18.如图,已知AC,BC分别平分∠QAB,∠ABN,且∠1与∠2互余,求证:PQ//MN.

证明: $\because ∠1$与$∠2$互余, $\therefore ∠1+∠2=90°$.
$\because AC,BC$分别平分$∠QAB,∠ABN, \therefore ∠BAQ=2∠1, ∠ABN=2∠2. \therefore ∠BAQ+∠ABN=2∠1+2∠2=2(∠1+∠2 )=180°, \therefore PQ// MN$.

【探究一】
观察下面各图,寻找对顶角(不含平角):

(1)如图1,图中共有对不同的对顶角;
(2)如图2,图中共有对不同的对顶角;
(3)如图3,图中共有对不同的对顶角;
(4)研究(1)~(3)小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系,若有n(n为正整数,且n≥2)条直线相交于一点,则可形成对不同的对顶角;
(5)若2025条直线相交于一点,则可形成对不同的对顶角.
【探究二】
(1)3条直线两两相交最多有个交点,此时有对不同的对顶角;
(2)4条直线两两相交最多有个交点,此时有对不同的对顶角;
(3)n(n为正整数,且n≥2)条直线两两相交最多有个交点,此时有对不同的对顶角;
(4)2025条直线两两相交最多有个交点,此时有对不同的对顶角.
智慧城堡
我们知道,光反射时,反射光线、入射光线和法线在同一平面内,反射光线、入射光线分别在法线两侧,反射光线与法线的夹角(反射角)等于入射光线与法线的夹角(入射角).如图1,EF为一镜面,AO为入射光线,入射点为点O,ON为法线(过入射点O且垂直于镜面EF的直线),OB为反射光线,此时反射角∠BON等于入射角∠AON.现有一激光反射装置,如图2,AE,BF是两块可以分别绕点A,B转动的镜面,点O是激光发射装置.由点O发出的激光照射在点A和点B处,AG,BH是两束反射光线.点A,B处于同一水平高度,已知入射光线OA,OB与水平线MN的夹角分别为15°和30°,镜面AE与立杆AC的夹角∠EAC=45°.
(1)求反射光线AG与水平线MN的夹角(∠GAN)的大小.
(2)通过调节BF的角度,使反射光线BH与AG平行,求此时∠FBD的度数.

探究一
(1)2
(2)6
(3)12
(4)$n(n-1)$
(5)4 098 600
探究二
(1)3 6
(2)6 12
(3)$\frac{n(n-1)}{2}$ $n(n-1)$
(4)2 049 300 4 098 600
智慧城堡
(1)如图,过点A作$AP⊥AE$,过点B作$BQ⊥BF$.
根据反射角等于入射角,得$∠GAP=∠OAP$,$∠HBQ=∠OBQ$.依题意,得$MN// CD$,$AC⊥CD$,$BD⊥CD$,$\therefore AC⊥MN$,$BD⊥MN$,$\therefore ∠CAN=∠DBN=90°. \because ∠EAC=45°, \therefore ∠EAN=45°$.
$\because ∠OAN=15°$,$AP⊥AE$,$\therefore ∠OAP+∠OAN+∠EAN=∠PAE=90°$,即$∠OAP+15°+45°=90°$,$\therefore ∠OAP=30°$,$\therefore ∠GAP=∠OAP=30°$,$\therefore ∠GAO=2∠OAP=60°$,$\therefore ∠GAN=∠GAO+∠OAN=60°+15°=75°$.
(2)设$∠FBD=α$,则$∠FBN=∠DBN-∠FBD=90°-α. \because ∠OBN=30°$,$BQ⊥BF$,$\therefore ∠OBQ=∠QBF-∠OBN-∠FBN=90°-30°-(90°-α )=α -30°$,$\therefore ∠HBO=2∠OBQ=2(α-30°)=2α-60°$,$\therefore ∠HBN=∠HBO+∠OBN=2α-60°+30°=2α-30°$.当$BH// AG$时,$∠HBN=∠GAN=75°$,$\therefore 2α-30°=75°$,$\therefore α=52.5°$,即$∠FBD=52.5°$.