登录
7. 将矩形纸片ABCD按如图5所示的方式折叠，恰好得到菱形AECF. 若$AD=\sqrt{3}$，则菱形AECF的面积为（
A.$2\sqrt{3}$
B.$4\sqrt{3}$
C.$4$
D.$8$
A
）A.$2\sqrt{3}$
B.$4\sqrt{3}$
C.$4$
D.$8$
答案
7.A
解析
【分析】
解题时先结合折叠性质、矩形性质和菱形性质推导角的数量关系，得到特殊角30°，再利用直角三角形的性质或勾股定理求出菱形的边长，最后用底乘高的方法计算菱形面积。首先，折叠前后对应角相等，可得∠BCE=∠ACE；菱形对角线平分内角，可得∠ACE=∠ACF；结合矩形∠BCD=90°，可推出三个角均为30°；接着在Rt△BCE中计算出菱形边长，以菱形的边AE为底，矩形的宽AD为高即可求面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，∠BCD=90°，BC=AD=√3。
由折叠的性质得：∠BCE=∠ACE。
∵四边形AECF是菱形，
∴CE=AE，AC平分∠ECF，即∠ACE=∠ACF。
∴∠BCE=∠ACE=∠ACF，
又
∵∠BCE+∠ACE+∠ACF=∠BCD=90°，
∴∠BCE=30°。
在Rt△BCE中，∠BCE=30°，故CE=2BE，
设BE=x，则CE=2x，由勾股定理得：
$x^2+(\sqrt{3})^2=(2x)^2$
解得$x=1$（边长为正，舍去负根），
∴CE=2，即菱形边长AE=2。
菱形AECF的高等于矩形的宽AD=√3，
∴菱形面积=$AE×AD=2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质，菱形的性质，折叠的性质
【点评】
本题综合考查了折叠变换和特殊四边形的性质应用，解题的关键是通过角的等量关系推出30°特殊角，再结合直角三角形相关性质求出菱形边长，是几何部分的经典常考题型。
【难度系数】
0.6
解题时先结合折叠性质、矩形性质和菱形性质推导角的数量关系，得到特殊角30°，再利用直角三角形的性质或勾股定理求出菱形的边长，最后用底乘高的方法计算菱形面积。首先，折叠前后对应角相等，可得∠BCE=∠ACE；菱形对角线平分内角，可得∠ACE=∠ACF；结合矩形∠BCD=90°，可推出三个角均为30°；接着在Rt△BCE中计算出菱形边长，以菱形的边AE为底，矩形的宽AD为高即可求面积。
【解析】
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，∠BCD=90°，BC=AD=√3。
由折叠的性质得：∠BCE=∠ACE。
∵四边形AECF是菱形，
∴CE=AE，AC平分∠ECF，即∠ACE=∠ACF。
∴∠BCE=∠ACE=∠ACF，
又
∵∠BCE+∠ACE+∠ACF=∠BCD=90°，
∴∠BCE=30°。
在Rt△BCE中，∠BCE=30°，故CE=2BE，
设BE=x，则CE=2x，由勾股定理得：
$x^2+(\sqrt{3})^2=(2x)^2$
解得$x=1$（边长为正，舍去负根），
∴CE=2，即菱形边长AE=2。
菱形AECF的高等于矩形的宽AD=√3，
∴菱形面积=$AE×AD=2×\sqrt{3}=2\sqrt{3}$。
【答案】
A
【知识点】
矩形的性质，菱形的性质，折叠的性质
【点评】
本题综合考查了折叠变换和特殊四边形的性质应用，解题的关键是通过角的等量关系推出30°特殊角，再结合直角三角形相关性质求出菱形边长，是几何部分的经典常考题型。
【难度系数】
0.6
8.如图6,在△ABC中,D是BC上的一点,AB=AD,E,F分别是AC,BD的中点,EF=3,则AC的长是
6
。答案
8.6
解析
【分析】
解题思路：首先从已知条件AB=AD入手，可判断△ABD为等腰三角形，结合F是BD中点的条件，根据等腰三角形三线合一的性质，考虑连接辅助线AF，可得到AF⊥BD，即△AFC为直角三角形。再利用E是AC中点的条件，结合直角三角形斜边中线的性质，即可建立EF和AC的数量关系，代入EF的数值就可以求出AC的长度。
【解析】
解：连接AF。
∵AB=AD，F是BD的中点，
∴根据等腰三角形三线合一的性质可得AF⊥BD，即∠AFC=90°，△AFC为直角三角形。
又
∵E是AC的中点，
∴根据直角三角形斜边中线定理，EF是Rt△AFC斜边AC的中线，即$EF=\frac{1}{2}AC$。
已知EF=3，
∴$AC=2EF=2×3=6$。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题属于几何基础应用题，解题的核心是通过构造辅助线AF得到直角三角形，再结合等腰三角形和直角三角形的相关性质推导边长关系，考查学生对基础几何性质的掌握和辅助线构造的能力。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先从已知条件AB=AD入手，可判断△ABD为等腰三角形，结合F是BD中点的条件，根据等腰三角形三线合一的性质，考虑连接辅助线AF，可得到AF⊥BD，即△AFC为直角三角形。再利用E是AC中点的条件，结合直角三角形斜边中线的性质，即可建立EF和AC的数量关系，代入EF的数值就可以求出AC的长度。
【解析】
解：连接AF。
∵AB=AD，F是BD的中点，
∴根据等腰三角形三线合一的性质可得AF⊥BD，即∠AFC=90°，△AFC为直角三角形。
又
∵E是AC的中点，
∴根据直角三角形斜边中线定理，EF是Rt△AFC斜边AC的中线，即$EF=\frac{1}{2}AC$。
已知EF=3，
∴$AC=2EF=2×3=6$。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线定理
【点评】
本题属于几何基础应用题，解题的核心是通过构造辅助线AF得到直角三角形，再结合等腰三角形和直角三角形的相关性质推导边长关系，考查学生对基础几何性质的掌握和辅助线构造的能力。
【难度系数】
0.7
9.图7是一块电脑屏幕上出现的矩形色块图，由6个大小不同的正方形组成，若中间最小正方形的边长为1，正方形①的边长为4，求这个矩形色块图的面积.
答案
9.143
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手，已知最小正方形边长为1、正方形①边长为4，首先观察图形中各正方形的边长关系：正方形②与正方形①边长相等，正方形③边长比正方形②大1，正方形④边长比正方形③大1，正方形⑤边长比正方形④大1；求出所有正方形边长后，分别计算矩形的长和宽，验证上下长、左右宽相等后，再用矩形面积公式计算即可。
【解析】
解：已知正方形①的边长为4，由图形边长关系可得：
1. 正方形②与正方形①边长相等，故正方形②边长为4；
2. 正方形③边长 = 正方形②边长 + 最小正方形边长 = 4+1=5；
3. 正方形④边长 = 正方形③边长 + 最小正方形边长 =5+1=6；
4. 正方形⑤边长 = 正方形④边长 + 最小正方形边长 =6+1=7；
计算矩形的长：
下方边长 = ①边长+②边长+③边长 = 4+4+5=13，
上方边长 = ④边长+⑤边长 =6+7=13，二者相等，即矩形长为13；
计算矩形的宽：
左侧边长 = ③边长+④边长 =5+6=11，
右侧边长 = ①边长+⑤边长 =4+7=11，二者相等，即矩形宽为11；
矩形面积 = 长×宽 =13×11=143。
【答案】
143
【知识点】
正方形的性质，矩形面积计算，图形等量关系推导
【点评】
本题属于几何拼接类基础题，重点考查对图形边长关系的观察和梳理能力，解题核心是通过已知边长结合最小正方形的边长，逐步推导其余正方形的边长，验证矩形长宽后即可快速求出面积。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件入手，已知最小正方形边长为1、正方形①边长为4，首先观察图形中各正方形的边长关系：正方形②与正方形①边长相等，正方形③边长比正方形②大1，正方形④边长比正方形③大1，正方形⑤边长比正方形④大1；求出所有正方形边长后，分别计算矩形的长和宽，验证上下长、左右宽相等后，再用矩形面积公式计算即可。
【解析】
解：已知正方形①的边长为4，由图形边长关系可得：
1. 正方形②与正方形①边长相等，故正方形②边长为4；
2. 正方形③边长 = 正方形②边长 + 最小正方形边长 = 4+1=5；
3. 正方形④边长 = 正方形③边长 + 最小正方形边长 =5+1=6；
4. 正方形⑤边长 = 正方形④边长 + 最小正方形边长 =6+1=7；
计算矩形的长：
下方边长 = ①边长+②边长+③边长 = 4+4+5=13，
上方边长 = ④边长+⑤边长 =6+7=13，二者相等，即矩形长为13；
计算矩形的宽：
左侧边长 = ③边长+④边长 =5+6=11，
右侧边长 = ①边长+⑤边长 =4+7=11，二者相等，即矩形宽为11；
矩形面积 = 长×宽 =13×11=143。
【答案】
143
【知识点】
正方形的性质，矩形面积计算，图形等量关系推导
【点评】
本题属于几何拼接类基础题，重点考查对图形边长关系的观察和梳理能力，解题核心是通过已知边长结合最小正方形的边长，逐步推导其余正方形的边长，验证矩形长宽后即可快速求出面积。
【难度系数】
0.7
10. 如图8,在四边形ABCD中,∠BAC=90°,E是BC的中点,AD//BC,AE//DC,EF⊥CD于点F.
(1)求证:四边形AECD是菱形;
(2)若AB=6,AC=8,求EF的长.
(1)求证:四边形AECD是菱形;
(2)若AB=6,AC=8,求EF的长.
答案
10.(1)略 (2)$\frac{24}{5}$
解析
【分析】
(1)证明菱形的常见思路是先证四边形是平行四边形，再证一组邻边相等。本题首先根据两组对边分别平行可判定四边形AECD是平行四边形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，得到AE=EC，即可证得菱形；(2)EF是菱形CD边上的高，可先通过勾股定理求出BC的长度，得到菱形的边长，再利用面积法，用两种方式表示菱形的面积，建立等式即可求出EF的长度。
【解析】
(1)证明：
∵AD//BC，AE//DC，
∴四边形AECD是平行四边形。
∵∠BAC=90°，E是BC的中点，
∴在Rt△ABC中，AE为斜边BC的中线，
∴AE=EC。
又
∵四边形AECD是平行四边形，
∴四边形AECD是菱形。
(2)解：
在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
∵E是BC的中点，
∴$EC=\frac{1}{2}BC=5$，
∵四边形AECD是菱形，
∴$CD=EC=5$。
计算△ABC的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×6×8=24$，
∵E是BC中点，
∴$S_{△ AEC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=12$，
∵AC是菱形AECD的对角线，
∴$S_{菱形AECD}=2S_{△ AEC}=24$，
∵EF⊥CD，菱形面积还可表示为$S_{菱形AECD}=CD· EF$，
代入CD=5，得$5· EF=24$，解得$EF=\frac{24}{5}$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$\frac{24}{5}$
【知识点】
菱形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段长
【点评】
本题综合考查了特殊四边形、直角三角形的相关性质，第二问运用面积法求解高，避免了复杂的线段计算，是几何计算中常用的简便方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
(1)证明菱形的常见思路是先证四边形是平行四边形，再证一组邻边相等。本题首先根据两组对边分别平行可判定四边形AECD是平行四边形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质，得到AE=EC，即可证得菱形；(2)EF是菱形CD边上的高，可先通过勾股定理求出BC的长度，得到菱形的边长，再利用面积法，用两种方式表示菱形的面积，建立等式即可求出EF的长度。
【解析】
(1)证明：
∵AD//BC，AE//DC，
∴四边形AECD是平行四边形。
∵∠BAC=90°，E是BC的中点，
∴在Rt△ABC中，AE为斜边BC的中线，
∴AE=EC。
又
∵四边形AECD是平行四边形，
∴四边形AECD是菱形。
(2)解：
在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{6^2+8^2}=10$。
∵E是BC的中点，
∴$EC=\frac{1}{2}BC=5$，
∵四边形AECD是菱形，
∴$CD=EC=5$。
计算△ABC的面积：$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× AB× AC=\frac{1}{2}×6×8=24$，
∵E是BC中点，
∴$S_{△ AEC}=\frac{1}{2}S_{△ ABC}=12$，
∵AC是菱形AECD的对角线，
∴$S_{菱形AECD}=2S_{△ AEC}=24$，
∵EF⊥CD，菱形面积还可表示为$S_{菱形AECD}=CD· EF$，
代入CD=5，得$5· EF=24$，解得$EF=\frac{24}{5}$。
【答案】
(1)证明见解析；(2)$\frac{24}{5}$
【知识点】
菱形的判定与性质，勾股定理，面积法求线段长
【点评】
本题综合考查了特殊四边形、直角三角形的相关性质，第二问运用面积法求解高，避免了复杂的线段计算，是几何计算中常用的简便方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.6
11.如图9，已知△ABC和△DEF是两个边长都为10 cm的等边三角形，且B,D,C,E四个点都在同一直线上，连接AD,CF.
(1)求证:四边形ADFC是平行四边形.
(2)若BD=6 cm，△ABC沿BE的方向以每秒2 cm的速度运动，运动时间为t秒.
①当t为何值时，四边形ADFC是菱形?
②四边形ADFC有可能是矩形吗? 若可能，画出草图并求出t的值;若不可能，请说明理由.
(1)求证:四边形ADFC是平行四边形.
(2)若BD=6 cm，△ABC沿BE的方向以每秒2 cm的速度运动，运动时间为t秒.
①当t为何值时，四边形ADFC是菱形?
②四边形ADFC有可能是矩形吗? 若可能，画出草图并求出t的值;若不可能，请说明理由.
答案
11.(1)提示:证$AC\underline{\underline{//}}DF$.
(2)①当t=3时,四边形ADFC是菱形.
②当t=8时,四边形ADFC是矩形.图略.
(2)①当t=3时,四边形ADFC是菱形.
②当t=8时,四边形ADFC是矩形.图略.
解析
【分析】
(1) 要证四边形ADFC是平行四边形，可选用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法：首先由两个等边三角形边长相等，得到AC和DF长度相等；再由等边三角形内角都是60°，得到内错角相等，推出AC和DF平行，即可完成证明。
(2) ① 平行四边形要成为菱形，只需一组邻边相等，已知AC=10cm，因此只需AD=10cm即可，结合等边△ABC边长为10cm，可知当点B运动到与点D重合时AD=AB=10cm，根据移动距离和速度即可计算t。
② 平行四边形要成为矩形，只需有一个内角为直角，推导可得当∠DAC=90°时满足要求，结合∠ACD=60°，利用直角三角形30°角的性质求出DC的长度，再结合初始DC的长度和移动速度，即可计算出对应的t值。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC和△DEF都是边长为10cm的等边三角形
∴AC=DF=10cm，∠ACB=∠FDE=60°
∴∠ACB=∠FDE，可得AC//DF
又
∵AC=DF
∴四边形ADFC是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
(2) ① 解：
若平行四边形ADFC为菱形，需邻边相等，即AD=AC=10cm
∵△ABC是边长为10cm的等边三角形
∴当点B与点D重合时，AD=AB=10cm，此时四边形ADFC为菱形
已知初始BD=6cm，△ABC运动速度为2cm/s
∴运动时间$t=6÷2=3$（秒）
② 解：四边形ADFC可以是矩形。
若平行四边形ADFC为矩形，需有一个内角为90°，即$∠ DAC=90°$
∵$∠ ACD=60°$
∴在△ADC中，$∠ ADC=180°-90°-60°=30°$
根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半，可得$DC=2AC=2×10=20\mathrm{cm}$
初始状态下，$BC=10\mathrm{cm}$，$BD=6\mathrm{cm}$，因此初始$DC=10-6=4\mathrm{cm}$
△ABC向右运动t秒后，DC长度为$4+2t=20$
解得$2t=16$，即$t=8$（秒）
此时∠DAC=90°，平行四边形ADFC为矩形，草图略。
【答案】
(1) 证明如上；
(2) ①$\boldsymbol{t=3}$秒；② 可能，$\boldsymbol{t=8}$秒。
【知识点】
平行四边形判定、菱形判定、矩形判定
【点评】
本题是特殊四边形判定与动点问题结合的典型综合题，考查了平行四边形、菱形、矩形的判定定理，同时结合了动点的路程、速度、时间的关系，需要结合几何性质找到动点的临界位置，能有效锻炼对特殊四边形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
(1) 要证四边形ADFC是平行四边形，可选用“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的判定方法：首先由两个等边三角形边长相等，得到AC和DF长度相等；再由等边三角形内角都是60°，得到内错角相等，推出AC和DF平行，即可完成证明。
(2) ① 平行四边形要成为菱形，只需一组邻边相等，已知AC=10cm，因此只需AD=10cm即可，结合等边△ABC边长为10cm，可知当点B运动到与点D重合时AD=AB=10cm，根据移动距离和速度即可计算t。
② 平行四边形要成为矩形，只需有一个内角为直角，推导可得当∠DAC=90°时满足要求，结合∠ACD=60°，利用直角三角形30°角的性质求出DC的长度，再结合初始DC的长度和移动速度，即可计算出对应的t值。
【解析】
(1) 证明：
∵△ABC和△DEF都是边长为10cm的等边三角形
∴AC=DF=10cm，∠ACB=∠FDE=60°
∴∠ACB=∠FDE，可得AC//DF
又
∵AC=DF
∴四边形ADFC是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
(2) ① 解：
若平行四边形ADFC为菱形，需邻边相等，即AD=AC=10cm
∵△ABC是边长为10cm的等边三角形
∴当点B与点D重合时，AD=AB=10cm，此时四边形ADFC为菱形
已知初始BD=6cm，△ABC运动速度为2cm/s
∴运动时间$t=6÷2=3$（秒）
② 解：四边形ADFC可以是矩形。
若平行四边形ADFC为矩形，需有一个内角为90°，即$∠ DAC=90°$
∵$∠ ACD=60°$
∴在△ADC中，$∠ ADC=180°-90°-60°=30°$
根据直角三角形中30°角所对直角边是斜边的一半，可得$DC=2AC=2×10=20\mathrm{cm}$
初始状态下，$BC=10\mathrm{cm}$，$BD=6\mathrm{cm}$，因此初始$DC=10-6=4\mathrm{cm}$
△ABC向右运动t秒后，DC长度为$4+2t=20$
解得$2t=16$，即$t=8$（秒）
此时∠DAC=90°，平行四边形ADFC为矩形，草图略。
【答案】
(1) 证明如上；
(2) ①$\boldsymbol{t=3}$秒；② 可能，$\boldsymbol{t=8}$秒。
【知识点】
平行四边形判定、菱形判定、矩形判定
【点评】
本题是特殊四边形判定与动点问题结合的典型综合题，考查了平行四边形、菱形、矩形的判定定理，同时结合了动点的路程、速度、时间的关系，需要结合几何性质找到动点的临界位置，能有效锻炼对特殊四边形性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.65
