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1 [2025 连云港]下列长度(单位:cm)的3根小木棒能搭成三角形的是 （
A.1,2,3
B.2,3,4
C.3,5,8
D.4,5,10
B
）A.1,2,3
B.2,3,4
C.3,5,8
D.4,5,10
答案
1.B
解析
【分析】要判断三根小木棒能否搭成三角形，需依据三角形三边关系定理：三角形任意两边之和大于第三边。为简化计算，可直接验证两条较短边的和是否大于最长边，若满足则能搭成，反之则不能，接下来依次对各选项进行验证即可。
【解析】根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，简便验证方法为：两条较短边的和大于最长边。
选项A：较短边为1、2，和为1+2=3，最长边为3，1+2=3，不满足“大于”，不能搭成三角形；
选项B：较短边为2、3，和为2+3=5，最长边为4，5＞4，满足条件，能搭成三角形；
选项C：较短边为3、5，和为3+5=8，最长边为8，3+5=8，不满足“大于”，不能搭成三角形；
选项D：较短边为4、5，和为4+5=9，最长边为10，9＜10，不满足条件，不能搭成三角形。
综上，答案为B。
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【点评】本题考查三角形三边关系的基础应用，属于简单题型，只要掌握三角形三边的判定规则就能轻松解答。
【难度系数】0.8
【解析】根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，简便验证方法为：两条较短边的和大于最长边。
选项A：较短边为1、2，和为1+2=3，最长边为3，1+2=3，不满足“大于”，不能搭成三角形；
选项B：较短边为2、3，和为2+3=5，最长边为4，5＞4，满足条件，能搭成三角形；
选项C：较短边为3、5，和为3+5=8，最长边为8，3+5=8，不满足“大于”，不能搭成三角形；
选项D：较短边为4、5，和为4+5=9，最长边为10，9＜10，不满足条件，不能搭成三角形。
综上，答案为B。
【答案】B
【知识点】三角形三边关系
【点评】本题考查三角形三边关系的基础应用，属于简单题型，只要掌握三角形三边的判定规则就能轻松解答。
【难度系数】0.8
2 [2025 南充]如图,把含有 $60°$ 角的直角三角尺的斜边放在直线 $l$ 上,则$∠ α$的度数是 （
A.$120°$
B.$130°$
C.$140°$
D.$150°$
D
）A.$120°$
B.$130°$
C.$140°$
D.$150°$
答案
2.D
解析
【分析】首先，根据直角三角形内角和为180°，结合已知的直角和60°角，算出三角尺在直线l上的未知内角；再利用平角为180°的性质，即可求出∠α的度数。
【解析】解：在含有60°角的直角三角尺中，三个内角分别为90°、60°、30°，因此三角尺在直线l上的另一个内角为：180° - 90° - 60° = 30°。由于直线l是平角（180°），所以∠α = 180° - 30° = 150°。
【答案】D
【知识点】直角三角形内角和、平角的性质
【点评】本题属于基础几何题，核心是利用直角三角形内角和计算未知角，再结合平角性质求解，难度较低。
【难度系数】0.3
【解析】解：在含有60°角的直角三角尺中，三个内角分别为90°、60°、30°，因此三角尺在直线l上的另一个内角为：180° - 90° - 60° = 30°。由于直线l是平角（180°），所以∠α = 180° - 30° = 150°。
【答案】D
【知识点】直角三角形内角和、平角的性质
【点评】本题属于基础几何题，核心是利用直角三角形内角和计算未知角，再结合平角性质求解，难度较低。
【难度系数】0.3
3 如图,$AD$平分$∠ BAC$,$F$是$AD$的反向延长线上的一点,$EF ⊥ BC$于点$E$.若$∠ 1=40^{ \circ }$,$∠ C=65^{ \circ }$,则$∠ F$的度数为（
A.$50^{ \circ }$
B.$35^{ \circ }$
C.$25^{ \circ }$
D.$15^{ \circ }$
D
）A.$50^{ \circ }$
B.$35^{ \circ }$
C.$25^{ \circ }$
D.$15^{ \circ }$
答案
3.D
解析
【分析】
要计算∠F的度数，需结合角平分线性质、三角形内角和、外角性质及直角三角形的性质逐步推导：首先由AD平分∠BAC得∠BAD=∠1，再利用△ABC内角和算出∠B，接着通过外角性质得到∠ADC，最后在直角△DEF中利用两锐角互余求出∠F。
【解析】
1. 因为AD平分∠BAC，∠1=40°，所以∠BAD=∠1=40°，则∠BAC=∠1+∠BAD=80°。
2. 在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-80°-65°=35°。
3. ∠ADC是△ABD的外角，根据三角形外角性质，∠ADC=∠B+∠BAD=35°+40°=75°。
4. 因为EF⊥BC，所以∠DEF=90°，在Rt△DEF中，直角三角形两锐角互余，故∠F=90°-∠ADC=90°-75°=15°。
【答案】
D
【知识点】
角平分线性质；三角形内角和；直角三角形性质
【点评】
本题综合考查角平分线、三角形内角和、外角性质及直角三角形的性质，解题关键是逐步推导各角度，属于基础几何计算题，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.6
要计算∠F的度数，需结合角平分线性质、三角形内角和、外角性质及直角三角形的性质逐步推导：首先由AD平分∠BAC得∠BAD=∠1，再利用△ABC内角和算出∠B，接着通过外角性质得到∠ADC，最后在直角△DEF中利用两锐角互余求出∠F。
【解析】
1. 因为AD平分∠BAC，∠1=40°，所以∠BAD=∠1=40°，则∠BAC=∠1+∠BAD=80°。
2. 在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得∠B=180°-∠BAC-∠C=180°-80°-65°=35°。
3. ∠ADC是△ABD的外角，根据三角形外角性质，∠ADC=∠B+∠BAD=35°+40°=75°。
4. 因为EF⊥BC，所以∠DEF=90°，在Rt△DEF中，直角三角形两锐角互余，故∠F=90°-∠ADC=90°-75°=15°。
【答案】
D
【知识点】
角平分线性质；三角形内角和；直角三角形性质
【点评】
本题综合考查角平分线、三角形内角和、外角性质及直角三角形的性质，解题关键是逐步推导各角度，属于基础几何计算题，需熟练掌握相关定理。
【难度系数】
0.6
4 如图,$△ ABC$ 沿 $EF$ 折叠使点 $A$ 落在点 $A'$ 处,$BP,CP$ 分别是 $∠ ABD,∠ ACD$ 的平分线.若 $∠ P=$$30°,∠ A'EB=20°$,则 $∠ A'FC$ 的度数为（
A.$125°$
B.$130°$
C.$135°$
D.$140°$
D
）A.$125°$
B.$130°$
C.$135°$
D.$140°$
答案
4.D
解析
【分析】
要解决本题，需结合角平分线性质、三角形内角和定理、折叠的性质逐步推导：首先根据BP、CP为外角平分线及∠P的度数求出∠A的度数；再利用折叠前后对应角相等，结合∠A'EB的度数求出∠AEF；接着在△AEF中计算∠AFE；最后根据平角定义和折叠性质求出∠A'FC的度数。
【解析】
1. 求∠A的度数：
∵ BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，根据三角形外角性质与角平分线定义，可得∠A=2∠P，已知∠P=30°，
∴ ∠A=2×30°=60°。
2. 求∠AEF的度数：
由折叠的性质，折叠前后对应角相等，得∠AEF=∠A'EF；又
∵ E在AB上，∠AEF+∠A'EF+∠A'EB=180°（平角定义），且∠A'EB=20°，代入得：2∠AEF +20°=180°，解得∠AEF=80°。
3. 求∠AFE的度数：
在△AEF中，根据三角形内角和为180°，得∠AFE=180°-∠A-∠AEF=180°-60°-80°=40°。
4. 求∠A'FC的度数：
由折叠性质，∠A'FE=∠AFE=40°；又
∵ F在AC上，∠A'FE+∠A'FC=180°（平角定义），
∴ ∠A'FC=180°-40°=140°。
【答案】
D
【知识点】
角平分线性质、三角形内角和、折叠的性质
【点评】
本题综合考查几何角的相关性质，需熟练掌握折叠的对应角相等、三角形内角和、角平分线的作用，关键是理清各角间的关系逐步推导，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需结合角平分线性质、三角形内角和定理、折叠的性质逐步推导：首先根据BP、CP为外角平分线及∠P的度数求出∠A的度数；再利用折叠前后对应角相等，结合∠A'EB的度数求出∠AEF；接着在△AEF中计算∠AFE；最后根据平角定义和折叠性质求出∠A'FC的度数。
【解析】
1. 求∠A的度数：
∵ BP平分∠ABD，CP平分∠ACD，根据三角形外角性质与角平分线定义，可得∠A=2∠P，已知∠P=30°，
∴ ∠A=2×30°=60°。
2. 求∠AEF的度数：
由折叠的性质，折叠前后对应角相等，得∠AEF=∠A'EF；又
∵ E在AB上，∠AEF+∠A'EF+∠A'EB=180°（平角定义），且∠A'EB=20°，代入得：2∠AEF +20°=180°，解得∠AEF=80°。
3. 求∠AFE的度数：
在△AEF中，根据三角形内角和为180°，得∠AFE=180°-∠A-∠AEF=180°-60°-80°=40°。
4. 求∠A'FC的度数：
由折叠性质，∠A'FE=∠AFE=40°；又
∵ F在AC上，∠A'FE+∠A'FC=180°（平角定义），
∴ ∠A'FC=180°-40°=140°。
【答案】
D
【知识点】
角平分线性质、三角形内角和、折叠的性质
【点评】
本题综合考查几何角的相关性质，需熟练掌握折叠的对应角相等、三角形内角和、角平分线的作用，关键是理清各角间的关系逐步推导，属于中等难度的几何题。
【难度系数】
0.5
5 三个数$3,1-a,1-2a$在数轴上从左到右依次排列,且以这三个数为边长能构成三角形,则$a$的取值范围是
$-3＜a＜-2$
.答案
5.$-3＜a＜-2$
解析
【分析】首先，根据数轴上从左到右的数依次增大，可列出关于$a$的不等式组；再根据三角形三边关系（较小两边之和大于最大边），列出另一个不等式，联立求解即可得到$a$的取值范围。
【解析】
1. 根据数轴上数的排列顺序（从左到右依次增大），可得：
$3 ＜ 1 - a$且$1 - a ＜ 1 - 2a$
解不等式$3 ＜ 1 - a$：移项得$a ＜ 1 - 3$，即$a ＜ -2$；
解不等式$1 - a ＜ 1 - 2a$：移项得$-a + 2a ＜ 1 - 1$，即$a ＜ 0$；
联立得：$a ＜ -2$。
2. 根据三角形三边关系，三个数能构成三角形需满足较小两边之和大于最大边。由$a ＜ -2$可知，$1 - 2a ＞ 1 - a ＞ 3$，故最大边为$1 - 2a$，因此：
$3 + (1 - a) ＞ 1 - 2a$
化简得：$4 - a ＞ 1 - 2a$，移项得$a ＞ -3$。
3. 联立两个不等式的解，得$a$的取值范围为：$-3 ＜ a ＜ -2$。
【答案】$-3＜a＜-2$
【知识点】数轴上数的大小比较、三角形三边关系
【点评】本题结合数轴性质与三角形三边关系，需先利用数轴排列顺序确定$a$的初步范围，再结合三角形条件进一步缩小范围，考查学生的综合应用能力。
【难度系数】0.5
【解析】
1. 根据数轴上数的排列顺序（从左到右依次增大），可得：
$3 ＜ 1 - a$且$1 - a ＜ 1 - 2a$
解不等式$3 ＜ 1 - a$：移项得$a ＜ 1 - 3$，即$a ＜ -2$；
解不等式$1 - a ＜ 1 - 2a$：移项得$-a + 2a ＜ 1 - 1$，即$a ＜ 0$；
联立得：$a ＜ -2$。
2. 根据三角形三边关系，三个数能构成三角形需满足较小两边之和大于最大边。由$a ＜ -2$可知，$1 - 2a ＞ 1 - a ＞ 3$，故最大边为$1 - 2a$，因此：
$3 + (1 - a) ＞ 1 - 2a$
化简得：$4 - a ＞ 1 - 2a$，移项得$a ＞ -3$。
3. 联立两个不等式的解，得$a$的取值范围为：$-3 ＜ a ＜ -2$。
【答案】$-3＜a＜-2$
【知识点】数轴上数的大小比较、三角形三边关系
【点评】本题结合数轴性质与三角形三边关系，需先利用数轴排列顺序确定$a$的初步范围，再结合三角形条件进一步缩小范围，考查学生的综合应用能力。
【难度系数】0.5
6 分类讨论思想 在$△ ABC$中，$∠ A=55°$，高$BE$，$CF$所在的直线相交于点$O$，则$∠ BOC$的度数为
$125°或55°$
。答案
6.$125°或55°$
解析
【分析】本题需根据△ABC的类型（锐角或钝角）分类讨论，因为高BE、CF的交点O的位置随三角形类型变化，导致∠BOC的度数不同，需分别计算两种情况的结果，避免漏解。
【解析】分两种情况讨论：
1. 当△ABC为锐角三角形时，高BE、CF交于△ABC内部的点O。
∵ BE、CF是△ABC的高，
∴ ∠AEO=∠AFO=90°，
在四边形AEOF中，内角和为360°，
∴ ∠EOF = 360° - ∠A - ∠AEO - ∠AFO = 360° - 55° - 90° - 90° = 125°，
又
∵ ∠BOC与∠EOF是对顶角，
∴ ∠BOC=∠EOF=125°；
2. 当△ABC为钝角三角形时，高BE、CF交于△ABC外部的点O（钝角为∠ACB），
∵ BE、CF是高，
∴ ∠AFC=∠BEC=90°，
在△AFC中，∠ACF=180° - ∠A - ∠AFC=180°-55°-90°=35°，
在△EOC中，∠EOC=90° - ∠ACF=55°，即∠BOC=55°；
综上，∠BOC的度数为125°或55°。
【答案】125°或55°
【知识点】分类讨论思想，三角形的高，三角形内角和定理
【点评】本题考查分类讨论思想的应用，关键是根据三角形类型确定高的交点位置，避免漏解，需学生全面分析问题，是易错题。
【难度系数】0.4
【解析】分两种情况讨论：
1. 当△ABC为锐角三角形时，高BE、CF交于△ABC内部的点O。
∵ BE、CF是△ABC的高，
∴ ∠AEO=∠AFO=90°，
在四边形AEOF中，内角和为360°，
∴ ∠EOF = 360° - ∠A - ∠AEO - ∠AFO = 360° - 55° - 90° - 90° = 125°，
又
∵ ∠BOC与∠EOF是对顶角，
∴ ∠BOC=∠EOF=125°；
2. 当△ABC为钝角三角形时，高BE、CF交于△ABC外部的点O（钝角为∠ACB），
∵ BE、CF是高，
∴ ∠AFC=∠BEC=90°，
在△AFC中，∠ACF=180° - ∠A - ∠AFC=180°-55°-90°=35°，
在△EOC中，∠EOC=90° - ∠ACF=55°，即∠BOC=55°；
综上，∠BOC的度数为125°或55°。
【答案】125°或55°
【知识点】分类讨论思想，三角形的高，三角形内角和定理
【点评】本题考查分类讨论思想的应用，关键是根据三角形类型确定高的交点位置，避免漏解，需学生全面分析问题，是易错题。
【难度系数】0.4
7 如图,在$△ ABC$中,$∠ BAC=4∠ ABC=4∠ C,BD ⊥ AC$交$CA$的延长线于点$D$,则$∠ ABD$的度数为
$30°$
.答案
7.$30°$
解析
【分析】
要解决这道题，首先根据题目给出的角的等量关系设未知数，利用三角形内角和定理求出△ABC各内角的度数；再结合点D在CA延长线上的平角关系，以及BD⊥AC的直角条件，在直角三角形ABD中计算∠ABD的度数。
【解析】
设∠ABC = ∠C = x，由题意知∠BAC = 4∠ABC = 4∠C，因此∠BAC = 4x。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠BAC + ∠ABC + ∠C = 180°
代入得：4x + x + x = 180°
解得：x = 30°，因此∠BAC = 4×30° = 120°。
因为点D在CA的延长线上，所以∠BAD与∠BAC组成平角，即：
∠BAD = 180° - ∠BAC = 180° - 120° = 60°。
又因为BD⊥AC，所以∠D = 90°，在Rt△ABD中，两个锐角互余，因此：
∠ABD = 90° - ∠BAD = 90° - 60° = 30°。
【答案】
30°
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形性质，平角定义
【点评】
本题考查三角形内角和与直角三角形角度计算，解题关键是理清角的关系，先求△ABC内角，再结合平角和直角三角形性质计算，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.6
要解决这道题，首先根据题目给出的角的等量关系设未知数，利用三角形内角和定理求出△ABC各内角的度数；再结合点D在CA延长线上的平角关系，以及BD⊥AC的直角条件，在直角三角形ABD中计算∠ABD的度数。
【解析】
设∠ABC = ∠C = x，由题意知∠BAC = 4∠ABC = 4∠C，因此∠BAC = 4x。
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠BAC + ∠ABC + ∠C = 180°
代入得：4x + x + x = 180°
解得：x = 30°，因此∠BAC = 4×30° = 120°。
因为点D在CA的延长线上，所以∠BAD与∠BAC组成平角，即：
∠BAD = 180° - ∠BAC = 180° - 120° = 60°。
又因为BD⊥AC，所以∠D = 90°，在Rt△ABD中，两个锐角互余，因此：
∠ABD = 90° - ∠BAD = 90° - 60° = 30°。
【答案】
30°
【知识点】
三角形内角和定理，直角三角形性质，平角定义
【点评】
本题考查三角形内角和与直角三角形角度计算，解题关键是理清角的关系，先求△ABC内角，再结合平角和直角三角形性质计算，属于基础几何题，难度适中。
【难度系数】
0.6
8 如图, D, E 分别是 $△ A B C$ 的边 A B, B C 上的点, $A D=2 B D, B E=C E$. 设 $△ A D F$ 的面积为 $S_1$,
$△ C E F$ 的面积为 $S_2$. 若 $S_{△ A B C}=6$, 则 $S_1-S_2=$
$△ C E F$ 的面积为 $S_2$. 若 $S_{△ A B C}=6$, 则 $S_1-S_2=$
$1$
.答案
8.$1$
解析
【分析】
要解决这个问题，我们利用“同高三角形的面积比等于对应底的比”这一性质，先计算相关三角形的面积，再通过面积的组成关系推导S₁与S₂的差值。首先根据线段比例确定△ADC和△AEC的面积，再结合图形中三角形的拆分关系，消去公共部分的面积，即可得到S₁-S₂的结果。
【解析】
1. 求△ADC的面积：已知AD=2BD，即AD:AB=2:3，△ADC与△ABC同高，根据同高三角形面积比等于底的比，可得：
$S_{△ ADC} = \frac{AD}{AB} × S_{△ ABC} = \frac{2}{3} × 6 = 4$。
2. 求△AEC的面积：已知BE=CE，即E是BC中点，CE:BC=1:2，△AEC与△ABC同高，同理可得：
$S_{△ AEC} = \frac{CE}{BC} × S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × 6 = 3$。
3. 推导S₁-S₂的关系：观察图形，△ADC由△ADF（即S₁）和△AFC组成，△AEC由△CEF（即S₂）和△AFC组成，因此：
$S_{△ ADC} - S_{△ AEC} = (S_1 + S_{△ AFC}) - (S_2 + S_{△ AFC}) = S_1 - S_2$。
4. 代入计算：将$S_{△ ADC}=4$、$S_{△ AEC}=3$代入上式，得$S_1 - S_2 = 4 - 3 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
三角形面积比例、同高三角形性质
【点评】
本题核心是利用同高三角形的面积比例关系，通过转化三角形的组成部分，消去公共区域的面积，简化计算过程，无需直接求解复杂的重叠区域面积，体现了几何面积转化的解题思想，属于中等难度的几何面积计算问题。
【难度系数】
0.5
要解决这个问题，我们利用“同高三角形的面积比等于对应底的比”这一性质，先计算相关三角形的面积，再通过面积的组成关系推导S₁与S₂的差值。首先根据线段比例确定△ADC和△AEC的面积，再结合图形中三角形的拆分关系，消去公共部分的面积，即可得到S₁-S₂的结果。
【解析】
1. 求△ADC的面积：已知AD=2BD，即AD:AB=2:3，△ADC与△ABC同高，根据同高三角形面积比等于底的比，可得：
$S_{△ ADC} = \frac{AD}{AB} × S_{△ ABC} = \frac{2}{3} × 6 = 4$。
2. 求△AEC的面积：已知BE=CE，即E是BC中点，CE:BC=1:2，△AEC与△ABC同高，同理可得：
$S_{△ AEC} = \frac{CE}{BC} × S_{△ ABC} = \frac{1}{2} × 6 = 3$。
3. 推导S₁-S₂的关系：观察图形，△ADC由△ADF（即S₁）和△AFC组成，△AEC由△CEF（即S₂）和△AFC组成，因此：
$S_{△ ADC} - S_{△ AEC} = (S_1 + S_{△ AFC}) - (S_2 + S_{△ AFC}) = S_1 - S_2$。
4. 代入计算：将$S_{△ ADC}=4$、$S_{△ AEC}=3$代入上式，得$S_1 - S_2 = 4 - 3 = 1$。
【答案】
1
【知识点】
三角形面积比例、同高三角形性质
【点评】
本题核心是利用同高三角形的面积比例关系，通过转化三角形的组成部分，消去公共区域的面积，简化计算过程，无需直接求解复杂的重叠区域面积，体现了几何面积转化的解题思想，属于中等难度的几何面积计算问题。
【难度系数】
0.5
9 [2026 如东期中改编]如图,在$△ ABC$中,点$D$在$AB$上,$∠ A=∠ DCA$,$∠ B=∠ ACB$,$∠ BDC=$$∠ BCD$,则$∠ B=$
$(\dfrac{540}{7})°$
.答案
9.$(\dfrac{540}{7})°$
解析
【分析】
要解决本题，需利用三角形内角和定理、三角形外角的性质，先设∠A为未知数，根据已知角的相等关系表示出其他角，再结合三角形内角和建立方程求解。步骤如下：1. 设∠A=x，由∠A=∠DCA得∠DCA=x；2. 根据三角形外角性质，∠BDC是△ADC的外角，故∠BDC=∠A+∠DCA=2x；3. 由∠BDC=∠BCD得∠BCD=2x；4. 结合∠B=∠ACB，而∠ACB=∠DCA+∠BCD，故∠ACB=3x，即∠B=3x；5. 利用△ABC内角和为180°，列方程求解x，进而得到∠B。
【解析】
设∠A = x°，
∵ ∠A = ∠DCA，
∴ ∠DCA = x°，
∵ ∠BDC是△ADC的外角，
∴ ∠BDC = ∠A + ∠DCA = x° + x° = 2x°，
又
∵ ∠BDC = ∠BCD，
∴ ∠BCD = 2x°，
∵ ∠ACB = ∠DCA + ∠BCD = x° + 2x° = 3x°，且∠B = ∠ACB，
∴ ∠B = 3x°，
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠A + ∠B + ∠ACB = 180°，
代入得：x + 3x + 3x = 180，
即7x = 180，
解得x = $\dfrac{180}{7}$，
∴ ∠B = 3x = 3×$\dfrac{180}{7}$ = $\dfrac{540}{7}$°。
【答案】
$\dfrac{540}{7}°$
【知识点】
三角形内角和、三角形外角性质
【点评】
本题通过设未知数，利用三角形外角性质和内角和定理建立方程，是解决角度计算问题的常用方法，需注意各角之间的关系转换。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需利用三角形内角和定理、三角形外角的性质，先设∠A为未知数，根据已知角的相等关系表示出其他角，再结合三角形内角和建立方程求解。步骤如下：1. 设∠A=x，由∠A=∠DCA得∠DCA=x；2. 根据三角形外角性质，∠BDC是△ADC的外角，故∠BDC=∠A+∠DCA=2x；3. 由∠BDC=∠BCD得∠BCD=2x；4. 结合∠B=∠ACB，而∠ACB=∠DCA+∠BCD，故∠ACB=3x，即∠B=3x；5. 利用△ABC内角和为180°，列方程求解x，进而得到∠B。
【解析】
设∠A = x°，
∵ ∠A = ∠DCA，
∴ ∠DCA = x°，
∵ ∠BDC是△ADC的外角，
∴ ∠BDC = ∠A + ∠DCA = x° + x° = 2x°，
又
∵ ∠BDC = ∠BCD，
∴ ∠BCD = 2x°，
∵ ∠ACB = ∠DCA + ∠BCD = x° + 2x° = 3x°，且∠B = ∠ACB，
∴ ∠B = 3x°，
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠A + ∠B + ∠ACB = 180°，
代入得：x + 3x + 3x = 180，
即7x = 180，
解得x = $\dfrac{180}{7}$，
∴ ∠B = 3x = 3×$\dfrac{180}{7}$ = $\dfrac{540}{7}$°。
【答案】
$\dfrac{540}{7}°$
【知识点】
三角形内角和、三角形外角性质
【点评】
本题通过设未知数，利用三角形外角性质和内角和定理建立方程，是解决角度计算问题的常用方法，需注意各角之间的关系转换。
【难度系数】
0.5
10 如图,$CE$ 平分$∠ ACD$,交 $AB$ 于点 $E$,$∠ A=40°$,$∠ B=30°$,$∠ D=104°$,则$∠ BEC$ 的度数为
$57°$
。答案
10. $57°$ 【解析】如图,延长CD交AB于点F.
∵ ∠BDC是△BFD的一个外角,
∴ ∠BFD=∠BDC-∠B=104°-30°=74°.
∵ ∠BFD是△AFC的一个外角,
∴ ∠ACF=∠BFD-∠A=74°-40°=34°.
∵ CE平分∠ACD,
∴ ∠ACE=∠FCE=$\frac{1}{2}$∠ACF=17°.
∵ ∠BEC是△AEC的一个外角,
∴ ∠BEC=∠ACE+∠A=17°+40°=57°.
(第10题)
∵ ∠BDC是△BFD的一个外角,
∴ ∠BFD=∠BDC-∠B=104°-30°=74°.
∵ ∠BFD是△AFC的一个外角,
∴ ∠ACF=∠BFD-∠A=74°-40°=34°.
∵ CE平分∠ACD,
∴ ∠ACE=∠FCE=$\frac{1}{2}$∠ACF=17°.
∵ ∠BEC是△AEC的一个外角,
∴ ∠BEC=∠ACE+∠A=17°+40°=57°.
(第10题)
解析
【分析】
要计算∠BEC的度数，需利用三角形外角的性质和角平分线的定义。首先添加辅助线延长CD交AB于点F，将已知的∠B、∠D转化为与∠A、∠ACD相关的角，再结合角平分线求出∠ACE，最后利用三角形外角性质推导∠BEC的度数。
【解析】
解：延长CD交AB于点F。
1. 根据三角形外角的性质，∠BDC是△BFD的外角，因此∠BFD = ∠BDC - ∠B = 104° - 30° = 74°。
2. 同理，∠BFD是△AFC的外角，所以∠ACF = ∠BFD - ∠A = 74° - 40° = 34°。
3. 因为CE平分∠ACD，根据角平分线的定义，∠ACE = ∠FCE = $\frac{1}{2}$∠ACF = $\frac{1}{2}$×34° = 17°。
4. 又因为∠BEC是△AEC的外角，根据三角形外角性质，∠BEC = ∠ACE + ∠A = 17° + 40° = 57°。
【答案】
57°
【知识点】
三角形外角性质、角平分线定义
【点评】
本题考查三角形外角性质与角平分线的综合应用，核心是通过添加辅助线将分散的角度关联起来，利用外角定理逐步转化计算，需要学生掌握角度间的转化逻辑，属于中等难度的几何角度计算题型。
【难度系数】
0.5
要计算∠BEC的度数，需利用三角形外角的性质和角平分线的定义。首先添加辅助线延长CD交AB于点F，将已知的∠B、∠D转化为与∠A、∠ACD相关的角，再结合角平分线求出∠ACE，最后利用三角形外角性质推导∠BEC的度数。
【解析】
解：延长CD交AB于点F。
1. 根据三角形外角的性质，∠BDC是△BFD的外角，因此∠BFD = ∠BDC - ∠B = 104° - 30° = 74°。
2. 同理，∠BFD是△AFC的外角，所以∠ACF = ∠BFD - ∠A = 74° - 40° = 34°。
3. 因为CE平分∠ACD，根据角平分线的定义，∠ACE = ∠FCE = $\frac{1}{2}$∠ACF = $\frac{1}{2}$×34° = 17°。
4. 又因为∠BEC是△AEC的外角，根据三角形外角性质，∠BEC = ∠ACE + ∠A = 17° + 40° = 57°。
【答案】
57°
【知识点】
三角形外角性质、角平分线定义
【点评】
本题考查三角形外角性质与角平分线的综合应用，核心是通过添加辅助线将分散的角度关联起来，利用外角定理逐步转化计算，需要学生掌握角度间的转化逻辑，属于中等难度的几何角度计算题型。
【难度系数】
0.5
11 [2025 海安期末]如图，$CE$ 是$△ ABC$ 的外角$∠ ACD$ 的平分线，$CE$ 交 $BA$ 的延长线于点 $E$. 若$∠ BAC-∠ B=56°$，则$∠ E$ 的度数是
$28°$
.答案
11. $28°$ 【解析】
∵ ∠ACD是△ABC的外角,
∴ ∠B+∠BAC=∠ACD.
∵ CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,
∴ ∠ECD=$\frac{1}{2}$(∠B+∠BAC).
∵ ∠ECD是△BCE的外角,
∴ ∠ECD=∠E+∠B.
∴ $\frac{1}{2}$(∠B+∠BAC)=∠E+∠B.
∴ ∠BAC-∠B=2∠E.
∵ ∠BAC-∠B=56°,
∴ 2∠E=56°.
∴ ∠E=28°.
∵ ∠ACD是△ABC的外角,
∴ ∠B+∠BAC=∠ACD.
∵ CE是△ABC的外角∠ACD的平分线,
∴ ∠ECD=$\frac{1}{2}$(∠B+∠BAC).
∵ ∠ECD是△BCE的外角,
∴ ∠ECD=∠E+∠B.
∴ $\frac{1}{2}$(∠B+∠BAC)=∠E+∠B.
∴ ∠BAC-∠B=2∠E.
∵ ∠BAC-∠B=56°,
∴ 2∠E=56°.
∴ ∠E=28°.
解析
【分析】
要解决本题，需运用三角形外角的性质和角平分线的定义。首先，利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”，得到△ABC的外角∠ACD与∠B、∠BAC的关系；再结合CE平分∠ACD，将∠ECD用∠B和∠BAC表示；最后再次利用三角形外角性质，建立∠ECD与∠E、∠B的关系，通过等式变形找到∠BAC-∠B与∠E的数量关系，进而求出∠E的度数。
【解析】
∵ ∠ACD是△ABC的外角，
∴ ∠ACD = ∠B + ∠BAC。
∵ CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴ ∠ECD = $\frac{1}{2}$∠ACD = $\frac{1}{2}$(∠B + ∠BAC)。
∵ ∠ECD是△BCE的外角，
∴ ∠ECD = ∠E + ∠B。
∴ $\frac{1}{2}$(∠B + ∠BAC) = ∠E + ∠B，
两边同乘2得：∠B + ∠BAC = 2∠E + 2∠B，
整理得：∠BAC - ∠B = 2∠E。
已知∠BAC - ∠B = 56°，
∴ 2∠E = 56°，
解得∠E = 28°。
【答案】
28°
【知识点】
三角形外角性质、角平分线定义
【点评】
本题结合三角形外角性质和角平分线的定义，通过两次外角性质建立角的关系，推导得出∠BAC与∠B的差和∠E的倍数关系，是基础的几何角度计算题型，关键在于理清角之间的联系。
【难度系数】
0.5
要解决本题，需运用三角形外角的性质和角平分线的定义。首先，利用“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”，得到△ABC的外角∠ACD与∠B、∠BAC的关系；再结合CE平分∠ACD，将∠ECD用∠B和∠BAC表示；最后再次利用三角形外角性质，建立∠ECD与∠E、∠B的关系，通过等式变形找到∠BAC-∠B与∠E的数量关系，进而求出∠E的度数。
【解析】
∵ ∠ACD是△ABC的外角，
∴ ∠ACD = ∠B + ∠BAC。
∵ CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，
∴ ∠ECD = $\frac{1}{2}$∠ACD = $\frac{1}{2}$(∠B + ∠BAC)。
∵ ∠ECD是△BCE的外角，
∴ ∠ECD = ∠E + ∠B。
∴ $\frac{1}{2}$(∠B + ∠BAC) = ∠E + ∠B，
两边同乘2得：∠B + ∠BAC = 2∠E + 2∠B，
整理得：∠BAC - ∠B = 2∠E。
已知∠BAC - ∠B = 56°，
∴ 2∠E = 56°，
解得∠E = 28°。
【答案】
28°
【知识点】
三角形外角性质、角平分线定义
【点评】
本题结合三角形外角性质和角平分线的定义，通过两次外角性质建立角的关系，推导得出∠BAC与∠B的差和∠E的倍数关系，是基础的几何角度计算题型，关键在于理清角之间的联系。
【难度系数】
0.5
