10 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=120°$,$AB$的垂直平分线交$BC$于点$D$,且$BD=6\ \mathrm{cm}$,则$CD=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}$.

10. 12

【分析】
本题需结合等腰三角形性质、垂直平分线性质和直角三角形性质求解：先利用等腰三角形底角相等算出∠B和∠C的度数，再由垂直平分线性质得AD=BD，推出∠BAD=∠B，进而算出∠DAC的度数，最后根据直角三角形中30°角的性质求出CD的长度。
【解析】
解：
1. 因为AB=AC，∠BAC=120°，根据等腰三角形两底角相等，得：
∠B = ∠C = (180° - 120°) ÷ 2 = 30°。
2. 由于MD是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质（垂直平分线上的点到线段两端的距离相等），可知AD = BD = 6 cm，因此∠BAD = ∠B = 30°。
3. 计算∠DAC：∠DAC = ∠BAC - ∠BAD = 120° - 30° = 90°，即△ADC是直角三角形，且∠C=30°。
4. 在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，所以CD = 2AD。
将AD=6 cm代入，得CD=2×6=12 cm。
【答案】
12
【知识点】
等腰三角形性质、垂直平分线性质、直角三角形性质
【点评】
本题综合考查多个几何性质的应用，核心是通过垂直平分线得到等线段，结合角度推导直角三角形，再利用直角三角形的特殊性质求解，逻辑清晰，属于中等难度的几何计算题。
【难度系数】
0.4

11 如图,$∠ AOB=15°$,$P$ 是 $OA$ 上一点,点 $Q$ 与点 $P$ 关于 $OB$ 对称,$QM ⊥ OA$ 于点 $M$. 若 $OP=6$,则 $QM$ 的长为.

11. 3

【分析】
要解决本题，需利用轴对称的性质得到相等的线段和角，再结合直角三角形的特殊性质计算。首先，根据点Q与P关于OB对称，可得OB是PQ的垂直平分线，进而得到OQ=OP，且OB平分∠POQ；再结合∠AOB的度数算出∠QOM为30°；最后利用直角三角形中30°角对应的直角边是斜边一半的性质，即可求出QM的长度。
【解析】
∵点Q与点P关于OB对称，
∴OB垂直平分线段PQ，
∴OQ = OP = 6，且∠QOB = ∠POB = ∠AOB = 15°，
∴∠QOM = ∠QOB + ∠POB = 15° + 15° = 30°。
又
∵QM⊥OA，
∴△QMO是直角三角形，∠QMO=90°。
在Rt△QMO中，∠QOM=30°，
根据“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”，
可得QM = ½ OQ = ½ × 6 = 3。
【答案】
3
【知识点】
轴对称的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题综合考查轴对称的性质和直角三角形的特殊性质，核心是利用轴对称转化线段和角的关系，再结合直角三角形的性质求解，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.5

12 方程思想 [2025 海安期末]如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$BD=BC$,$AD=DE=EB$,则$∠ A$的度数为.

12. $45°$ 【解析】设$∠ A = α. \because AB = AC,\therefore ∠ C = ∠ ABC = \frac{1}{2}(180° - ∠ A) = 90° - \frac{1}{2}α.$ 又$\because BD = BC,\therefore ∠ C = ∠ CDB = 90° - \frac{1}{2}α. \therefore ∠ CBD = 180° - 2(90° - \frac{1}{2}α) = α. \because AD = DE = EB,\therefore ∠ A = ∠ DEA = α,∠ EDB = ∠ EBD = \frac{1}{2}α. \therefore ∠ ABC = ∠ EBD + ∠ CBD = \frac{1}{2}α + α = 90° - \frac{1}{2}α,$ 解得 $α = 45°.$ $\therefore ∠ A = 45°.$

【分析】本题运用方程思想求解角度，核心是设∠A为未知数α，根据等腰三角形“等边对等角”的性质，将图中各相关角用α表示，再结合角的和差关系建立方程，进而求出∠A的度数。
【解析】设∠A=α。
1. 因为AB=AC，所以△ABC为等腰三角形，∠C=∠ABC=(180°-∠A)/2=90° - (α/2)。
2. 因为BD=BC，所以△BDC为等腰三角形，∠CDB=∠C=90° - (α/2)，则∠CBD=180° - ∠C - ∠CDB=180° - 2*(90° - α/2)=α。
3. 因为AD=DE=EB，所以△ADE为等腰三角形，∠DEA=∠A=α；又△DEB为等腰三角形，∠EDB=∠EBD，而∠DEA是△DEB的外角，故∠DEA=∠EDB+∠EBD=2∠EBD，因此∠EBD=α/2。
4. 由∠ABC=∠EBD + ∠CBD，可得：90° - (α/2)= (α/2) + α，解方程得：90° - α/2 = (3α)/2 → 2α=90° → α=45°，即∠A=45°。
【答案】45°
【知识点】等腰三角形性质、方程思想、三角形内角和
【点评】本题综合考查等腰三角形的性质与方程思想，通过设未知数将几何角度问题转化为代数方程求解，是几何求角度的典型题型，需熟练掌握等腰三角形“等边对等角”及三角形内角和、外角性质的应用。
【难度系数】0.5

13 如图,在平面直角坐标系中,$△ ABC$ 的三个顶点分别为 $A(1,4),B(4,2),C(3,5)$,请解答下列问题:
(1) 画出$△ ABC$ 关于 $x$ 轴的对称图形$△ A_{1}B_{1}C_{1}$;
(2) 写出点 $A_{1},B_{1},C_{1}$ 的坐标:$A_{1}$,$B_{1}$,$C_{1}$;
(3) 若点 $M(m-1,3),N(-2,n+1)$ 关于 $x$ 轴对称,则 $m=$,$n=$;
(4) 若 $y$ 轴上一点 $P$ 的坐标为$(0,m)$,当 $2 ≤ m ≤ 4$ 时,$S_{△ PAB}=4$. 求点 $P$ 的坐标.

13. (1) 如图,$△ A_1B_1C_1$ 即为所求作
(2) $(1,-4)$ $(4,-2)$ $(3,-5)$
(3) $-1$ $-4$
(4) $\because$ 点 $P$ 的坐标为$(0,m)$,当 $2≤ m≤ 4$ 时,$S_{△ PAB}=4$,$\therefore \frac{1}{2}×(1+4)×2-\frac{1}{2}×1×(4-m)-\frac{1}{2}×4×(m-2)=4$,解得 $m=2$. $\therefore$ 点 $P$ 的坐标为$(0,2)$

【分析】
本题围绕平面直角坐标系中三角形的对称、坐标及面积计算展开，解题思路如下：
1. 第(1)问画关于x轴的对称图形：利用“关于x轴对称的点，横坐标不变，纵坐标互为相反数”的规律，先确定A、B、C三点的对称点，再顺次连接即可；
2. 第(2)问写对称点坐标：直接根据上述对称规律，将原坐标的纵坐标取相反数，横坐标不变，得到对应点坐标；
3. 第(3)问求参数：根据“关于x轴对称的两点，横坐标相等，纵坐标互为相反数”，列方程求解m、n；
4. 第(4)问求点P坐标：用割补法计算△PAB的面积，结合已知面积列方程，求解符合条件的m，进而得到P的坐标。
【解析】
(1) 根据关于x轴对称的点的坐标特征：横坐标相同，纵坐标互为相反数，分别作出点A(1,4)、B(4,2)、C(3,5)关于x轴的对称点A₁(1,-4)、B₁(4,-2)、C₁(3,-5)，顺次连接A₁、B₁、C₁，得到△A₁B₁C₁，即为所求图形；
(2) 由关于x轴对称的点的坐标规律，可得A₁(1,-4)，B₁(4,-2)，C₁(3,-5)；
(3) 因为点M(m-1,3)与N(-2,n+1)关于x轴对称，所以横坐标相等，纵坐标互为相反数，即：
$ m - 1 = -2 $，解得$ m = -1 $；
$ 3 + (n + 1) = 0 $，解得$ n = -4 $；
(4) 用割补法计算△PAB的面积：以A、B、P三点构造辅助图形，面积公式为：
$ S_{△ PAB} = \frac{1}{2}×(1+4)×2 - \frac{1}{2}×1×(4 - m) - \frac{1}{2}×4×(m - 2) = 4 $，
化简计算得：$ 5 - \frac{4 - m}{2} - 2(m - 2) = 4 $，解得$ m = 2 $，符合$ 2≤m≤4 $，故点P坐标为(0,2)。
【答案】
(1) 如图，△A₁B₁C₁即为所求作
(2) (1,-4)；(4,-2)；(3,-5)
(3) -1；-4
(4) (0,2)
【知识点】
关于x轴对称的点的坐标，平面直角坐标系中三角形面积，坐标与图形变化（对称）
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系中对称点的坐标规律、对称作图及三角形面积计算，解题核心是掌握对称的坐标特征和割补法求面积，题型常规，难度适中，适合中等水平学生解答。
【难度系数】
0.5

14 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$D$是边$AB$上一点,过点$D$作$DE ⊥ BC$,垂足为$E$,延长$ED$,交$CA$的延长线于点$F$.
(1) 求证:$AD=AF$;
(2) 若$∠ B=2∠ F$,$BE=2$,$CF=16$,求$BC$的长.

14. (1) $\because AB=AC,\therefore ∠ B=∠ C. \because DE⊥ BC,\therefore ∠ FEC=∠ DEB=90°. \therefore ∠ C + ∠ F = 90°, ∠ B + ∠ BDE = 90°. \therefore ∠ BDE = ∠ F. \because ∠ BDE = ∠ ADF, \therefore ∠ ADF = ∠ F. \therefore AD=AF$
(2) $\because ∠ B=2∠ F,∠ B=∠ C,\therefore ∠ C=2∠ F. \because ∠ C+∠ F=90°,\therefore 3∠ F=90°,$即$∠ F=30°. \because ∠ FEC=90°,CF=16,\therefore CE=\frac{1}{2}CF=8. \because BE=2,\therefore BC=BE+CE=2+8=10$

【分析】
第(1)问：要证明AD=AF，需利用等腰三角形AB=AC的性质得到∠B=∠C；结合DE⊥BC，直角三角形两锐角互余，推出∠BDE=∠F；再通过对顶角相等得到∠BDE=∠ADF，进而得到∠ADF=∠F，根据等角对等边即可证得AD=AF。
第(2)问：已知∠B=2∠F，结合∠B=∠C和直角三角形中∠C+∠F=90°，可求出∠F=30°；在Rt△FEC中，利用“30°角所对的直角边等于斜边的一半”算出CE的长度，再结合BE=2，即可求出BC=BE+CE。
【解析】
(1) 证明：
∵ AB=AC，
∴ ∠B=∠C（等腰三角形等边对等角）。
∵ DE⊥BC，
∴ ∠FEC=∠DEB=90°，
∴ 在Rt△FEC中，∠C + ∠F = 90°；在Rt△DEB中，∠B + ∠BDE = 90°，
∴ ∠BDE = ∠F（等角的余角相等）。
又
∵ ∠BDE = ∠ADF（对顶角相等），
∴ ∠ADF = ∠F，
∴ AD=AF（等角对等边）。
(2) 解：
∵ ∠B=2∠F，且∠B=∠C，
∴ ∠C=2∠F，
又
∵ ∠C + ∠F = 90°，
∴ 2∠F + ∠F = 90°，即3∠F=90°，解得∠F=30°。
在Rt△FEC中，∠FEC=90°，∠F=30°，CF=16，
∴ CE = ½ CF = ½ ×16 =8（直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半）。
∵ BE=2，
∴ BC=BE + CE=2 +8=10。
【答案】
(1) 证明成立；(2) BC的长为10。
【知识点】
等腰三角形性质、直角三角形性质、等角对等边
【点评】
本题综合考查等腰三角形与直角三角形的性质，解题关键是通过角度关系推导等角或特殊角，完成证明与计算，难度适中，需熟练掌握相关几何性质。
【难度系数】
0.5