1. 如图, 在 $△ ABC$ 中, $∠ BAC = 90°, AB =$$A C$, 点 $D$ 在 $△ A B C$ 外, 且 $∠ B D A=90°$. 若要求 $△ A C D$ 的面积, 则需要添加的条件是
（）

A.$A B$ 的长度
B.$A D$ 的长度
C.$B D$ 的长度
D.$C D$ 的长度

1. B 提示: 如图, 过点 $C$ 作 $CE⊥ DA$, 交 $DA$ 的延长线于点 $E$, 则 $∠ E=90°$, 所以 $∠ BDA = ∠ E$. 因为
$∠ BAC=90°$, 所以 $∠ BAD = 90° - ∠ CAE = ∠ ACE$. 又因为 $AB=CA$, 所以 $△ BAD≌△ ACE$(AAS), 所以 $AD=CE$, 所以 $S_{△ ACD}=\frac{1}{2}AD· CE=\frac{1}{2}AD^2$. 所以若要求 $△ ACD$ 的面积, 则需要添加的条件是 $AD$ 的长度.

2. 如图，$AE ⊥ AB$ 且 $AE=AB$，$BC ⊥ CD$ 且$BC=CD$. 若点 $E,B,D$ 到直线 $AC$ 的距离分别为 6,3,2,则图中实线所围成的阴影部分的面积是.

2. 32 提示: 因为 $AE⊥ AB,EF⊥ AF,BG⊥ AC$, 所以
$∠ AFE=∠ BGA=90°,∠ EAF+∠ AEF=90°$,
$∠ EAF+∠ BAG=90°$, 所以 $∠ AEF=∠ BAG$. 又因为 $AE=AB$, 所以 $△ EFA≌△ AGB(\mathrm{AAS})$, 所以
$AG=EF=6,AF=BG=3$. 同理可得 $△ CGB≌△ DHC(\mathrm{AAS})$, 所以 $CG=DH=2,CH=BG=3$.
所以 $FH=AF+AG+CG+CH=3+6+2+3=14,AC=AG+CG=6+2=8$, 所以 $S_{\mathrm{阴影}}=S_{\mathrm{梯形}DEFH}-S_{△ AEF}-S_{△ ACB}-S_{△ CDH}=\frac{1}{2}×(2+6)×14-\frac{1}{2}×3×6-\frac{1}{2}×8×3-\frac{1}{2}×3×2=32$.

3. 在钝角三角形 $ABC$ 中,$AD$ 是边 $BC$ 上的高,$BE$ 是边 $AC$ 上的高,这两条高所在的直线相交于点 $O$. 若 $BO=AC,BC=a$,$CD=b$,则 $AD$ 的长为.

3. $b-a$ 或 $b+a$ 或 $a-b$ 提示: 如图1, 当 $B$ 为钝角顶点时, 因为 $AD$ 是边 $BC$ 上的高, $BE$ 是边 $AC$
上的高, 所以 $∠ ADC=∠ BDO=∠ CEB=90°$, 所以
$∠ O+∠ DBO=90°=∠ CBE+∠ C$. 因为 $∠ DBO=∠ CBE$, 所以 $∠ O=∠ C$. 又因为 $BO=AC$, 所以
$△ BOD≌△ ACD$ (AAS), 所以 $AD=BD$. 因为
$BC=a,CD=b$, 所以 $AD=BD=CD-BC=b-a$.
如图2, 当 $C$ 为钝角顶点时, 同理可得 $△ BOD≌△ ACD(\mathrm{AAS})$, 所以 $AD=BD$. 因为 $BC=a,CD=b$, 所以 $AD=BD=CD+BC=b+a$. 如图3, 当 $A$ 为钝角顶点时, 同理可得 $△ BOD≌△ ACD(\mathrm{AAS})$,
所以 $AD=BD$. 因为 $BC=a,CD=b$, 所以 $AD=BD=BC-CD=a-b$. 综上所述, $AD$ 的长为 $b-a$或$b+a$或$a-b$.

4. 如图,$OA ⊥ OM$,$OA=7$,$B$为射线$OM$上的一动点,分别以$OB$,$AB$为直角边,$B$为直角顶点,在$OM$两侧作等腰直角三角形$OBF$和等腰直角三角形$ABE$,连接$EF$,交$OM$于点$P$.当点$B$在射线$OM$上移动时,线段$PB$的长度为.

4. $\frac{7}{2}$ 提示: 过点 $E$ 作 $EN⊥ BM$ 于点 $N$. 易证
$△ ABO≌△ BEN$, 所以 $OB=NE,OA=NB$. 因为
$OB=BF$, 所以 $BF=NE$. 易证 $△ BPF≌△ NPE$,
所以 $BP=NP=\frac{1}{2}NB=\frac{1}{2}OA=\frac{7}{2}$.

5. (2025 连云港市灌南县期中)(1) 如图 1,在$△ ABC$中,$∠ BAC=90°,AB=AC$,直线$l$经过点$A$,过点$B$,$C$向直线$l$作垂线,垂足分别为$D$,$E$.求证:$△ ABD ≌ △ CAE$.
【变式探究】
(2) 如图 2,在$△ ABC$中,$AB=AC$,直线$l$经过点$A$,点$D$,$E$分别在直线$l$上,如果$∠ CEA=∠ ADB=∠ BAC$,猜想$DE$,$BD$,$CE$有何数量关系,并给予证明.
【拓展应用】
(3) 小明和科技兴趣小组的同学制作了一幅机器人图案,大致图形如图 3 所示,分别以$△ ABC$的边$AB$,$AC$为一边向外作$△ BAD$和$△ CAE$,其中$∠ BAD=∠ CAE=90°$,$AB=AD$,$AC=AE$,$AG$是边$BC$上的高,延长$GA$交$DE$于点$H$.设$△ ADH$的面积为$S_1$,$△ AEH$的面积为$S_2$,请猜想$S_1$,$S_2$的大小关系,并说明理由.

5. (1) 证明: 因为 $BD⊥$ 直线 $l$, $CE⊥$ 直线 $l$,
所以 $∠ BDA = ∠ AEC = 90°$. 所以
$∠ DAB + ∠ DBA = 90°$. 因为 $∠ BAC = 90°$, 所以 $∠ DAB + ∠ EAC = 90°$. 所以
$∠ DBA = ∠ EAC$. 在 $△ ABD$ 和 $△ CAE$
中, $\begin{cases}∠ BDA=∠ AEC,\\∠ DBA=∠ EAC,\\AB=CA,\end{cases}$ 所以 $△ ABD ≌ △ CAE(\mathrm{AAS})$.
(2) 解: $DE = BD + CE$. 证明如下: 因为
$∠ EAB$ 是 $△ ABD$ 的外角, 所以 $∠ EAB = ∠ ADB + ∠ DBA$. 所以 $∠ EAC + ∠ BAC = ∠ ADB + ∠ DBA$. 因为 $∠ ADB = ∠ BAC$, 所以 $∠ EAC = ∠ DBA$. 在 $△ EAC$ 和 $△ DBA$
中, $\begin{cases}∠ EAC=∠ DBA,\\∠ CEA=∠ ADB,\\AC=BA,\end{cases}$ 所以$△ EAC≌△ DBA$(AAS). 所以 $CE=AD,AE=BD$. 所以
$DE=AE+AD=BD+CE$.
(3) 解: $S_1=S_2$. 理由如下: 如图, 过点 $D$ 作
$DM⊥ AH$ 交 $AH$ 的延长线于点 $M$, 过点 $E$
作 $EN⊥ AH$ 于点 $N$.

因为 $AG⊥ BC$, 所以 $∠ AGB = ∠ M = 90°$.
所以 $∠ ABG + ∠ BAG = 90°$. 因为
$∠ BAD=90°$, 所以 $∠ BAG + ∠ DAM = 90°$. 所以 $∠ ABG = ∠ DAM$. 在 $△ ABG$ 和
$△ DAM$ 中, $\begin{cases}∠ AGB=∠ M,\\∠ ABG=∠ DAM,\\AB=DA,\end{cases}$ 所以
$△ ABG≌△ DAM(\mathrm{AAS})$. 所以 $DM=AG$.
同理可证 $△ AGC≌△ ENA$. 所以 $AG=EN$. 所以 $DM=EN$. 因为 $S_1=\frac{1}{2}AH· DM,S_2=\frac{1}{2}AH· EN$, 所以 $S_1=S_2$.