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1 下列各式计算结果是$2m^{4}$的为（
A.$m^{4}· m^{4}$
B.$m^{4}+m^{4}$
C.$2m^{2}+m^{2}$
D.$2m· m^{4}$
B
）A.$m^{4}· m^{4}$
B.$m^{4}+m^{4}$
C.$2m^{2}+m^{2}$
D.$2m· m^{4}$
答案
1. B
解析
【分析】
要找出计算结果为$2m^4$的选项，需依据整式运算的相关法则，分别计算每个选项的结果，再与目标结果对比，选出符合要求的选项。
【解析】
对各选项逐一计算：
选项A：根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，$m^4·m^4 = m^{4+4} = m^8$，结果不符合；
选项B：根据合并同类项法则，同类项系数相加，字母和指数不变，$m^4 + m^4 = (1+1)m^4 = 2m^4$，结果符合；
选项C：合并同类项得$2m^2 + m^2 = (2+1)m^2 = 3m^2$，结果不符合；
选项D：根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂指数相加，$2m·m^4 = 2m^{1+4} = 2m^5$，结果不符合。
【答案】
B
【知识点】
合并同类项、整式运算
【点评】
本题考查整式的基础运算，需熟练掌握合并同类项、同底数幂乘法等运算法则，通过逐一计算各选项即可得出正确结果，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
要找出计算结果为$2m^4$的选项，需依据整式运算的相关法则，分别计算每个选项的结果，再与目标结果对比，选出符合要求的选项。
【解析】
对各选项逐一计算：
选项A：根据同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加，$m^4·m^4 = m^{4+4} = m^8$，结果不符合；
选项B：根据合并同类项法则，同类项系数相加，字母和指数不变，$m^4 + m^4 = (1+1)m^4 = 2m^4$，结果符合；
选项C：合并同类项得$2m^2 + m^2 = (2+1)m^2 = 3m^2$，结果不符合；
选项D：根据单项式乘法法则，系数相乘，同底数幂指数相加，$2m·m^4 = 2m^{1+4} = 2m^5$，结果不符合。
【答案】
B
【知识点】
合并同类项、整式运算
【点评】
本题考查整式的基础运算，需熟练掌握合并同类项、同底数幂乘法等运算法则，通过逐一计算各选项即可得出正确结果，属于基础题型。
【难度系数】
0.7
2 若 $m^{a+b}· m^{a-b}=m^{12}$, 则 $a$ 的值为（
A.1
B.5
C.4
D.6
D
）A.1
B.5
C.4
D.6
答案
2. D
解析
【分析】本题考查同底数幂的乘法运算，解题时先利用同底数幂相乘的法则化简等式左边的式子，再根据等式两边底数相同则指数相等的性质，列出关于a的方程，求解即可得到a的值，进而选出正确选项。
【解析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$m^x · m^y = m^{x+y}$。对等式左边化简：$m^{a+b} · m^{a-b} = m^{(a+b)+(a-b)} = m^{2a}$。已知等式右边为$m^{12}$，由于等式两边底数均为m，因此指数相等，可得方程$2a = 12$，解得$a = 6$。
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法，一元一次方程的解法
【点评】本题属于基础的幂运算题目，核心考查同底数幂的乘法法则的应用，解题步骤清晰，只要掌握基础法则即可轻松解答，是初中数学的常规基础题型。
【难度系数】0.8
【解析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即$m^x · m^y = m^{x+y}$。对等式左边化简：$m^{a+b} · m^{a-b} = m^{(a+b)+(a-b)} = m^{2a}$。已知等式右边为$m^{12}$，由于等式两边底数均为m，因此指数相等，可得方程$2a = 12$，解得$a = 6$。
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法，一元一次方程的解法
【点评】本题属于基础的幂运算题目，核心考查同底数幂的乘法法则的应用，解题步骤清晰，只要掌握基础法则即可轻松解答，是初中数学的常规基础题型。
【难度系数】0.8
3 求下面各式中 $x$ 的值：
(1) $p^x · p^6 = p^{2x} (p ≠ 0 \mathrm{ 且 } p ≠ 1)$；
(2) $8 × 2^x = 2 × 2^{2x}.$
(1) $p^x · p^6 = p^{2x} (p ≠ 0 \mathrm{ 且 } p ≠ 1)$；
(2) $8 × 2^x = 2 × 2^{2x}.$
答案
3. (1) 由题意,得 $x+6=2x$,解得 $x=6$ (2) $\because 8×2^{x}=2^{3}×2^{x}=2^{3+x}=2×2^{2x}=2^{2x+1},\therefore 3+x=2x+1$,解得 $x=2$
解析
【分析】
本题是求解指数方程，核心思路是利用同底数幂的乘法法则，将等式两边化为同底数幂的形式，再根据“底数相同且底数不为0或1时，指数相等”的性质，转化为一元一次方程，进而求解x的值。
【解析】
(1) 根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，对等式左边化简：
$p^x · p^6 = p^{x+6}$
已知等式右边为$p^{2x}$，且$p≠0$且$p≠1$，因此等式两边同底数幂的指数相等，可得：
$x + 6 = 2x$
移项解得：$x = 6$
(2) 先将等式左边的8转化为以2为底的幂：$8 = 2^3$，再根据同底数幂的乘法法则化简左边：
$8 × 2^x = 2^3 × 2^x = 2^{3+x}$
等式右边化简：$2 × 2^{2x} = 2^{1+2x}$
因为等式两边底数均为2，因此指数相等，可得：
$3 + x = 2x + 1$
移项解得：$x = 2$
【答案】
(1) $x=6$；(2) $x=2$
【知识点】
同底数幂的乘法、一元一次方程求解
【点评】
本题主要考查同底数幂的乘法法则的应用，解题关键是将指数方程转化为一元一次方程，属于基础题型，掌握相关运算法则即可顺利解答。
【难度系数】
0.6
本题是求解指数方程，核心思路是利用同底数幂的乘法法则，将等式两边化为同底数幂的形式，再根据“底数相同且底数不为0或1时，指数相等”的性质，转化为一元一次方程，进而求解x的值。
【解析】
(1) 根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，对等式左边化简：
$p^x · p^6 = p^{x+6}$
已知等式右边为$p^{2x}$，且$p≠0$且$p≠1$，因此等式两边同底数幂的指数相等，可得：
$x + 6 = 2x$
移项解得：$x = 6$
(2) 先将等式左边的8转化为以2为底的幂：$8 = 2^3$，再根据同底数幂的乘法法则化简左边：
$8 × 2^x = 2^3 × 2^x = 2^{3+x}$
等式右边化简：$2 × 2^{2x} = 2^{1+2x}$
因为等式两边底数均为2，因此指数相等，可得：
$3 + x = 2x + 1$
移项解得：$x = 2$
【答案】
(1) $x=6$；(2) $x=2$
【知识点】
同底数幂的乘法、一元一次方程求解
【点评】
本题主要考查同底数幂的乘法法则的应用，解题关键是将指数方程转化为一元一次方程，属于基础题型，掌握相关运算法则即可顺利解答。
【难度系数】
0.6
4 下列计算正确的是（
A.$-4x(2x^{2}+3x+1)=-8x^{3}-12x^{2}-4x$
B.$(x+y)(x^{2}+y^{2})=x^{3}+y^{3}$
C.$(-3a-1)(3a+1)=1-9a^{2}$
D.$(a+2b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
A
）A.$-4x(2x^{2}+3x+1)=-8x^{3}-12x^{2}-4x$
B.$(x+y)(x^{2}+y^{2})=x^{3}+y^{3}$
C.$(-3a-1)(3a+1)=1-9a^{2}$
D.$(a+2b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$
答案
4. A
解析
【分析】本题考查整式乘法的运算，需根据单项式乘多项式、多项式乘多项式、完全平方公式等法则，逐个计算各选项的结果，再与选项给出的结果对比，找出计算正确的选项。
【解析】
选项A：根据单项式乘多项式法则，用$-4x$分别乘以多项式$2x^2+3x+1$的每一项：
$-4x · 2x^2 = -8x^3$，$-4x · 3x = -12x^2$，$-4x · 1 = -4x$，
合并后结果为$-8x^3 -12x^2 -4x$，与选项A一致，该选项正确。
选项B：根据多项式乘多项式法则，展开$(x+y)(x^2+y^2)$：
$x · x^2 + x · y^2 + y · x^2 + y · y^2 = x^3 + xy^2 + x^2y + y^3$，
选项B结果为$x^3 + y^3$，缺少中间项，错误。
选项C：先变形$(-3a-1)(3a+1)=-(3a+1)^2$，根据完全平方公式：
$-(9a^2 + 6a +1) = -9a^2 -6a -1$，选项C结果为$1-9a^2$，错误。
选项D：根据完全平方公式$(a+2b)^2 = a^2 + 2 · a · 2b + (2b)^2 = a^2 +4ab +4b^2$，
选项D结果为$a^2 +2ab +b^2$，错误。
综上，正确的是选项A。
【答案】A
【知识点】整式乘法、单项式乘多项式、完全平方公式
【点评】本题属于整式乘法的基础运算题，需熟练掌握各类乘法法则，计算时注意符号和公式的准确性，避免因混淆法则导致错误。
【难度系数】0.7
【解析】
选项A：根据单项式乘多项式法则，用$-4x$分别乘以多项式$2x^2+3x+1$的每一项：
$-4x · 2x^2 = -8x^3$，$-4x · 3x = -12x^2$，$-4x · 1 = -4x$，
合并后结果为$-8x^3 -12x^2 -4x$，与选项A一致，该选项正确。
选项B：根据多项式乘多项式法则，展开$(x+y)(x^2+y^2)$：
$x · x^2 + x · y^2 + y · x^2 + y · y^2 = x^3 + xy^2 + x^2y + y^3$，
选项B结果为$x^3 + y^3$，缺少中间项，错误。
选项C：先变形$(-3a-1)(3a+1)=-(3a+1)^2$，根据完全平方公式：
$-(9a^2 + 6a +1) = -9a^2 -6a -1$，选项C结果为$1-9a^2$，错误。
选项D：根据完全平方公式$(a+2b)^2 = a^2 + 2 · a · 2b + (2b)^2 = a^2 +4ab +4b^2$，
选项D结果为$a^2 +2ab +b^2$，错误。
综上，正确的是选项A。
【答案】A
【知识点】整式乘法、单项式乘多项式、完全平方公式
【点评】本题属于整式乘法的基础运算题，需熟练掌握各类乘法法则，计算时注意符号和公式的准确性，避免因混淆法则导致错误。
【难度系数】0.7
5 [2026 通州期中]如图,现有 A,B 两类正方形卡片和 C 类长方形卡片各若干张,如果要拼成一个长为 $m+2n$、宽为 $2m+n$ 的大长方形,那么需要 C 类卡片的张数为（
A.4
B.5
C.6
D.7
B
）A.4
B.5
C.6
D.7
答案
5. B
解析
【分析】
要解决这个问题，需先计算目标大长方形的面积，再将面积展开为各类卡片面积的和，根据C类卡片对应的项的系数确定其张数。首先明确各类卡片的面积：A类是边长为$m$的正方形，面积为$m^2$；B类是边长为$n$的正方形，面积为$n^2$；C类是长$m$宽$n$的长方形，面积为$mn$。再通过多项式乘法计算大长方形面积，对应找到$mn$项的系数即可得到C类卡片的张数。
【解析】
1. 计算大长方形的面积：已知大长方形长为$m+2n$，宽为$2m+n$，根据长方形面积公式，面积为$(m+2n)(2m+n)$。
2. 展开多项式：根据多项式乘多项式法则，$(m+2n)(2m+n)=m·2m + m· n + 2n·2m + 2n· n = 2m^2 + mn + 4mn + 2n^2 = 2m^2 + 5mn + 2n^2$。
3. 对应卡片数量：$2m^2$对应A类卡片（面积$m^2$），需2张；$2n^2$对应B类卡片（面积$n^2$），需2张；$5mn$对应C类卡片（面积$mn$），故需要5张。
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式、整式乘法应用
【点评】
本题结合几何拼接考查整式乘法，核心是将面积的代数表达式与卡片的面积对应，关键是正确展开多项式并提取对应项的系数，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.3
要解决这个问题，需先计算目标大长方形的面积，再将面积展开为各类卡片面积的和，根据C类卡片对应的项的系数确定其张数。首先明确各类卡片的面积：A类是边长为$m$的正方形，面积为$m^2$；B类是边长为$n$的正方形，面积为$n^2$；C类是长$m$宽$n$的长方形，面积为$mn$。再通过多项式乘法计算大长方形面积，对应找到$mn$项的系数即可得到C类卡片的张数。
【解析】
1. 计算大长方形的面积：已知大长方形长为$m+2n$，宽为$2m+n$，根据长方形面积公式，面积为$(m+2n)(2m+n)$。
2. 展开多项式：根据多项式乘多项式法则，$(m+2n)(2m+n)=m·2m + m· n + 2n·2m + 2n· n = 2m^2 + mn + 4mn + 2n^2 = 2m^2 + 5mn + 2n^2$。
3. 对应卡片数量：$2m^2$对应A类卡片（面积$m^2$），需2张；$2n^2$对应B类卡片（面积$n^2$），需2张；$5mn$对应C类卡片（面积$mn$），故需要5张。
【答案】
B
【知识点】
多项式乘多项式、整式乘法应用
【点评】
本题结合几何拼接考查整式乘法，核心是将面积的代数表达式与卡片的面积对应，关键是正确展开多项式并提取对应项的系数，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.3
6 某市园林局为美化城区环境,计划在一块长方形空地上种植某种草皮. 若这块空地的面积为$(3a^{2}b^{3}-$$6a^{2}b+27a^{3}b^{3})\mathrm{m}^{2}$,宽为$3ab\ \mathrm{m}$,则这块空地的长为
$ab^{2}-2a+9a^{2}b^{2}$
$\mathrm{m}.$答案
6. $(ab^{2}-2a+9a^{2}b^{2})$
解析
【分析】要计算长方形空地的长，需利用长方形面积公式：面积=长×宽，因此长=面积÷宽。本题中面积是多项式，宽是单项式，需运用多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加即可得到长。
【解析】根据长方形的长=面积÷宽，代入已知条件得：
长 = $(3a^{2}b^{3}-6a^{2}b+27a^{3}b^{3}) ÷ 3ab$
根据多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式：
$3a^{2}b^{3} ÷ 3ab = ab^{2}$，
$-6a^{2}b ÷ 3ab = -2a$，
$27a^{3}b^{3} ÷ 3ab = 9a^{2}b^{2}$，
将上述结果相加，得长为：$ab^{2} - 2a + 9a^{2}b^{2}$。
【答案】$(ab^{2}-2a+9a^{2}b^{2})$
【知识点】多项式除以单项式，长方形面积公式
【点评】本题结合长方形面积公式考查整式的除法运算，属于基础题型，核心是掌握多项式除以单项式的运算法则，计算时注意系数和同底数幂的运算即可。
【难度系数】0.7
【解析】根据长方形的长=面积÷宽，代入已知条件得：
长 = $(3a^{2}b^{3}-6a^{2}b+27a^{3}b^{3}) ÷ 3ab$
根据多项式除以单项式的运算法则，将多项式的每一项分别除以单项式：
$3a^{2}b^{3} ÷ 3ab = ab^{2}$，
$-6a^{2}b ÷ 3ab = -2a$，
$27a^{3}b^{3} ÷ 3ab = 9a^{2}b^{2}$，
将上述结果相加，得长为：$ab^{2} - 2a + 9a^{2}b^{2}$。
【答案】$(ab^{2}-2a+9a^{2}b^{2})$
【知识点】多项式除以单项式，长方形面积公式
【点评】本题结合长方形面积公式考查整式的除法运算，属于基础题型，核心是掌握多项式除以单项式的运算法则，计算时注意系数和同底数幂的运算即可。
【难度系数】0.7
7 欢欢和乐乐分别计算同一道整式乘法题: $(2x+a)(3x+b)$. 欢欢由于将第一个多项式中“+”错抄成了“-”,得到的结果为 $6x^2-13x+6$; 乐乐由于漏抄了第二个多项式中 $x$ 的系数,得到的结果为 $2x^2-x-6$.
(1) 求式子中 $a,b$ 的值;
(2) 请你计算出这道整式乘法题的正确结果.
(1) 求式子中 $a,b$ 的值;
(2) 请你计算出这道整式乘法题的正确结果.
答案
7. (1) 由题意,得$(2x-a)(3x+b)=6x^{2}-(3a-2b)x-ab=6x^{2}-13x+6. \therefore -(3a-2b)=-13①. \because $乐乐漏抄了第二个多项式中 x 的系数$,\therefore (2x+a)(x+b)=2x^{2}+(a+2b)x+ab=2x^{2}-x-6. \therefore a+2b=-1②. $联立①②,解得$ a=3,b=-2 (2) (2x+3)(3x-2)=6x^{2}+5x-6$
解析
【分析】
本题需先根据欢欢和乐乐的错误计算，利用多项式乘多项式法则展开式子，通过对应系数相等建立关于a、b的方程，联立求解a、b的值，再代入原式计算正确结果。欢欢错抄a的符号，乐乐漏抄第二个多项式x的系数，需分别处理两人的错误，对应系数是解题核心。
【解析】
(1) 欢欢的错误计算式为$(2x - a)(3x + b)$，展开得：
$6x^2 + 2bx - 3ax - ab = 6x^2 + (2b - 3a)x - ab$
由题意，该结果为$6x^2 -13x +6$，对应系数相等，得：
$2b - 3a = -13$ ①
乐乐的错误计算式为$(2x + a)(x + b)$，展开得：
$2x^2 + 2bx + ax + ab = 2x^2 + (a + 2b)x + ab$
由题意，该结果为$2x^2 -x -6$，对应系数相等，得：
$a + 2b = -1$ ②
联立①②，将①变形为$3a -2b=13$，与②相加消去b：
$4a=12$，解得$a=3$，把$a=3$代入②得$3 +2b=-1$，解得$b=-2$。
(2) 正确式子为$(2x +3)(3x -2)$，展开计算：
$=6x^2 -4x +9x -6$
$=6x^2 +5x -6$
【答案】(1) $a=3$，$b=-2$；(2) $6x^2 +5x -6$
【知识点】多项式乘多项式，二元一次方程组的应用
【点评】本题结合多项式乘多项式法则与二元一次方程组求解，关键是准确对应错误计算的系数关系，区分两人的错误类型，避免系数混淆，是中等难度的综合题。
【难度系数】0.6
本题需先根据欢欢和乐乐的错误计算，利用多项式乘多项式法则展开式子，通过对应系数相等建立关于a、b的方程，联立求解a、b的值，再代入原式计算正确结果。欢欢错抄a的符号，乐乐漏抄第二个多项式x的系数，需分别处理两人的错误，对应系数是解题核心。
【解析】
(1) 欢欢的错误计算式为$(2x - a)(3x + b)$，展开得：
$6x^2 + 2bx - 3ax - ab = 6x^2 + (2b - 3a)x - ab$
由题意，该结果为$6x^2 -13x +6$，对应系数相等，得：
$2b - 3a = -13$ ①
乐乐的错误计算式为$(2x + a)(x + b)$，展开得：
$2x^2 + 2bx + ax + ab = 2x^2 + (a + 2b)x + ab$
由题意，该结果为$2x^2 -x -6$，对应系数相等，得：
$a + 2b = -1$ ②
联立①②，将①变形为$3a -2b=13$，与②相加消去b：
$4a=12$，解得$a=3$，把$a=3$代入②得$3 +2b=-1$，解得$b=-2$。
(2) 正确式子为$(2x +3)(3x -2)$，展开计算：
$=6x^2 -4x +9x -6$
$=6x^2 +5x -6$
【答案】(1) $a=3$，$b=-2$；(2) $6x^2 +5x -6$
【知识点】多项式乘多项式，二元一次方程组的应用
【点评】本题结合多项式乘多项式法则与二元一次方程组求解，关键是准确对应错误计算的系数关系，区分两人的错误类型，避免系数混淆，是中等难度的综合题。
【难度系数】0.6
