运用一次函数选择最佳方案

选择最佳方案是指在某一问题中,符合条件的方案有多种,一般要利用数学知识,经过分析、猜想、判断,筛选出最佳方案.常涉及的问题类型有利润最大、路程最短、费用最少、效率最高等,常通过建立函数模型,结合方程(组)或不等式(组)的知识进行求解.

利用不等式求方程的整数解
【典例】 近年来,我国传统服饰备受大家的青睐,走上国际时装周舞台,大放异彩.某服装店直接从工厂购进长、短两款传统服饰进行销售,进货价和销售价如下表:

1. 该服装店第一次用4 300元购进长、短两款服装共50件,求两款服装分别购进的件数;
2. 第一次购进的两款服装售完后,该服装店计划再次购进长、短两款服装共200件(进货价和销售价都不变),且第二次进货的总价不高于16 800元.服装店这次应如何设计进货方案,才能获得最大销售利润?最大销售利润是多少元?
【解析】
1. 设购进短款服装$x$件,购进长款服装$y$件,
则$\begin{cases} x + y = 50, \\ 80x + 90y = 4\ 300, \end{cases}$ 解得$\begin{cases} x = 20, \\ y = 30. \end{cases}$
答:长款服装购进30件,短款服装购进20件.
2. 设第二次购进$m$件短款服装,则购进$(200 - m)$件长款服装.
由题意得$80m + 90(200 - m) ≤ 16\ 800$,解得$m ≥ 120$.
设第二次的销售利润为$w$元,
则$w = (100 - 80)m + (120 - 90)(200 - m) = -10m + 6\ 000$.
$\because -10 ＜ 0, \therefore w$随$m$的增大而减小,
$\therefore$当$m = 120$时,$w$有最大值,最大值为$-10 × 120 + 6\ 000 = 4\ 800$.
答:服装店应购进120件短款服装,80件长款服装才能获得最大销售利润,最大销售利润是4 800元.

方法解读; 典例剖析

【分析】
首先梳理文本结构：第一部分内容是对“运用一次函数选择最佳方案”这类题型的通用解题思路说明，对应第一个空缺处为方法类模块命名；第二部分内容是在方法讲解结束后，引入具体例题展开实际应用分析，对应第二个空缺处为例题类模块命名。后续典例解题时，第一小问可提取总件数、总进货价两个等量关系列二元一次方程组求解；第二小问先根据进货总价的限制列不等式求进货量范围，再建立利润的一次函数模型，结合函数增减性求最值即可。
【解析】
1. 第一个横线后是对一次函数选最优方案的解题方法讲解，该模块对应命名为“方法解读”；
2. 第二个横线后引入了具体典例演示解题过程，该模块对应命名为“典例剖析”。
【答案】
方法解读；典例剖析
【知识点】
一次函数实际应用，二元一次方程组应用，一元一次不等式应用
【点评】
本题结合生活消费场景出题，既考查了方程、不等式的基础应用能力，又融合了一次函数求最值的考点，能有效锻炼学生将实际问题转化为数学模型求解的能力，知识点覆盖全面，贴合课标要求。
【难度系数】
0.7