1. 如图，$BD$ 是$∠ ABC$ 的平分线，$AD ⊥ BD$，垂足为 $D$. 若$∠ DAC = 15°$，$∠ C = 50°$，则$∠ BAD$ 的度数为（）

A.$35°$
B.$45°$
C.$55°$
D.$65°$

1. D 提示:延长 AD 交 BC 于点 E.根据外角的性质,可知$∠BED=∠DAC+∠C=65°$. 由 BD 平分$∠ABC,AD ⊥ BD$,易证$△BAD ≌ △BED$,所以$∠BAD=∠BED=65°$.

2. 如图,在$△ ABC$中,$AC=BC$,$∠ ACB=90°$,$D$是边$AB$的中点,点$E$在边$AC$上,点$F$在边$BC$上,$DE ⊥ DF$,$AE=4$,$BF=3$,则$EF$的长为（）

A.4
B.5
C.6
D.7

2. B 提示:连接 CD. 因为$AC=BC,∠ACB=90°$,所以$△ABC$ 是等腰直角三角形,所以$∠A=∠B=45°$. 因为 D 为边 AB 的中点,所以$CD=AD$,CD 平分$∠BCA,CD⊥AB$,所以$∠DCF=45°$. 因为$DE⊥DF$,所以$∠CDF+∠EDC=90°$. 因为$∠ADE+∠EDC=90°$,所以$∠ADE=∠CDF$. 易证$△ADE≌△CDF$,所以$CF=AE=4$. 所以$AC=BC=BF+CF=7$,所以$CE=AC-AE=3$. 在$Rt△CEF$中,由勾股定理,得$EF=\sqrt{CE^2+CF^2}=5$.

3. 如图,点 E 在正方形 ABCD 的对角线 AC上,且 $EC=2AE$,直角三角形 FEG 的两直角边 EF,EG 分别交边 BC,DC 于点 M,N.若正方形 ABCD 的边长为 a,则重叠部分四边形 EMCN 的面积为 （）

A.$\dfrac{2}{3}a^{2}$
B.$\dfrac{1}{4}a^{2}$
C.$\dfrac{5}{9}a^{2}$
D.$\dfrac{4}{9}a^{2}$

3. D 提示:如图,过点 E 分别作$EP⊥BC$于点 P,$EQ⊥CD$于点 Q. 因为四边形 ABCD 是正方形,所以$∠BCD=90°$. 又因为$∠EPM=∠EQN=90°$,所以$∠PEQ=90°$,所以$∠PEM+∠MEQ=90°$. 因为$△FEG$是直角三角形,所以$∠NEF=∠QEN+∠MEQ=90°$,所以$∠PEM=∠QEN$. 因为 AC 是$∠BCD$的平分线,$EP⊥BC,EQ⊥CD$,所以$EP=EQ$,所以四边形 PCQE 是正方形,$△EPM≌△EQN$(ASA),所以$S_{△EPM}=S_{△EQN}$,所以$S_{四边形EMCN}=S_{△EQN}+S_{四边形EMCQ}=S_{△EPM}+S_{四边形EMCQ}=S_{正方形PCQE}$. 因为正方形 ABCD 的边长为 a,所以$AC=\sqrt{2}a$. 因为$EC=2AE$,所以$EC=\frac{2\sqrt{2}}{3}a$,所以$EP=PC=\frac{2}{3}a$,所以$S_{正方形PCQE}=\frac{2}{3}a·\frac{2}{3}a=\frac{4}{9}a^2$.

4. 如图,在等边三角形$ABC$中,$D,E$分别为边$AB,AC$上的动点,$BD = 2AE$,连接$DE$,以$DE$为边在$△ ABC$内作等边三角形$DEF$,连接$CF$.当点$D$从点$A$向点$B$运动(不运动到点$B$)时,$∠ ECF$大小的变化情况是（）

A.不变
B.变小
C.变大
D.先变大后变小

4. A 提示:在 AC 上截取$CN=AE$,连接 FN. 因为$BD=2AE$,所以$AD-BD=AC-AE-CN$,所以$AD=EN$. 因为$∠ADE=180°-∠A-∠AED=120°-∠AED$,$∠NEF=180°-∠DEF-∠AED=120°-∠AED$,所以$∠ADE=∠NEF$. 易证$△ADE≌△NEF$,所以$AE=NF$,$∠FNE=∠A=60°$,所以$FN=CN$,又因为$AE=CN$,所以$∠ECF=30°$.

5. 如图,在四边形$ABCD$中,$∠ ABC=∠ ADC=$$90°,AB=CB$,连接$AC,BD$.若$BD=7\ \mathrm{cm}$,则$S_{\mathrm{四边形}ABCD}=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}^2$.

5. $\frac{49}{2}$ 提示:延长 DC 至点 E,使$CE=AD$,连接 BE. 因为$∠ABC=∠ADC=90°$,所以$∠BAD+∠BCD=360°-∠ABC-∠ADC=180°$. 因为$∠BCD+∠BCE=180°$,所以$∠BAD=∠BCE$. 易证$△ABD≌△CBE$,所以$BE=BD=7\ \mathrm{cm}$,$S_{△ABD}=S_{△CBE}$,$∠ABD=∠CBE$. 因为$∠ABC=∠ABD+∠DBC=90°$,所以$∠CBE+∠DBC=∠DBE=90°$. 所以$S_{四边形ABCD}=S_{△BDE}=\frac{1}{2}BD·BE=\frac{49}{2}\ \mathrm{cm}^2$.

6. 如图，在五边形 $ABCDE$ 中，$∠ ABC= ∠ AED=90^{ \circ },AB=CD=AE=BC+DE=2$，则五边形 $ABCDE$ 的面积为.

6. 4 提示:延长 DE 至点 F,使$EF=BC$,连接 AC,AD,AF. 由$AB=CD=AE=BC+DE$,$∠ABC=∠AED=90°$,易证$Rt△ABC≌Rt△AEF$,$△ACD≌△AFD$,所以$DF=DC=2$,所以$S_{五边形ABCDE}=2S_{△ADF}=2×\frac{1}{2}DF·AE=4$.

7. 如图,在四边形 $ABCD$ 中,$AC,BD$ 为对角线,$△ ABC$ 为等边三角形,$∠ ADC=30°$,$AD=2,BD=3$,则 $CD$ 的长为.

7. $\sqrt{5}$ 提示:以 CD 为边向右侧作等边三角形 CDE,连接 AE,则$∠ADE=90°$. 由条件,易证$△ACE≌△BCD$,所以$AE=BD$. 在$Rt△ADE$中,根据勾股定理,得$DE=\sqrt{AE^2-AD^2}=\sqrt{BD^2-AD^2}=\sqrt{5}$,所以$CD=DE=\sqrt{5}$.

8. 如图,在$△ ABC$中,$OA=4,OB=3$,点$C$与点$A$关于直线$OB$对称,动点$P,Q$分别在线段$AC,AB$上(点$P$不与点$A,C$重合),满足$∠ BPQ=∠ BAO$.当$△ PQB$为等腰三角形时,$OP$的长是.

8. 1 或$\frac{7}{8}$ 提示:因为点 C 与点 A 关于直线 OB 对称,所以$AB=BC$,$∠AOB=90°$. 在$Rt△AOB$中,根据勾股定理,得$AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=5$,所以$BC=5$. 分3种情况讨论:①当$PB=PQ$时,由对称性,得$∠BCO=∠BAO$,即$∠QAP=∠PCB$. 因为$∠BPQ=∠BAO$,所以$∠BPQ=∠BCO$. 又因为$∠APB=∠APQ+∠BPQ=∠BCO+∠CBP$,所以$∠APQ=∠CBP$,易证$△APQ≌△CBP$,所以$PA=BC$. 此时$OP=PA-OA=BC-OA=1$.②当$BQ=BP$时,$∠BQP=∠BPQ$. 因为$∠BPQ=∠BAO$,所以$∠BQP=∠BAO$. 因为点 P 不与点 A,C 重合,所以$BQ=BP$的情况不存在. ③当$QB=QP$时,$∠QBP=∠BPQ$. 因为$∠BPQ=∠BAO$,所以$∠QBP=∠BAO$,所以$PB=PA$,所以点 P 在 AB 的垂直平分线上. 设$PB=PA=x$,则$OP=|4-x|$. 在$Rt△BOP$中,由勾股定理,得$OP^2+OB^2=PB^2$,即$(4-x)^2+3^2=x^2$,解得$x=\frac{25}{8}$. 所以$OP=4-\frac{25}{8}=\frac{7}{8}$. 综上所述,当$△PQB$为等腰三角形时,OP 的长是 1 或$\frac{7}{8}$.