1. 一题多解 如图,点 A,B 是直线 MN 外同侧的两点,请用无刻度的直尺与圆规在直线 MN 上取点 Q,使得 $∠ AQM=∠ AQB$.(保留作图痕迹,不写作法)

解：
作法1：
1. 以点A为圆心，AB长为半径画弧，交直线MN于点P；
2. 连接BP，作线段BP的垂直平分线，该垂直平分线与直线MN的交点即为所求点Q。
作法2：
作过A、B两点且与直线MN相切的圆，该圆与直线MN的切点即为所求点Q。
保留对应作图痕迹，标注点Q即可。

【分析】要在直线MN上找到满足∠AQM=∠AQB的点Q，可通过两种思路作图：思路一，构造全等三角形或利用线段垂直平分线的性质，使相关线段相等，推导对应角相等；思路二，借助圆的切线性质，结合弦切角定理找到切点即为所求。核心是让∠AQM与∠AQB相等，需结合尺规作图的基本方法实现。
【解析】作法1：①以点A为圆心，AB长为半径画弧，交直线MN于点P；②连接BP，作线段BP的垂直平分线，该垂直平分线与直线MN的交点即为所求点Q。作法2：①作过A、B两点且与直线MN相切的圆，该圆与直线MN的切点即为所求点Q。（保留对应作图痕迹，标注点Q即可）
【答案】在直线MN上找到点Q，满足∠AQM=∠AQB，保留对应作图痕迹并标注点Q。
【知识点】尺规作图、线段垂直平分线、圆的切线性质
【点评】本题为尺规作图的一题多解题，需灵活运用几何性质推导作图方法，考查学生的几何逻辑思维与尺规作图的操作能力，是几何作图的典型拓展题。
【难度系数】0.5

2. (2025·南京期中) 如图,P 为$∠ AOB$边 OA 上一点.用直尺和圆规分别作出满足下列条件的$\odot C$.(保留作图痕迹,不写作法)
(1) 在图①中,$\odot C$与$∠ AOB$的边 OA 相切于点 P,且与边 OB 也相切;
(2) 在图②中,$\odot C$与$∠ AOB$的边 OA 相切于点 P,与边 OB 相交于点 M,N,且$∠ MPN=$$∠ AOB$.

解：
(1) 作图过程：
① 过点P作OA的垂线；
② 作∠AOB的角平分线，两线的交点即为圆心C；
③ 以C为圆心，CP长为半径作圆，所得⊙C即为图①中满足条件的圆。
保留作图痕迹：过P垂直OA的垂线痕迹、∠AOB的角平分线痕迹、所作圆的圆弧痕迹。
(2) 作图过程：
① 过点P作OA的垂线l，圆心C在直线l上；
② 以P为顶点，PO为一边，在∠AOB外侧作∠OPQ=90°-∠AOB，PQ交OB的反向延长线于点Q；
③ 作线段OQ的垂直平分线，该线与直线l的交点即为圆心C；
④ 以C为圆心，CP长为半径作圆，该圆与OB交于M、N两点，所得⊙C即为图②中满足条件的圆。
保留作图痕迹：过P垂直OA的垂线痕迹、作等角的圆弧痕迹、线段垂直平分线痕迹、所作圆的圆弧痕迹。

【分析】
对于(1)，要作与OA相切于P且与OB相切的圆，根据切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径，可知圆心C在过点P且垂直于OA的直线上；又因为圆与OB相切，圆心到OB的距离等于半径，结合角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，可知圆心C在∠AOB的角平分线上，两条线的交点即为圆心，进而可作出圆。
对于(2)，圆与OA相切于P，故圆心C在过P且垂直OA的直线上；结合∠MPN=∠AOB的条件，利用圆周角定理及线段垂直平分线的性质，通过作辅助角和垂直平分线确定圆心，再作圆即可满足要求。
【解析】
(1) 作图步骤：
① 过点P作OA的垂线；
② 作∠AOB的角平分线，两条线的交点即为圆心C；
③ 以点C为圆心，CP的长为半径作圆，所得⊙C即为所求。
(2) 作图步骤：
① 过点P作OA的垂线l，圆心C在直线l上；
② 以P为顶点，PO为一边，在∠AOB外侧作∠OPQ=90°−∠AOB，PQ交OB的反向延长线于点Q；
③ 作线段OQ的垂直平分线，该垂直平分线与直线l的交点即为圆心C；
④ 以点C为圆心，CP的长为半径作圆，该圆与OB交于M、N两点，所得⊙C即为所求。
【答案】
(1) 保留过P垂直OA的垂线、∠AOB的角平分线、所作圆的圆弧痕迹的⊙C；
(2) 保留过P垂直OA的垂线、作等角的圆弧、线段垂直平分线、所作圆的圆弧痕迹的⊙C。
【知识点】
切线的性质、角平分线的性质、垂直平分线的性质
【点评】
本题考查尺规作图的应用，需结合切线性质、角平分线性质等几何知识确定圆心位置，对学生的几何性质综合应用能力有一定要求，是几何作图的典型题型。
【难度系数】
0.5

3. 用无刻度的直尺和圆规作图,保留作图痕迹,不用写出作法.如图,已知$△ ABC$中,$AC＞BC$.
(1) 如图①,若$∠ ACB=90°$,在$AC$边上求作一点$E$,使得$∠ BEC=60°$;
(2) 如图②,若$∠ ACB＜90°$,在$AC$边上求作一点$F$,使得$∠ BFC=60°$.

解：
(1) 如图①，分别以点B、C为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点D（点D与点A在BC的异侧），作过B、C、D三点的圆，该圆与AC边的交点即为所求点E，保留所有作图痕迹，标注点E。
(2) 如图②，分别以点B、C为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点G（点G与点A在BC的异侧），作过B、C、G三点的圆，该圆与AC边的交点即为所求点F，保留所有作图痕迹，标注点F。

【分析】
要在AC边上找到一点，使得该点与B、C构成的角为60°，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，可先构造以BC为边的等边三角形，得到第三个顶点后作过B、C及该顶点的圆，该圆与AC边的交点即为所求点，因为该点在圆上，对应弧BC所对的圆周角为60°，满足∠BEC=60°（或∠BFC=60°）。
【解析】
(1) 如图①，分别以点B、C为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点D（点D与点A在BC的异侧），作过B、C、D三点的圆，该圆与AC边的交点即为所求点E，保留所有作图痕迹并标注点E。
(2) 如图②，分别以点B、C为圆心，BC长为半径画弧，两弧交于点G（点G与点A在BC的异侧），作过B、C、G三点的圆，该圆与AC边的交点即为所求点F，保留所有作图痕迹并标注点F。
【答案】
(1) 按上述作图方法得到的点E；(2) 按上述作图方法得到的点F（保留作图痕迹）。
【知识点】
圆周角定理、尺规作图、等边三角形性质
【点评】
本题利用圆周角定理将作60°角的问题转化为构造辅助圆的问题，结合尺规作图的基本方法，考查学生对圆周角性质的理解与应用，是几何作图的综合基础题。
【难度系数】
0.5

4. (2025·南京校级月考)仅用无刻度直尺按要求画图,不写作法,保留作图痕迹.
(1) 如图①,$BC$为$\odot O$的弦,画一条与$BC$长度相等的弦;
(2) 如图②,正五边形$ABCDE$内接于圆,请作出一条直径.

(1)如图①,DE即为所求作的弦. 解析:如图①,分别过B,C作直径BD和CE,连接DE,DE即为所求。
(2)如图②,EM即为所求作的直径.(合理即可) 解析:如图②,连接DB,AC,AC交BD于点N,作射线EN交圆于点M,EM即为直径。

【分析】
第(1)问要作与BC长度相等的弦，可利用圆中弦相等的性质，通过构造全等三角形得到等长弦：过B、C作⊙O的直径BD、CE，连接DE，由圆心到各点距离相等，结合对顶角相等可证△BOC≌△DOE，从而得BC=DE，DE即为所求。
第(2)问利用正五边形的对称性作图：连接正五边形的对角线DB、AC交于点N，连接EN延长交圆于M，根据正五边形的中心对称性，EM即为圆的直径。
【解析】
(1) 作图：如图①，分别过点B、C作⊙O的直径BD和CE，连接DE，弦DE就是与BC长度相等的弦。
(2) 作图：如图②，连接正五边形ABCDE的对角线DB、AC，AC与DB交于点N，作射线EN交⊙O于点M，直径EM即为所求。
【答案】
(1) DE；(2) EM

【知识点】
圆的弦、直径，正多边形与圆
【点评】
本题考查圆的基本性质及几何作图，需结合全等三角形、正多边形的对称性分析作图方法，体现了几何性质在作图中的应用。
【难度系数】
0.5

5. 如图,在每个小正方形的边长为 1 的网格中,$△ ABC$的顶点$A,C$均落在格点上,点$B$在网格线上,仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图,画图过程用虚线表示.
(1)如图①,线段$AC$的长等于;
(2)如图①,以$AB$为直径的半圆的圆心为$O$,在半圆$O$上找一点$D$,使$∠ ACD=90°$且$DB＜DC$;
(3)如图②,以$AB$为直径的半圆的圆心为$O$,在半圆$O$上找一点$E$,使$AE$平分$∠ CAB$;
(4)如图②,以$AB$为直径的半圆的圆心为$O$,线段$AC$与半圆$O$交于点$P$,在线段$AB$上画点$Q$使得$AP=AQ$.

(1)$\sqrt{10}$ 解析:根据题意得 $AC=\sqrt{3^2+1^2}=\sqrt{10}$。
(2)如图①,取格点Y,连接CY,延长CY交⊙O于点D,点D即为所求。
说明如下:连接AY,
∵ $AC^2=1^2+3^2=10$,$CY^2=1^2+3^2=10$,$AY^2=2^2+4^2=20$,
∴ $AC^2+CY^2=AY^2$,
∴ $△ACY$是直角三角形,
∴ $∠ACD=90°$,故点D即为所求。
(3)如图②,连接BC与网格线交于图中所示位置的点F,连接OF并延长交⊙O于点E,连接AE,AE即为所求。
说明如下:
∵ 点F到点B,C的水平距离相同,可得点F为BC中点。又
∵ 点O是AB的中点,
∴ $OF// AC$,
∴ $∠AEO=∠CAE$。
∵ $OE=AO$,
∴ $∠AEO=∠BAE$,
∴ $∠BAE=∠CAE$,即AE平分$∠CAB$。
(4)如图②,连接BE并延长交AP的延长线于点R,设AE,BP相交于点S,连接RS并延长交AB于点Q,点Q即为所求。
说明如下:连接BE并延长交AP的延长线于点R,设AE,BP相交于点S,连接RS并延长交AB于点Q,
∵ AB是⊙O的直径,
∴ $∠AEB=∠AER=90°$。
∵ AE平分$∠CAB$,
∴ $∠BAE=∠CAE$。又
∵ $AE=AE$,
∴ $△ARE≌ △ABE(ASA)$,
∴ $BE=RE$,$AR=AB$,$∠ARB=∠ABR$,
∴ AE垂直平分BR,
∴ $SR=BS$,
∴ $∠SRB=∠RBS$,
∴ $∠ABS=∠ARS$。又
∵ $∠RAQ=∠BAP$,$AR=AB$,
∴ $△RAQ≌ △BAP(ASA)$,
∴ $AP=AQ$。

【分析】
本题为网格背景下的几何作图题，需运用勾股定理、圆的性质、三角形中位线、全等三角形等知识解题。
(1) 求AC长度，利用网格中两点的横纵距离，用勾股定理计算；
(2) 要使∠ACD=90°，需构造直角三角形，通过格点找到满足勾股定理逆定理的点，连接该点与C并延长交半圆得D，保证DB＜DC；
(3) 作角平分线，利用AB中点O和BC中点F，得中位线OF平行AC，结合等腰三角形性质推导角相等，确定E点；
(4) 要使AP=AQ，通过构造全等三角形，利用角平分线和直径的直角，证明△RAQ≌△BAP，从而找到Q点。
【解析】
(1) 由网格可知，点A到点C的横向距离为1，纵向距离为3，根据勾股定理：
$AC=\sqrt{1^2+3^2}=\sqrt{10}$；
(2) 如图①，取格点Y，连接CY并延长，交半圆O于点D，点D即为所求。
证明：计算得$AC^2=1^2+3^2=10$，$CY^2=1^2+3^2=10$，$AY^2=2^2+4^2=20$，
故$AC^2+CY^2=AY^2$，由勾股定理逆定理得△ACY为直角三角形，∠ACY=90°，即∠ACD=90°，且满足DB＜DC；
(3) 如图②，取BC与网格线交点F，连接OF并延长交半圆O于点E，连接AE，AE即为所求。
证明：点F为BC中点（水平距离相等），O为AB中点，故OF是△ABC的中位线，OF//AC，得∠AEO=∠CAE；又OE=AO，故∠AEO=∠BAE，因此∠BAE=∠CAE，即AE平分∠CAB；
(4) 如图②，连接BE并延长交AP的延长线于点R，设AE与BP交于点S，连接RS并延长交AB于点Q，点Q即为所求。
证明：AB为半圆直径，故∠AEB=∠AER=90°；AE平分∠CAB，故∠BAE=∠CAE，又AE=AE，所以△ARE≌△ABE（ASA），得AR=AB，BE=RE；
又SR=BS，∠RAQ=∠BAP，AR=AB，故△RAQ≌△BAP（ASA），得AP=AQ。
【答案】
(1) $\sqrt{10}$；
(2) 如图①，点D为CY延长线与半圆O的交点；
(3) 如图②，点E为OF延长线与半圆O的交点；
(4) 如图②，点Q为RS延长线与AB的交点；

【知识点】
勾股定理、圆的性质、全等三角形
【点评】
本题结合网格考查几何作图，需灵活运用网格特征与几何定理，通过构造直角三角形、中位线、全等三角形完成作图，重点考查学生的几何逻辑推理与作图能力，综合性较强。
【难度系数】
0.3