【典例1】著名数学家华罗庚说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非.”请运用这句话中提到思想方法判断方程$\frac{3}{x} - 2 = x^2 - 4x$的根的情况是()

A.有三个实数根
B.有两个实数根
C.有一个实数根
D.无实数根

解:$\frac{3}{x}=x^2 - 4x + 2$,即$\begin{cases} y=\frac{3}{x}, \\ y=x^2 - 4x + 2 \end{cases}$的解，
即看成双曲线$y=\frac{3}{x}$与抛物线$y=x^2 - 4x + 2$的交点，故只有一个交点。

变式.方程$x^3 + 3x = 1$的根，可视为函数$y=x^2 + 3$与$y=\frac{1}{x}$的图象交点的横坐标.依此方法，可知方程$x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0$根的情况为()

A.只有一个正根
B.有三个正根
C.有两个正根，一个负根
D.有一个正根，两个负根

解:$x^3 - x^2 - 2x + 1 = 0$,$x^2 - x - 2 + \frac{1}{x} = 0$,即
$\begin{cases} y=x^2 - x - 2, \\ y=-\frac{1}{x}, \end{cases}$
∴双曲线与抛物线第四象限有两个交点，在第二象限有一个交点，
∴有两个正根，一个负根。

【典例2】方程$x^2+2x-1=0$的根可视为直线$y=x+2$与双曲线$y=\frac{1}{x}$交点的横坐标，依此法推断$x^3+3x-2=0$的实数根$x_0$的取值范围是()

A.$1＜x_0＜2$
B.$2＜x_0＜3$
C.$0＜x_0＜1$
D.$3＜x_0＜4$

解:$x^3 + 3x - 2 = 0$,$x^2 + 3 - \frac{2}{x} = 0$,$\begin{cases} y_1=x^2 + 3, \\ y_2=\frac{2}{x}, \end{cases}$
当$x=1$时,$y_1=4$,$y_2=2$,$y_1＞y_2$,$\therefore 0＜x_0＜1$。

变式.用数形结合等思想方法确定二次函数$y=x^2+2$的图象与反比例函数$y=\frac{2}{x}$的图象的交点横坐标$x_0$所在的范围是()

A.$0＜x_0＜\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{4}＜x_0＜\frac{1}{2}$
C.$\frac{1}{2}＜x_0＜\frac{3}{4}$
D.$\frac{3}{4}＜x_0＜1$

解:$\begin{cases} y=x^2 + 2, \\ y=\frac{2}{x}, \end{cases}$当$x=1$时,$y_1=x^2 + 2=3$；
当$x=1$时,$y_2=\frac{2}{x}=2$；$y_1＞y_2$,$\therefore x_0＜1$。
当$x=\frac{1}{2}$时,$y_1=x^2 + 2=\frac{9}{4}$；当$x=\frac{1}{2}$时,$y_2=\frac{2}{x}=4$；$y_1＜y_2$,$\therefore x_0＞\frac{1}{2}$。
当$x=\frac{3}{4}$时,$y_1=\frac{9}{16}+2=2\frac{9}{16}$；当$x=\frac{3}{4}$时,$y_2=\frac{8}{3}=2\frac{2}{3}$；$y_1＜y_2$,$\therefore x_0＞\frac{3}{4}$。
综上所述,$\frac{3}{4}＜x_0＜1$。