被9整除的测试
归纳推理是通过观察具体示例的规律而得出一般结论的过程，这种结论称为假设或猜想. 数学家和科学家经常基于观察结果进行猜想，数学家还努力通过数学定律来证明猜想成立.
1742年，克里斯蒂安·哥德巴赫提出一个著名猜想，即任意一个大于2的偶数都可以表示成两个质数（可以相同）之和. 质数（素数）是只能被1和自身整除的数字，如3，5和7等. 为了说明哥德巴赫猜想，可以举例：$20=13+7$，$48=11+37$，$100=42+59$，$···$
这个著名猜想在几百年前就有数学家提出来了，但是迄今为止，我们仍未完全证明哥德巴赫猜想成立. 但基于归纳推理，许多人相信哥德巴赫猜想为真.
下面请你尝试验证另一个猜想.
对于数（a）72、（b）491、（c）963、（d）19856、（e）45307、（f）7538463，$···$，确认数（a）、（c）和（f）可以被9整除，但（b）、（d）和（e）不能被9整除.
将各个数值中的数字相加，你能找到什么规律？猜想一下. 验证你的猜想.
猜想：某一个数若能够被9整除，其各位数数字之和就必须能够被9整除.
你能够证明这个猜想吗？
证明：假设$N$为一个多位数，在十进制下写成：
$N=a_0+10a_1+100a_2+1000a_3+···$，（其中$a_0$，$a_1$，$a_2$，$a_3$$···$分别表示各数位上的数字）
$N=a_0+(9a_1+a_1)+(99a_2+a_2)+(999a_3+a_3)+···$
$=(a_0+a_1+a_2+a_3+···)+(9a_1+99a_2+999a_3+···)$
$=(a_0+a_1+a_2+a_3+···)+9(a_1+11a_2+111a_3+···)$
当$a_0+a_1+a_2+a_3+···$所得和被9整除时，
则$(a_0+a_1+a_2+a_3+···)+9(a_1+11a_2+111a_3+···)$一定是9的倍数，即$N$能被9整除.

一个数能被9整除的充要条件是它的各位数字之和能被9整除，该猜想成立。

我们可通过十进制数的表示方法证明该猜想。设多位数$N$在十进制下表示为$N=a_0+10a_1+100a_2+1000a_3+\dots$（$a_0,a_1,a_2,\dots$为各数位上的数字），将其变形：$N=a_0+(9a_1+a_1)+(99a_2+a_2)+(999a_3+a_3)+\dots=(a_0+a_1+a_2+\dots)+(9a_1+99a_2+999a_3+\dots)=(a_0+a_1+a_2+\dots)+9(a_1+11a_2+111a_3+\dots)$。因为$9(a_1+11a_2+111a_3+\dots)$是9的倍数，所以当$a_0+a_1+a_2+\dots$（各位数字之和）能被9整除时，$N$就是9的倍数，即$N$能被9整除，反之也成立，猜想得证。