7. 如图,一架梯子 AB 斜靠在竖直墙上,M 为梯子 AB 的中点,当梯子底端向左水平滑动到 CD位置时,滑动过程中 OM 的变化规律是 （）



A.变小
B.不变
C.变大
D.先变小再变大

7. B 解析:
∵∠AOB=90°,M为AB的中点,
∴OM=1/2 AB. 同理OM=1/2 CD.
∵AB=CD,
∴OM的长度不变.

【分析】
解题时首先提取题目中的核心条件：一是墙面与地面垂直，因此梯子、墙面、地面构成直角三角形；二是梯子滑动过程中自身长度不会发生改变；三是M始终是梯子的中点。结合以上条件，我们可以联想到直角三角形斜边中线的性质，通过推导OM与梯子长度的关系，就能判断OM的变化规律。
【解析】
∵ 墙面与地面垂直，
∴∠AOB=90°，
∵ M为AB的中点，根据直角三角形斜边中线的性质可得：$OM=\frac{1}{2}AB$，
当梯子滑动到CD位置时，同理可得$OM=\frac{1}{2}CD$，
∵ 梯子滑动时长度不变，即$AB=CD$，
∴ OM的长度不变。
【答案】
B
【知识点】
1. 直角三角形斜边中线的性质；2. 几何定值判断
【点评】
本题属于基础性质应用题，解题的核心是抓住梯子长度不变的隐含条件，结合直角三角形斜边中线的性质即可快速得出结论，能有效考查学生对基础几何性质的理解和应用能力。
【难度系数】
0.8

8. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$E$为$AB$的中点,点$D$在$BC$上,且$AD=BD$,$AD$、$CE$相交于点$F$.若$∠ B=20°$,则$∠ DFE$的度数为$\underline{\hspace{5em}}$.

8. 60° 解析:由条件可知,CE=1/2 AB=BE,
∴∠ECB=∠B=20°.
∵AD=BD,
∴∠BAD=∠B=20°,
∴∠ADC=∠BAD+∠B=40°,
∴∠DFE=∠ADC+∠ECB=40°+20°=60°.

【分析】
解题时首先梳理题干给出的条件，看到直角三角形+斜边中点的组合，优先想到直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，由此可得CE与BE相等，利用等边对等角求出∠ECB的度数；再结合AD=BD的等腰三角形条件，用等边对等角得到∠BAD=∠B，借助三角形外角的性质求出∠ADC的度数；最后利用对顶角相等和三角形外角性质即可求出∠DFE的度数。
【解析】
解：
∵ 在△ABC中，∠ACB=90°，E为AB的中点，
∴ CE是Rt△ABC斜边AB的中线，
∴ $CE = \frac{1}{2} AB = BE$，
∴ ∠ECB = ∠B = 20°（等边对等角）。
∵ AD = BD，
∴ ∠BAD = ∠B = 20°（等边对等角）。
∵ ∠ADC是△ABD的外角，
∴ ∠ADC = ∠BAD + ∠B = 20° + 20° = 40°（三角形外角等于不相邻两个内角的和）。
∵ ∠AFC是△CDF的外角，
∴ ∠AFC = ∠ADC + ∠ECB = 40° + 20° = 60°。
又
∵ ∠DFE与∠AFC是对顶角，
∴ ∠DFE = ∠AFC = 60°。
【答案】
60°
【知识点】
直角三角形斜边中线性质，等腰三角形的性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是基础几何计算题，综合考查三角形多个核心性质的应用，解题关键是准确匹配条件对应的几何性质，理清角与角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7

9. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$∠ ABC=60°$,$BD$平分$∠ ABC$,$P$是$BD$的中点.若$AD=6$,则$CP$的长为$\underline{\hspace{5em}}$.

9. 3 解析:如图,过点D作DE⊥AB于点E.
∵∠ACB=90°,∠ABC=60°,
∴∠A=90°−60°=30°,
∴DE=1/2 AD=1/2 ×6=3. 又
∵BD平分∠ABC,
∴CD=DE=3.
∵∠ABC=60°,BD平分∠ABC,
∴∠CBD=30°,
∴BD=2CD=2×3=6.
∵P是BD的中点,
∴CP=1/2 BD=1/2 ×6=3.

【分析】
解题时可按以下思路推导：①首先观察到BD是角平分线，且△ABC是直角三角形，根据角平分线的性质，可过D作DE⊥AB，将CD的长度转化为DE的长度；②已知∠A=30°，结合含30°角的直角三角形的性质，可直接求出DE的长度，进而得到CD的长；③再根据BD平分60°的∠ABC，可得∠CBD=30°，再次利用含30°角的直角三角形的性质求出BD的长度；④最后P是直角三角形BCD斜边BD的中点，利用直角三角形斜边中线的性质即可求出CP的长。
【解析】
过点D作DE⊥AB于点E。
∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，
∴∠A=90°−60°=30°，
在Rt△ADE中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴DE=1/2 AD=1/2 ×6=3。
∵BD平分∠ABC，∠ACB=90°即DC⊥BC，DE⊥AB，
根据角平分线上的点到角两边的距离相等，得CD=DE=3。
∵BD平分∠ABC，∠ABC=60°，
∴∠CBD=1/2∠ABC=30°，
在Rt△BCD中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，
∴BD=2CD=2×3=6。
∵P是BD的中点，△BCD是直角三角形，
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，
∴CP=1/2 BD=1/2 ×6=3。
【答案】
3
【知识点】
角平分线的性质；含30°角的直角三角形的性质；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题是基础几何综合题，将多个直角三角形相关性质结合考查，解题的关键是准确识别每个性质的适用条件，通过辅助线和性质转化线段关系即可顺利求解，能有效检验对基础几何性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7

10. 如图,在$△ ABC$中,$∠ ABC=90°$,$AB=BC$,$D$是$AC$的中点,点$E$、$F$分别在$AB$、$BC$上,且$AE=BF$.
(1)求证:$DE=DF$.
(2)连接$EF$,求$∠ DEF$的度数.

10. (1)证明:连接BD.
∵∠ABC=90°,AB=BC,D为AC的中点,
∴∠A=∠C=45°,BD=1/2 AC=AD,∠DBF=1/2 ∠ABC=45°,
∴∠A=∠DBF. 在△ADE和△BDF中,
{AE=BF,
∠A=∠DBF,
AD=BD,
∴△ADE≌△BDF(SAS),
∴DE=DF.
(2)
∵AB=BC,D为AC的中点,
∴BD⊥AC,即∠ADB=90°,
∴∠ADE+∠BDE=90°. 由(1),得△ADE≌△BDF,DE=DF,
∴∠ADE=∠BDF,
∴∠BDF+∠BDE=90°,即∠EDF=90°,
∴△DEF是等腰直角三角形,
∴∠DEF=45°.

【分析】
(1)要证明DE=DF，可通过证明两线段所在的三角形全等实现。已知△ABC为等腰直角三角形，D是斜边AC的中点，可先连接BD，利用直角三角形斜边中线的性质得到AD=BD，同时可得∠A=∠DBF=45°，结合题目给出的AE=BF，即可通过SAS判定△ADE≌△BDF，进而得到DE=DF。
(2)求∠DEF的度数时，由(1)已证DE=DF，可知△DEF是等腰三角形，只需证明∠EDF=90°，即可判定△DEF为等腰直角三角形，得到∠DEF的度数。可通过全等三角形对应角相等，将∠ADE转化为∠BDF，结合BD⊥AC得到的∠ADB=90°，即可推出∠EDF=90°。
【解析】
(1)证明：连接BD.
∵∠ABC=90°，AB=BC，D为AC的中点，
∴∠A=∠C=45°，BD=$\frac{1}{2}$AC=AD，∠DBF=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，
∴∠A=∠DBF.
在△ADE和△BDF中，
$\{\begin{array}{l} AE=BF,\\ ∠ A=∠ DBF,\\ AD=BD,\end{array} $
∴△ADE≌△BDF(SAS)，
∴DE=DF.
(2)解：
∵AB=BC，D为AC的中点，
∴BD⊥AC，即∠ADB=90°，
∴∠ADE+∠BDE=90°.
由(1)得△ADE≌△BDF，DE=DF，
∴∠ADE=∠BDF，
∴∠BDF+∠BDE=90°，即∠EDF=90°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴∠DEF=45°.
【答案】
(1)DE=DF，证明成立；(2)$\boldsymbol{45°}$
【知识点】
等腰直角三角形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边中线的性质
【点评】
本题属于三角形性质的综合应用题型，解题的关键是合理添加辅助线BD，借助直角三角形斜边中线的性质得到全等三角形所需的边、角条件，进而完成线段相等的证明和角度的推导，能有效考查学生对基础定理的掌握情况和几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7

11. 如图,在锐角三角形$ABC$中,$CD$、$BE$分别是边$AB$、$AC$上的高,$M$、$N$分别是线段$DE$、$BC$的中点.
(1)求证:$MN⊥ DE$.
(2)连接$DN$、$EN$,猜想$∠ A$与$∠ DNE$之间的关系,并说明理由.

11. (1)证明:如图,连接DN、EN.
∵CD、BE分别是边AB、AC上的高,N是线段BC的中点,
∴DN=BN=CN=1/2 BC=EN,
∴DN=EN. 又
∵M为DE的中点,
∴MN⊥DE.
(2)∠DNE=180°−2∠A. 理由如下:由(1),得DN=EN=BN=CN,则∠DBN=∠BDN,∠NCE=∠NEC.
∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A,
∴∠BND+∠CNE=(180°−2∠ABC)+(180°−2∠ACB)=360°−2(∠ABC+∠ACB)=360°−2(180°−∠A)=2∠A. 又
∵∠BND+∠CNE+∠DNE=180°,
∴∠DNE=180°−(∠BND+∠CNE)=180°−2∠A.

【分析】
(1) 要证MN⊥DE，已知M是DE中点，可联想等腰三角形“三线合一”的性质，因此只需证明DN=EN即可。观察图形，CD、BE分别是AB、AC边上的高，可得△BCD、△BCE均为直角三角形，N是BC中点，根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可推出DN=EN=1/2BC，进而利用三线合一得证结论。
(2) 探究∠A与∠DNE的关系时，先由DN=BN、EN=CN，利用等边对等角得到两组底角相等，再用三角形内角和定理分别表示出∠BND和∠CNE，将两式相加后，结合△ABC内角和把∠ABC+∠ACB替换为180°-∠A，最后根据平角为180°，即可推导出两个角的数量关系。
【解析】
(1) 证明：连接DN、EN。
∵CD、BE分别是边AB、AC上的高，
∴∠BDC=∠BEC=90°，△BCD和△BCE都是直角三角形。
∵N是线段BC的中点，
∴在Rt△BCD中DN=1/2BC，在Rt△BCE中EN=1/2BC，即DN=EN，△DEN为等腰三角形。
又
∵M是DE的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，可得MN⊥DE。
(2) ∠DNE=180°−2∠A，理由如下：
由(1)可知DN=BN=CN=EN，根据等边对等角可得∠DBN=∠BDN，∠NCE=∠NEC。
在△ABC中，由内角和定理得∠ABC+∠ACB=180°−∠A。
在△BND中∠BND=180°−2∠ABC，在△CNE中∠CNE=180°−2∠ACB，
∴∠BND+∠CNE=360°−2(∠ABC+∠ACB)=360°−2(180°−∠A)=2∠A。
根据平角的定义，∠BND+∠CNE+∠DNE=180°，
∴∠DNE=180°−2∠A。
【答案】
(1)证明:如图,连接DN、EN.
∵CD、BE分别是边AB、AC上的高,N是线段BC的中点,
∴DN=BN=CN=1/2 BC=EN,
∴DN=EN. 又
∵M为DE的中点,
∴MN⊥DE.
(2)∠DNE=180°−2∠A. 理由如下:由(1),得DN=EN=BN=CN,则∠DBN=∠BDN,∠NCE=∠NEC.
∵∠ABC+∠ACB=180°−∠A,
∴∠BND+∠CNE=(180°−2∠ABC)+(180°−2∠ACB)=360°−2(∠ABC+∠ACB)=360°−2(180°−∠A)=2∠A. 又
∵∠BND+∠CNE+∠DNE=180°,
∴∠DNE=180°−(∠BND+∠CNE)=180°−2∠A.

【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，解题的关键是正确作出辅助线，灵活运用直角三角形和等腰三角形的相关性质，通过角度的转化推导得到角的数量关系，属于几何部分的基础常考题型。
【难度系数】
0.7