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10 新考法(2025 盐城月考)如图，甲、乙、丙、丁四位同学给出了四种表示该长方形面积的多项式：①$(2a + b)(m + n)$；②$a(m + n) + b(m + n)$；③$m(2a + b) + n(2a + b)$；④$2am + 2an + bm + bn$.其中你认为正确的有(
A.①②
B.②③
C.①③④
D.①②③④
C
)A.①②
B.②③
C.①③④
D.①②③④
答案
10. C
11 (2025 宿迁宿城月考)已知等式$(x + m)(x - n) = x^2 + kx - 6$($m$，$n$为正整数)，则$k$的值不可能是(
A.$-1$
B.$-5$
C.$5$
D.$6$
D
)A.$-1$
B.$-5$
C.$5$
D.$6$
答案
11. D
12 已知$M = (x + 3)(x - 7)$，$N = (x + 1)(x - 5)$，则$M$与$N$的大小关系为
$M＜ N$
.答案
12. $M＜ N$
13 (2025 南京建邺期中)若$x^2 - 5x - 2 = 0$，则$(x - 1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) =$
48
.答案
13. 48
14 (2025 徐州期末)在计算$(2x + a)(x + b)$时，甲错把$b$看成了$6$，得到的结果是$2x^2 + 8x - 24$，乙错把$a$看成了$-a$，得到的结果是$2x^2 + 14x + 20$.求：
(1) $a$，$b$的值；
(2) $(2x + a)(x + b)$的正确结果.
(1) $a$，$b$的值；
(2) $(2x + a)(x + b)$的正确结果.
答案
14. 解：（1）因为甲错把$b$看成了6，
所以$(2x + a)(x + 6)=2x^{2}+(12 + a)x + 6a = 2x^{2}+8x - 24$，
所以$\begin{cases}12 + a = 8,\\6a = -24,\end{cases}$解得$a = -4$．
因为乙错把$a$看成了$-a$，
所以$(2x - a)(x + b)=2x^{2}+(2b - a)x - ab = 2x^{2}+14x + 20$，
所以$\begin{cases}2b - a = 14,\\-ab = 20.\end{cases}$
因为$a = -4$，所以$b = 5$．
（2）由（1），得$(2x + a)(x + b)=(2x - 4)(x + 5)=2x^{2}+6x - 20$．
所以$(2x + a)(x + 6)=2x^{2}+(12 + a)x + 6a = 2x^{2}+8x - 24$，
所以$\begin{cases}12 + a = 8,\\6a = -24,\end{cases}$解得$a = -4$．
因为乙错把$a$看成了$-a$，
所以$(2x - a)(x + b)=2x^{2}+(2b - a)x - ab = 2x^{2}+14x + 20$，
所以$\begin{cases}2b - a = 14,\\-ab = 20.\end{cases}$
因为$a = -4$，所以$b = 5$．
（2）由（1），得$(2x + a)(x + b)=(2x - 4)(x + 5)=2x^{2}+6x - 20$．
15 初高衔接(2025 无锡锡山月考)阅读下文，寻找规律.
已知$x ≠ 1$，计算：
$(1 - x)(1 + x) = 1 - x^2$；
$(1 - x)(1 + x + x^2) = 1 - x^3$；
$(1 - x)(1 + x + x^2 + x^3) = 1 - x^4$；
$(1 - x)(1 + x + x^2 + x^3 + x^4) = 1 - x^5$；
……
(1) 观察上式猜想：$(1 - x)(1 + x + x^2 + x^3 + ··· + x^n) =$
(2) 根据你的猜想计算：
①$1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ··· + 2^{2025}$；②$2^{14} + 2^{15} + ··· + 2^{100}$.
已知$x ≠ 1$，计算：
$(1 - x)(1 + x) = 1 - x^2$；
$(1 - x)(1 + x + x^2) = 1 - x^3$；
$(1 - x)(1 + x + x^2 + x^3) = 1 - x^4$；
$(1 - x)(1 + x + x^2 + x^3 + x^4) = 1 - x^5$；
……
(1) 观察上式猜想：$(1 - x)(1 + x + x^2 + x^3 + ··· + x^n) =$
$1 - x^{n + 1}$
；(2) 根据你的猜想计算：
①$1 + 2 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + ··· + 2^{2025}$；②$2^{14} + 2^{15} + ··· + 2^{100}$.
答案
15. 解：（1）$1 - x^{n + 1}$
（2）①$1 + 2 + 2^{2}+2^{3}+2^{4}+··· + 2^{2025}$
$=\frac{1}{1 - 2}×(1 - 2)×(1 + 2 + 2^{2}+2^{3}+··· + 2^{2025})$
$=-1×(1 - 2^{2026})=2^{2026}-1$．
②由①同理可得$1 + 2 + 2^{2}+··· + 2^{13}=2^{14}-1$，$1 + 2 + 2^{2}+··· + 2^{100}=2^{101}-1$，
所以$2^{14}+2^{15}+··· + 2^{100}=2^{101}-1-(2^{14}-1)=2^{101}-2^{14}$．
（2）①$1 + 2 + 2^{2}+2^{3}+2^{4}+··· + 2^{2025}$
$=\frac{1}{1 - 2}×(1 - 2)×(1 + 2 + 2^{2}+2^{3}+··· + 2^{2025})$
$=-1×(1 - 2^{2026})=2^{2026}-1$．
②由①同理可得$1 + 2 + 2^{2}+··· + 2^{13}=2^{14}-1$，$1 + 2 + 2^{2}+··· + 2^{100}=2^{101}-1$，
所以$2^{14}+2^{15}+··· + 2^{100}=2^{101}-1-(2^{14}-1)=2^{101}-2^{14}$．
