8.「2026黑龙江哈尔滨南岗期末，★☆」
如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$BC=6$，$S_{△ ABC}=24$，直线$GH$是$AB$的垂直平分线，若点$D$是$BC$的中点，点$E$为直线$GH$上一个动点，连接$BE$，$AE$，$DE$，则$△ BDE$周长的最小值为（）

A.8
B.10
C.11
D.12

8.C 如图,连接 AD,
$\because AB=AC,D$ 为 $BC$ 的中点,
$\therefore AD⊥ BC,BD=\dfrac{1}{2}BC=3,$
$\because S_{△ ABC}=\dfrac{1}{2}BC· AD=24,BC=6,$
$\therefore \dfrac{1}{2}×6AD=24,\therefore AD=8,\because GH$ 是 $AB$ 的垂直平分线, $\therefore AE=BE,\therefore DE+BE=DE+AE≥ AD,\therefore$ 当点 $E$ 在线段 $AD$ 上时, $DE+BE$ 的值最小, 为 $AD$ 的长, $\therefore △ BDE$ 周长的最小值为 $8+3=11.$

9.「★☆」如图，∠AOB是一个角度为10°的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF,FG,GH,…,且OE=EF=FG=GH=…,在OA,OB足够长的情况下,最多能添加这样的钢管的根数为（）

A.7
B.8
C.9
D.无数

9.B $\because$ 添加的钢管长度都与 $OE$ 的长相等, $∠ AOB=10°$,
$\therefore ∠ FEG=∠ FGE=20°,\because ∠ GFH$ 是 $△ GOF$ 的外角,
$\therefore ∠ GFH=∠ O+∠ FGE=30°,$
$\because GF=GH,\therefore ∠ GHF=∠ GFH=30°,······$
结合题图可知从左往右数有多个等腰三角形,第一个等腰三角形的底角是 $10°$,第二个等腰三角形的底角是 $20°$,第三个等腰三角形的底角是 $30°,······,\therefore$ 第 $n$ 个等腰三角形的底角是 $10n°$,
$\because$ 等腰三角形的底角小于 $90°,\therefore 10n＜90,\therefore n＜9$,
$\therefore$ 最多能添加 8 根.故选 B.

10. 学科特色 分类讨论思想 「2026 江苏徐州期中，★☆」在等腰△ABC中，如果过顶角∠BAC的一条直线AD将△ABC分割成两个等腰三角形，那么∠BAC=。

10.答案 $90°$或 $108°$
解析 假设直线 $AD$ 与边 $BC$ 交于点 $D$,
①当 $BD=AD,CD=AD$ 时,如图①所示,
$\because AB=AC,\therefore ∠ B=∠ C$,
设 $∠ B=∠ C=x$,则 $∠ BAD=∠ B=x,∠ CAD=∠ C=x$,
$\therefore 4x=180°$, 解得 $x=45°,\therefore ∠ BAC=2x=2×45°=90°.$
②当 $AD=BD,AC=CD$ 时,如图②所示,
$\because AB=AC,\therefore ∠ B=∠ C$,
设 $∠ B=∠ C=x$,则 $∠ BAD=∠ B=x$,
$\because ∠ CDA$ 是 $△ ABD$ 的外角, $\therefore ∠ CAD=∠ CDA=2x$,
$\therefore 5x=180°$, 解得 $x=36°,\therefore ∠ BAC=3x=3×36°=108°.$
综上, $∠ BAC=90°$ 或 $108°.$

11.「2026江苏常州金坛期中，★☆」如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，点$O$在高$AD$上，连接$BO$并延长，交$AC$于点$E$，且$AO=BO$。
(1)求证：$∠ BAC=2∠ ABE$。
(2)若$△ BEC$是等腰三角形，求$∠ BAC$的度数。

11.解析 (1)证明:$\because AB=AC,AD⊥ BC,\therefore ∠ BAC=2∠ BAD$,
$\because OA=OB,\therefore ∠ BAD=∠ ABE,\therefore ∠ BAC=2∠ ABE.$
(2)设 $∠ ABE=α$,则 $∠ BAC=2α,\because ∠ BEC$ 是 $△ ABE$ 的外角, $\therefore ∠ BEC=∠ ABE+∠ BAE=3α$,
①当 $BE=BC$ 时, $∠ C=∠ BEC=3α,\because AB=AC$,
$\therefore ∠ ABC=∠ C=3α,\therefore ∠ CBE=2α,\therefore 2α+3α+3α=180°$,
解得 $α=22.5°,\therefore ∠ BAC=45°.$
②当 $BC=CE$ 时, $∠ CBE=∠ BEC=3α$,
$\because AB=AC,\therefore ∠ C=∠ ABC=4α,\therefore 4α+4α+2α=180°$,
解得 $α=18°,\therefore ∠ BAC=36°.$
③当 $BE=CE$ 时,不成立.
综上所述,若 $△ BEC$ 是等腰三角形,则 $∠ BAC$ 的度数为 $45°$ 或 $36°.$

12. 核心 素养 几何直观 「2026江苏无锡宜兴月考」
【问题】
如图,已知在△ABC中,点D为BC边上一点,BD=BA.EF垂直平分AC,交AC于点E,交BC于点F,连接AF.当∠B=30°,∠BAF=90°时,求∠DAC的度数.
【探究】
若把“问题”中的条件“∠B=30°”去掉,其他条件不变,那么∠DAC的度数会改变吗?请说明理由.
【拓展】
若把“问题”中的条件“∠B=30°”去掉,再将“∠BAF=90°”改为“∠BAF=α”,其余条件不变,则∠DAC=.

12.解析 【问题】
如图,连接 AD,
$\because AB=BD,∠ B=30°$,
$\therefore ∠ BAD=∠ BDA=\dfrac{180°-30°}{2}=75°$,
$\because EF$ 垂直平分 $AC,\therefore ∠ CAF=∠ C$,
$\because ∠ B+∠ AFB+∠ BAF=180°,∠ BAF=90°$,
$\therefore ∠ AFB=90°-30°=60°$,
$\because ∠ AFB=∠ C+∠ CAF=2∠ C,\therefore ∠ C=∠ CAF=30°$,
$\therefore ∠ DAC=∠ ADB-∠ C=75°-30°=45°.$
【探究】
$∠ DAC$ 的度数不变,理由:如图,连接 AD,
$\because AB=BD,\therefore ∠ BAD=∠ BDA=\dfrac{180°-∠ B}{2}=90°-\dfrac{1}{2}∠ B$,
$\because EF$ 垂直平分 $AC,\therefore ∠ CAF=∠ C$,
$\because ∠ B+∠ AFB+∠ BAF=180°,∠ BAF=90°$,
$\therefore ∠ AFB=90°-∠ B$,
$\because ∠ AFB=∠ C+∠ CAF=2∠ C$,
$\therefore ∠ C=∠ CAF=45°-\dfrac{1}{2}∠ B,\therefore ∠ DAC=∠ ADB-∠ C=90°-\dfrac{1}{2}∠ B-(45°-\dfrac{1}{2}∠ B)=45°.$
【拓展】
如图,连接 AD,
$\because AB=BD,\therefore ∠ BAD=∠ BDA=\dfrac{180°-∠ B}{2}=90°-\dfrac{1}{2}∠ B$,
$\because EF$ 垂直平分 $AC,\therefore ∠ CAF=∠ C$,
$\because ∠ B+∠ AFB+∠ BAF=180°,∠ BAF=α$,
$\therefore ∠ AFB=180°-α-∠ B$,
$\because ∠ AFB=∠ C+∠ CAF=2∠ C$,
$\therefore ∠ C=∠ CAF=90°-\dfrac{1}{2}α-\dfrac{1}{2}∠ B$,
$\therefore ∠ DAC=∠ ADB-∠ C=90°-\dfrac{1}{2}∠ B-(90°-\dfrac{1}{2}α-\dfrac{1}{2}∠ B)=\dfrac{1}{2}α.$ 故答案为 $\dfrac{1}{2}α.$