9. (★★★)如图,在$□ ABCD$中,AC与BD交于点O,$∠ OAB=∠ OBA$.
(1)求证:四边形ABCD为矩形;
(2)作$BE⊥ AC$于点E,$CF⊥ BD$于点F.求证:$BE=CF$.

证明：
(1) ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ $OA = OC = \frac{1}{2}AC$，$OB = OD = \frac{1}{2}BD$。
∵ $∠OAB = ∠OBA$，
∴ $OA = OB$。
∴ $AC = BD$。
∴ 平行四边形ABCD为矩形。
(2) 由(1)得，四边形ABCD是矩形，
∴ $OB = OC$。
∵ $BE⊥AC$，$CF⊥BD$，
∴ $∠BEO = ∠CFO = 90°$。
在$△ BOE$和$△ COF$中，
$\{\begin{array}{l}∠BEO = ∠CFO \\∠BOE = ∠COF \\OB = OC\end{array} $
∴ $△ BOE ≌ △ COF$（AAS）。
∴ $BE = CF$。

10. (★★★)如图,在矩形ABCD中,∠ABD,∠CDB的平分线BE,DF分别交边AD,BC于点E,F.
(1)求证:四边形BEDF为平行四边形;
(2)当∠ABE为多少度时,四边形BEDF是菱形?请说明理由.

(1) 证明：
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $AB// CD$，$AD// BC$，
∴ $∠ ABD = ∠ CDB$。
∵ $BE$ 平分 $∠ ABD$，$DF$ 平分 $∠ CDB$，
∴ $∠ EBD = \frac{1}{2}∠ ABD$，$∠ FDB = \frac{1}{2}∠ CDB$，
∴ $∠ EBD = ∠ FDB$，
∴ $BE// DF$。
又∵ $AD// BC$，即 $ED// BF$，
∴ 四边形BEDF两组对边分别平行，
∴ 四边形BEDF为平行四边形。
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(2) 解：当$∠ ABE=30°$时，四边形BEDF是菱形。
理由如下：
∵ $BE$ 平分 $∠ ABD$，
∴ $∠ ABD = 2∠ ABE = 60°$，$∠ EBD = ∠ ABE = 30°$。
∵ 四边形ABCD是矩形，
∴ $∠ A = 90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABD$中，$∠ ADB = 90° - ∠ ABD = 30°$，
∴ $∠ EBD = ∠ ADB$，
∴ $EB = ED$。
又∵ 由(1)知四边形BEDF是平行四边形，
∴ 一组邻边相等的平行四边形是菱形，四边形BEDF是菱形。