15. (★★★)如果记 $y=\frac{x^{2}}{1+x^{2}}=f(x)$，并且$f(1)$表示当$x=1$时$y$的值，即$f(1)=\frac{1^{2}}{1+1^{2}}=\frac{1}{2}$，那么$f(1)+f(2)+f(\frac{1}{2})+f(3)+f(\frac{1}{3})+\dots+f(101)+f(\frac{1}{101})=$。

$\boldsymbol{\frac{201}{2}}$

16. (★★★)在分式的分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，那么称这样的分式为真分式。例如，分式$\frac{1}{x+1},\frac{x}{x^{2}-1}$是真分式。如果分子的次数不低于分母的次数，那么称这样的分式为假分式。例如，分式$\frac{x}{x+1},\frac{x^{2}}{x+1}$是假分式。一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和。例如，$\frac{x^{2}}{x+1}=\frac{x^{2}+x-x}{x+1}=\frac{x(x+1)-x}{x+1}=x-\frac{x}{x+1}=x-\frac{x+1-1}{x+1}=x-1+\frac{1}{x+1}$。
(1)将分式$\frac{2x+1}{x-1}$化为一个整式与一个真分式的和；
(2)若$x$是整数，且假分式$\frac{6x+1}{2x-1}$的值为正整数，求$x$的值。

(1)原式$\boldsymbol{=\frac{2x-2+3}{x-1}}$
$\boldsymbol{=\frac{2(x-1)+3}{x-1}}$
$\boldsymbol{=2+\frac{3}{x-1}}$。
(2)$\boldsymbol{\frac{6x+1}{2x-1}=\frac{3(2x-1)+4}{2x-1}}$
$\boldsymbol{=3+\frac{4}{2x-1}}$。
$\boldsymbol{∵\ \ \frac{6x+1}{2x-1}}$是正整数，
$\boldsymbol{∴\ \ \frac{4}{2x-1}}$的值为$\boldsymbol{-2,-1,1,2,4}$。
$\boldsymbol{∴\ \ 2x-1}$的值为$\boldsymbol{-2,-4,1,2,4}$，则$x$的值为$\boldsymbol{-\frac{1}{2},-\frac{3}{2},1,\frac{3}{2},\frac{5}{2}}$。
$\boldsymbol{∵\ \ x}$是整数，
$\boldsymbol{∴\ \ x}$的值为$\boldsymbol{1}$。
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