{2}=B C^{2}. $
(1) 由等边三角形的性质可求出 $ S_{3}=\frac{\sqrt{3}}{4} B C^{2}, $ $ S_{1}=\frac{\sqrt{3}}{4} A B^{2}, $ $ S_{2}=\frac{\sqrt{3}}{4} A C^{2} $ ，所以 $ S_{1}+S_{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}( A B^{2}+A C^{2})=\frac{\sqrt{3}}{4} B C^{2}=S_{3}. $
(2) 由半圆形的性质可求出 $ S_{3}=\frac{1}{8}π BC^{2}, $ $ S_{1}=\frac{1}{8}π AB^{2}, $ $ S_{2}=\frac{1}{8}π AC^{2} $ ，所以 $ S_{1}+S_{2}=\frac{1}{8}π AB^{2}+\frac{1}{8}π AC^{2}=\frac{1}{8}π BC^{2}=S_{3}. $

解：
在$△ABC$中，$∠ BAC=90°$，根据勾股定理得：$AB^2+AC^2=BC^2$。
(1)
$\because$ 等边三角形的面积为$\frac{\sqrt{3}}{4}×$边长$^2$，
$\therefore S_1=\frac{\sqrt{3}}{4}AB^2$，$S_2=\frac{\sqrt{3}}{4}AC^2$，$S_3=\frac{\sqrt{3}}{4}BC^2$，
$\therefore S_1+S_2=\frac{\sqrt{3}}{4}AB^2+\frac{\sqrt{3}}{4}AC^2=\frac{\sqrt{3}}{4}(AB^2+AC^2)$，
$\because AB^2+AC^2=BC^2$，
$\therefore S_1+S_2=\frac{\sqrt{3}}{4}BC^2=S_3$。
(2)
$\because$ 半圆的面积为$\frac{1}{8}π×$直径$^2$，
$\therefore S_1=\frac{1}{8}π AB^2$，$S_2=\frac{1}{8}π AC^2$，$S_3=\frac{1}{8}π BC^2$，
$\therefore S_1+S_2=\frac{1}{8}π AB^2+\frac{1}{8}π AC^2=\frac{1}{8}π(AB^2+AC^2)$，
$\because AB^2+AC^2=BC^2$，
$\therefore S_1+S_2=\frac{1}{8}π BC^2=S_3$。