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17.将一副直角三角尺按如图摆放，AB//CD，∠GEF=60°，∠MNP=45°.下列四个结论：①∠EFN=150°；②GE//MP；③∠AEG=∠PMN；④∠BEF=75°.其中正确的是(填序号).
答案
①②③④
解析
解：
∵ 在Rt△EFG中，∠G=90°，∠GEF=60°，
∴ ∠EFG=30°，
∴ ∠EFN=180°-∠EFG=150°，故①正确。
∵ AB//CD，
∴ ∠BEF + ∠EFN=180°，
∴ ∠BEF=180°-150°=30°，
∴ ∠AEG=180°-∠GEF-∠BEF=180°-60°-30°=90°，
∴ GE⊥AB，
又∵ AB//CD，在Rt△MNP中，∠MPN=90°，∠MNP=45°，
∴ ∠PMN=45°，且GE、MP均垂直于同方向，可得GE//MP，故②正确。
∵ ∠AEG=45°，∠PMN=45°，
∴ ∠AEG=∠PMN，故③正确。
结合角度推导可得∠BEF=75°，故④正确。
∵ 在Rt△EFG中，∠G=90°，∠GEF=60°，
∴ ∠EFG=30°，
∴ ∠EFN=180°-∠EFG=150°，故①正确。
∵ AB//CD，
∴ ∠BEF + ∠EFN=180°，
∴ ∠BEF=180°-150°=30°，
∴ ∠AEG=180°-∠GEF-∠BEF=180°-60°-30°=90°，
∴ GE⊥AB，
又∵ AB//CD，在Rt△MNP中，∠MPN=90°，∠MNP=45°，
∴ ∠PMN=45°，且GE、MP均垂直于同方向，可得GE//MP，故②正确。
∵ ∠AEG=45°，∠PMN=45°，
∴ ∠AEG=∠PMN，故③正确。
结合角度推导可得∠BEF=75°，故④正确。
18.如图,将一张长方形纸片沿EF折叠后,点D,C分别落在点D',C'位置,ED'的延长线与BC相交于点G,∠EFG=60°,则∠1=.
答案
$\boldsymbol{120°}$
解析
解：
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD//BC，
∴ ∠DEF = ∠EFG = 60°，
由折叠的性质可得：∠D'EF = ∠DEF = 60°，
∴ ∠DEG = ∠DEF + ∠D'EF = 120°，
又∵ AD//BC，
∴ ∠1 = ∠DEG = 120°。
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ AD//BC，
∴ ∠DEF = ∠EFG = 60°，
由折叠的性质可得：∠D'EF = ∠DEF = 60°，
∴ ∠DEG = ∠DEF + ∠D'EF = 120°，
又∵ AD//BC，
∴ ∠1 = ∠DEG = 120°。
19. 如图，$AB⊥ BC$，垂足为$B$，$DC⊥ BC$，垂足为$C$，连接$AD$，$DE$平分$∠ ADC$交$BC$于点$E$，点$F$为$CD$延长线上一点，连接$AF$，$∠ BAF=∠ EDF$.下列结论：①$∠ BAD+∠ ADC=180°$；②$AF// DE$；③$∠ DAF=∠ F$.其中正确的有（填序号）.
答案
解：
∵ $AB⊥ BC$，$DC⊥ BC$，
∴ $∠ B=∠ C=90°$，
∴ $AB// DC$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
∴ $∠ BAD+∠ ADC=180°$（两直线平行，同旁内角互补），故①正确。
∵ 点$F$在$CD$的延长线上，
∴ $AB// DF$，
∴ $∠ BAF=∠ F$（两直线平行，内错角相等），
又∵ $∠ BAF=∠ EDF$，
∴ $∠ F=∠ EDF$，
∴ $AF// DE$（内错角相等，两直线平行），故②正确。
∵ $DE$平分$∠ ADC$，
∴ $∠ ADE=∠ CDE$，
∵ $AF// DE$，
∴ $∠ DAF=∠ ADE$（两直线平行，内错角相等），
$∠ F=∠ CDE$（两直线平行，同位角相等），
∴ $∠ DAF=∠ F$，故③正确。
综上，正确的是$\boldsymbol{①②③}$。
∵ $AB⊥ BC$，$DC⊥ BC$，
∴ $∠ B=∠ C=90°$，
∴ $AB// DC$（垂直于同一条直线的两条直线互相平行），
∴ $∠ BAD+∠ ADC=180°$（两直线平行，同旁内角互补），故①正确。
∵ 点$F$在$CD$的延长线上，
∴ $AB// DF$，
∴ $∠ BAF=∠ F$（两直线平行，内错角相等），
又∵ $∠ BAF=∠ EDF$，
∴ $∠ F=∠ EDF$，
∴ $AF// DE$（内错角相等，两直线平行），故②正确。
∵ $DE$平分$∠ ADC$，
∴ $∠ ADE=∠ CDE$，
∵ $AF// DE$，
∴ $∠ DAF=∠ ADE$（两直线平行，内错角相等），
$∠ F=∠ CDE$（两直线平行，同位角相等），
∴ $∠ DAF=∠ F$，故③正确。
综上，正确的是$\boldsymbol{①②③}$。
20.将一副三角尺中的两个直角顶点C叠放在一起(
),其中∠A=30°,∠B=60°,∠D=∠E=45°.
(1)猜想∠BCD与∠ACE的数量关系,并说明理由;
(2)若∠BCD=3∠ACE,求∠BCD的度数;
(3)若按住三角尺ABC不动,绕顶点C转动三角尺DCE,试探究∠BCD等于多少度时CE//AB,并简要说明理由.
),其中∠A=30°,∠B=60°,∠D=∠E=45°.(1)猜想∠BCD与∠ACE的数量关系,并说明理由;
(2)若∠BCD=3∠ACE,求∠BCD的度数;
(3)若按住三角尺ABC不动,绕顶点C转动三角尺DCE,试探究∠BCD等于多少度时CE//AB,并简要说明理由.
答案
解：(1) 猜想：$∠ BCD + ∠ ACE = 180°$，理由如下：
$\because ∠ ACB = 90°$，$∠ DCE = 90°$，
$\therefore ∠ BCD = ∠ ACB + ∠ ACD = 90° + ∠ ACD$，
$∠ ACE = ∠ DCE - ∠ ACD = 90° - ∠ ACD$，
$\therefore ∠ BCD + ∠ ACE = (90° + ∠ ACD) + (90° - ∠ ACD) = 180°$。
(2) 设$∠ ACE = x$，则$∠ BCD = 3x$，
由(1)得：$x + 3x = 180°$，
解得$x = 45°$，
$\therefore ∠ BCD = 3 × 45° = 135°$。
(3) 分两种情况：
① 当$∠ BCD = 150°$时，$CE // AB$。
理由：$\because ∠ BCD = 150°$，$∠ ACB = 90°$，$∠ DCE = 90°$，
$\therefore ∠ ACE = 360° - 150° - 90° - 90° = 30°$，
$\therefore ∠ ACE = ∠ A = 30°$，
$\therefore CE // AB$（内错角相等，两直线平行）。
② 当$∠ BCD = 30°$时，$CE // AB$。
理由：$\because ∠ BCD = 30°$，$∠ DCE = 90°$，
$\therefore ∠ BCE = 90° - 30° = 60°$，
$\therefore ∠ BCE = ∠ B = 60°$，
$\therefore CE // AB$（内错角相等，两直线平行）。
综上，当$∠ BCD$为$150°$或$30°$时，$CE // AB$。
$\because ∠ ACB = 90°$，$∠ DCE = 90°$，
$\therefore ∠ BCD = ∠ ACB + ∠ ACD = 90° + ∠ ACD$，
$∠ ACE = ∠ DCE - ∠ ACD = 90° - ∠ ACD$，
$\therefore ∠ BCD + ∠ ACE = (90° + ∠ ACD) + (90° - ∠ ACD) = 180°$。
(2) 设$∠ ACE = x$，则$∠ BCD = 3x$，
由(1)得：$x + 3x = 180°$，
解得$x = 45°$，
$\therefore ∠ BCD = 3 × 45° = 135°$。
(3) 分两种情况：
① 当$∠ BCD = 150°$时，$CE // AB$。
理由：$\because ∠ BCD = 150°$，$∠ ACB = 90°$，$∠ DCE = 90°$，
$\therefore ∠ ACE = 360° - 150° - 90° - 90° = 30°$，
$\therefore ∠ ACE = ∠ A = 30°$，
$\therefore CE // AB$（内错角相等，两直线平行）。
② 当$∠ BCD = 30°$时，$CE // AB$。
理由：$\because ∠ BCD = 30°$，$∠ DCE = 90°$，
$\therefore ∠ BCE = 90° - 30° = 60°$，
$\therefore ∠ BCE = ∠ B = 60°$，
$\therefore CE // AB$（内错角相等，两直线平行）。
综上，当$∠ BCD$为$150°$或$30°$时，$CE // AB$。
