9.如图，已知四边形ABCD的面积为8 cm²，AB//CD，AB＝CD，E是AB的中点，那么△AEC的面积是。

9.$2\ \mathrm{cm}^2$

【分析】
解题时先根据已知的边的位置和数量关系判定四边形ABCD的形状，再利用平行四边形的面积性质求出△ABC的面积，最后结合中点的性质，利用等底同高的三角形面积相等推出△AEC的面积。具体思路：①由AB//CD且AB=CD，判定ABCD是平行四边形；②平行四边形对角线分其为两个面积相等的三角形，可得△ABC面积是平行四边形的一半；③E是AB中点，△AEC和△BEC等底同高，面积相等，故△AEC面积是△ABC的一半。
【解析】
解：
∵AB//CD，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形），
∴对角线AC将平行四边形ABCD分为面积相等的两个三角形，即$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}S_{\mathrm{平行四边形}ABCD}=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}^2$。
∵E是AB的中点，
∴AE=EB，
又
∵△AEC和△BEC以AE、EB为底时，高均为点C到直线AB的距离，
∴$S_{△ AEC}=S_{△ BEC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
$2\ \mathrm{cm}^2$
【知识点】
平行四边形的判定；平行四边形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题属于基础几何题，核心是通过平行四边形的性质和等底同高的三角形面积关系逐步推导所求三角形的面积，熟练掌握基础几何图形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7

10. 如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C,∠1=∠2.求证:四边形ABCD是平行四边形.

10. 证明:在$△ ABD$ 和$△ CDB$ 中,
$\begin{cases}∠ A=∠ C,\\∠ 1=∠ 2,\\BD=DB,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌ △ CDB(\mathrm{AAS}),$
$\therefore AB=CD,AD=CB,$
$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形.

【分析】
要证明四边形ABCD是平行四边形，可通过证明它的两组对边分别相等来推导。观察图形可知BD是△ABD和△CDB的公共边，结合已知的∠A=∠C、∠1=∠2，可先利用AAS判定两个三角形全等，再由全等三角形对应边相等得到两组对边相等，最后根据平行四边形的判定定理即可完成证明。
【解析】
证明：在$△ ABD$ 和$△ CDB$ 中,
$\begin{cases}∠ A=∠ C,\\∠ 1=∠ 2,\\BD=DB,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌ △ CDB(\mathrm{AAS}),$
$\therefore AB=CD,AD=CB,$
根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形，可得四边形 $ABCD$ 是平行四边形。
【答案】
证明:在$△ ABD$ 和$△ CDB$ 中,
$\begin{cases}∠ A=∠ C,\\∠ 1=∠ 2,\\BD=DB,\end{cases}$
$\therefore △ ABD≌ △ CDB(\mathrm{AAS}),$
$\therefore AB=CD,AD=CB,$
$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形。
【知识点】
全等三角形的判定，全等三角形的性质，平行四边形的判定
【点评】
本题属于平行四边形判定的基础题型，解题核心是借助公共边构造全等三角形，通过全等得到对边相等的关系，进而完成平行四边形的判定，熟练掌握全等三角形和平行四边形的相关定理是解题的关键。
【难度系数】
0.7

11.如图,在$□ BEDF$中,点A,C在对角线EF所在的直线上,且$AE=CF$.求证:四边形ABCD是平行四边形.

11. 证明:如答图,连接 $BD$,交 $AC$ 于点 $O$.

$\because$ 四边形 $BEDF$ 是平行四边形,
$\therefore OD=OB,OE=OF.$
又$\because AE=CF,$
$\therefore AE+OE=CF+OF,$即 $OA=OC,$
$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形.

【分析】
要证明四边形ABCD是平行四边形，可优先选择“对角线互相平分的四边形是平行四边形”这一判定定理简化证明过程。已知四边形BEDF是平行四边形，根据平行四边形的性质它的对角线互相平分，因此我们先作辅助线连接BD，交AC于点O，先得到OB=OD、OE=OF，再结合已知条件AE=CF，通过等式性质可推出OA=OC，此时四边形ABCD的对角线互相平分，即可完成证明。
【解析】
证明：如答图，连接 $BD$，交 $AC$ 于点 $O$。
$\because$ 四边形 $BEDF$ 是平行四边形，
$\therefore OD=OB,OE=OF$。
又$\because AE=CF,$
$\therefore AE+OE=CF+OF,$即 $OA=OC,$
$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形。
【答案】
证明:如答图,连接 $BD$,交 $AC$ 于点 $O$.
$\because$ 四边形 $BEDF$ 是平行四边形,
$\therefore OD=OB,OE=OF.$
又$\because AE=CF,$
$\therefore AE+OE=CF+OF,$即 $OA=OC,$
$\therefore$ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形.
【知识点】
平行四边形的性质，平行四边形的判定
【点评】
本题是平行四边形性质与判定的综合基础题，解题的关键是通过连接对角线构造出符合判定条件的线段关系，熟练掌握平行四边形的相关定理即可快速求解，是几何部分的常考题型。
【难度系数】
0.8

12. 如图，AB//CD，AB＝CD，点E，F在BD上，∠BAE＝∠DCF，连接AF，EC.求证：
(1)AE＝CF；
(2)四边形AECF是平行四边形.

12. 证明:(1)$\because AB// CD,\therefore ∠ B=∠ D.$
在$△ ABE$ 和$△ CDF$ 中,$\begin{cases}∠ B=∠ D,\\AB=CD,\\∠ BAE=∠ DCF,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌ △ CDF(\mathrm{ASA}),$
$\therefore AE=CF.$
(2) 由 (1) 中 $△ ABE≌ △ CDF$,得 $AE=CF$,
$∠ AEB=∠ CFD,$
$\therefore 180°-∠ AEB=180°-∠ CFD,$
即$∠ AEF=∠ CFE,\therefore AE// CF.$
又$\because AE=CF,\therefore$ 四边形 $AECF$ 是平行四边形.

【分析】
(1) 要证明AE=CF，可通过证明两条线段所在的△ABE和△CDF全等来推导。首先由AB//CD可得内错角∠B=∠D，结合已知的AB=CD、∠BAE=∠DCF的条件，可通过ASA判定两三角形全等，再利用全等三角形对应边相等即可得证。
(2) 要证明四边形AECF是平行四边形，第一问已证AE=CF，只需再证明AE//CF即可。由△ABE≌△CDF可得∠AEB=∠CFD，根据等角的补角相等推出∠AEF=∠CFE，由内错角相等可得AE//CF，最后根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可完成证明。
【解析】
证明：
(1) $\because AB// CD$，$\therefore ∠ B=∠ D$。
在$△ ABE$和$△ CDF$中，
$\begin{cases}∠ B=∠ D,\\AB=CD,\\∠ BAE=∠ DCF,\end{cases}$
$\therefore △ ABE≌△ CDF(\mathrm{ASA})$，
$\therefore AE=CF$。
(2) 由(1)中$△ ABE≌△ CDF$，得$AE=CF$，$∠ AEB=∠ CFD$，
$\therefore 180°-∠ AEB=180°-∠ CFD$，
即$∠ AEF=∠ CFE$，$\therefore AE// CF$。
又$\because AE=CF$，$\therefore$四边形$AECF$是平行四边形。
【答案】
(1) 得证$AE=CF$；(2) 得证四边形$AECF$是平行四边形，证明过程见上述解析。
【知识点】
全等三角形的判定与性质；平行线的性质与判定；平行四边形的判定
【点评】
本题是几何基础常考题，综合考查三角形全等、平行线及平行四边形的相关判定逻辑，解题时需结合已知条件逐步推导边、角的等量关系，搭建已知条件和待证结论之间的逻辑链，整体思路清晰，规律性较强。
【难度系数】
0.7