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1 教材P47练习1·变式 如图，BD，CE是等边三角形ABC的中线，则∠1的度数为 （
A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.无法确定
（第1题）
C
）A.$30°$
B.$45°$
C.$60°$
D.无法确定
（第1题）答案
1. C
解析
【分析】
解题时首先回忆等边三角形的相关性质：等边三角形的三个内角均为60°，且中线、角平分线、高互相重合（三线合一）。已知BD、CE是等边△ABC的中线，可推出二者同时是∠ABC、∠ACB的角平分线，算出∠FBC和∠FCB的度数，再利用三角形外角的性质即可求出∠1的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD、CE是等边△ABC的中线，根据等边三角形三线合一的性质，
∴BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，∠FCB=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，
∵∠1是△BFC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠1=∠FBC+∠FCB=30°+30°=60°。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；三角形外角的性质；三线合一
【点评】
本题是等边三角形性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握等边三角形三线合一的性质，结合三角形外角的性质即可快速得出结果，计算难度低，是对基础知识点掌握情况的考查。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆等边三角形的相关性质：等边三角形的三个内角均为60°，且中线、角平分线、高互相重合（三线合一）。已知BD、CE是等边△ABC的中线，可推出二者同时是∠ABC、∠ACB的角平分线，算出∠FBC和∠FCB的度数，再利用三角形外角的性质即可求出∠1的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ABC=∠ACB=60°，
∵BD、CE是等边△ABC的中线，根据等边三角形三线合一的性质，
∴BD平分∠ABC，CE平分∠ACB，
∴∠FBC=$\frac{1}{2}$∠ABC=30°，∠FCB=$\frac{1}{2}$∠ACB=30°，
∵∠1是△BFC的外角，根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠1=∠FBC+∠FCB=30°+30°=60°。
【答案】
C
【知识点】
等边三角形的性质；三角形外角的性质；三线合一
【点评】
本题是等边三角形性质的基础应用题，解题的关键是熟练掌握等边三角形三线合一的性质，结合三角形外角的性质即可快速得出结果，计算难度低，是对基础知识点掌握情况的考查。
【难度系数】
0.8
2（2025南通通州期中）如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=12$，$∠ BAC=120°$，$D$是边$BC$上的任意一点，则$AD$的长不可能是（
A.5
B.6
C.7
D.8
A
）A.5
B.6
C.7
D.8
答案
2. A
解析
【分析】
要判断AD不可能的长度，需先确定AD的取值范围。根据垂线段最短，点D在BC上时，AD的最小值是点A到BC的垂线段长度，最大值为腰长AB（或AC）的长度。首先利用等腰三角形内角和性质求出底角度数，再结合直角三角形中30°角的性质计算出AD的最小值，即可得到AD的取值范围，最后对比选项选出答案。
【解析】
解：过点A作AH⊥BC于点H，根据垂线段最短，此时AH是AD的最小值。
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-120°)÷2=30°。
在Rt△ABH中，∠B=30°，斜边AB=12，
由“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”可得：
AH=½AB=½×12=6。
∵D是BC边上的任意一点，
∴AD的取值范围为6≤AD≤12（AD最长等于腰长12）。
观察选项，只有5不在该取值范围内，因此AD的长不可能是5。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，垂线段最短
【点评】
本题核心是确定AD的取值范围，解题关键是利用垂线段最短找到AD的最小值，结合等腰三角形和特殊直角三角形的性质即可快速求解，是三角形性质应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
要判断AD不可能的长度，需先确定AD的取值范围。根据垂线段最短，点D在BC上时，AD的最小值是点A到BC的垂线段长度，最大值为腰长AB（或AC）的长度。首先利用等腰三角形内角和性质求出底角度数，再结合直角三角形中30°角的性质计算出AD的最小值，即可得到AD的取值范围，最后对比选项选出答案。
【解析】
解：过点A作AH⊥BC于点H，根据垂线段最短，此时AH是AD的最小值。
∵AB=AC，∠BAC=120°，
∴∠B=∠C=(180°-∠BAC)÷2=(180°-120°)÷2=30°。
在Rt△ABH中，∠B=30°，斜边AB=12，
由“直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半”可得：
AH=½AB=½×12=6。
∵D是BC边上的任意一点，
∴AD的取值范围为6≤AD≤12（AD最长等于腰长12）。
观察选项，只有5不在该取值范围内，因此AD的长不可能是5。
【答案】
A
【知识点】
等腰三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，垂线段最短
【点评】
本题核心是确定AD的取值范围，解题关键是利用垂线段最短找到AD的最小值，结合等腰三角形和特殊直角三角形的性质即可快速求解，是三角形性质应用的典型基础题。
【难度系数】
0.7
3（2025南通）南通是“建筑之乡”，工程建筑中经常采用三角形的结构.如图是屋架设计图的一部分，E是斜梁AC的中点，立柱AD，EF垂直于横梁BC.若AC=4.8 m，∠C=30°，则EF的长为
1.2
m.答案
3. 1.2
解析
【分析】
要计算EF的长度，首先观察图形可得EF⊥BC，因此△EFC是直角三角形，已知∠C=30°，根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边EF等于斜边EC的一半，因此只需先求出EC的长度即可。已知E是AC的中点，AC=4.8m，结合线段中点的定义可求出EC的长，进而代入计算得到EF的长度。
【解析】
解：
∵EF⊥BC，
∴△EFC是直角三角形，
∵E是AC的中点，AC=4.8m，
∴EC = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$×4.8 = 2.4（m），
在Rt△EFC中，∠C=30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
EF = $\frac{1}{2}$EC = $\frac{1}{2}$×2.4 = 1.2（m）。
【答案】
1.2
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；线段中点的定义
【点评】
本题结合建筑实际场景考查几何性质的应用，解题的关键是明确所求线段所在的直角三角形的特征，结合已知条件找到对应边的数量关系即可求解，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
要计算EF的长度，首先观察图形可得EF⊥BC，因此△EFC是直角三角形，已知∠C=30°，根据含30°角的直角三角形的性质，30°角所对的直角边EF等于斜边EC的一半，因此只需先求出EC的长度即可。已知E是AC的中点，AC=4.8m，结合线段中点的定义可求出EC的长，进而代入计算得到EF的长度。
【解析】
解：
∵EF⊥BC，
∴△EFC是直角三角形，
∵E是AC的中点，AC=4.8m，
∴EC = $\frac{1}{2}$AC = $\frac{1}{2}$×4.8 = 2.4（m），
在Rt△EFC中，∠C=30°，根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，可得：
EF = $\frac{1}{2}$EC = $\frac{1}{2}$×2.4 = 1.2（m）。
【答案】
1.2
【知识点】
含30°角的直角三角形的性质；线段中点的定义
【点评】
本题结合建筑实际场景考查几何性质的应用，解题的关键是明确所求线段所在的直角三角形的特征，结合已知条件找到对应边的数量关系即可求解，属于基础应用类题目。
【难度系数】
0.8
4（2025无锡新吴期中）如图，在等边三角形ABC中，AD是中线，点E在AC上，AE=AD，则∠EDC=
$15°$
.答案
4. $15°$
解析
【分析】
解题时先从已知条件等边三角形和中线入手，利用等边三角形“三线合一”的性质，得到AD垂直BC、AD平分顶角∠BAC，从而求出∠ADC和∠DAC的度数；再结合AD=AE的条件，利用等腰三角形等边对等角和三角形内角和定理求出∠ADE的度数；最后通过∠EDC=∠ADC-∠ADE的角度差关系即可算出结果。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠BAC=60°，AB=AC
∵AD是△ABC的中线，根据等边三角形三线合一的性质
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC
∴∠ADC=90°，∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°
又
∵AD=AE
∴△ADE是等腰三角形，∠ADE=∠AED
在△ADE中，由三角形内角和为180°得：
∠ADE=(180°-∠DAC)÷2=(180°-30°)÷2=75°
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°
【答案】
$15°$
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等边三角形与等腰三角形性质的综合基础题，解题核心是熟练运用等边三角形三线合一的特性得到垂直和角平分线的结论，再结合等腰三角形底角相等的性质计算角度，是特殊三角形角度计算类的典型常考题。
【难度系数】
0.7
解题时先从已知条件等边三角形和中线入手，利用等边三角形“三线合一”的性质，得到AD垂直BC、AD平分顶角∠BAC，从而求出∠ADC和∠DAC的度数；再结合AD=AE的条件，利用等腰三角形等边对等角和三角形内角和定理求出∠ADE的度数；最后通过∠EDC=∠ADC-∠ADE的角度差关系即可算出结果。
【解析】
解：
∵△ABC是等边三角形
∴∠BAC=60°，AB=AC
∵AD是△ABC的中线，根据等边三角形三线合一的性质
∴AD⊥BC，AD平分∠BAC
∴∠ADC=90°，∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC=$\frac{1}{2}$×60°=30°
又
∵AD=AE
∴△ADE是等腰三角形，∠ADE=∠AED
在△ADE中，由三角形内角和为180°得：
∠ADE=(180°-∠DAC)÷2=(180°-30°)÷2=75°
∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°
【答案】
$15°$
【知识点】
等边三角形的性质；等腰三角形的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是等边三角形与等腰三角形性质的综合基础题，解题核心是熟练运用等边三角形三线合一的特性得到垂直和角平分线的结论，再结合等腰三角形底角相等的性质计算角度，是特殊三角形角度计算类的典型常考题。
【难度系数】
0.7
5 如图，$△ ABC$为等边三角形，$M$是线段$BC$上的任意一点，$N$是线段$CA$上任意一点，且$BM=CN$，直线$BN$与$AM$相交于点$Q$。
（1）求证：$△ BAN≌△ ACM$；
（2）求$∠ BQM$的度数。
（1）求证：$△ BAN≌△ ACM$；
（2）求$∠ BQM$的度数。
答案
5.（1）证明:因为△ABC为等边三角形，
所以AB=BC=CA,∠BAC=∠BCA=60°.
因为BM=CN,所以CM=AN.
在△BAN和△ACM中,$\begin{cases} AB=CA,\\ ∠BAN=∠ACM,\\ AN=CM, \end{cases}$
所以△BAN≌△ACM(SAS).
（2）解:因为△BAN≌△ACM,所以∠CAM=∠ABN,
所以∠BQM=∠ABN+∠BAQ=∠CAM+∠BAQ=∠BAC=60°.
所以AB=BC=CA,∠BAC=∠BCA=60°.
因为BM=CN,所以CM=AN.
在△BAN和△ACM中,$\begin{cases} AB=CA,\\ ∠BAN=∠ACM,\\ AN=CM, \end{cases}$
所以△BAN≌△ACM(SAS).
（2）解:因为△BAN≌△ACM,所以∠CAM=∠ABN,
所以∠BQM=∠ABN+∠BAQ=∠CAM+∠BAQ=∠BAC=60°.
解析
【分析】
（1）要证明△BAN≌△ACM，首先结合等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAN=∠ACM=60°，再根据已知BM=CN，可推导出AN=CM，刚好满足SAS全等判定的三个条件，即可完成证明。（2）求∠BQM的度数时，观察可知∠BQM是△ABQ的外角，根据三角形外角性质，它等于不相邻两个内角∠ABN与∠BAQ的和，再结合第一问全等的结论，将∠ABN替换为∠CAM，即可将角的和转化为等边三角形的内角∠BAC，从而求出对应度数。
【解析】
（1）证明：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=CA，∠BAC=∠BCA=60°，
∵BM=CN，
∴BC - BM = AC - CN，即CM=AN，
在△BAN和△ACM中：
$\begin{cases} AB=CA \\ ∠BAN=∠ACM \\ AN=CM \end{cases}$
∴△BAN≌△ACM（SAS）。
（2）解：
∵△BAN≌△ACM，
∴∠CAM=∠ABN，
∵∠BQM是△ABQ的外角，
∴∠BQM=∠ABN+∠BAQ=∠CAM+∠BAQ=∠BAC=60°。
【答案】
（1）证明成立；（2）$∠ BQM=60°$
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的基础常考题，解题核心是先利用等边三角形边、角相等的特性找到全等判定所需的条件，再通过全等三角形对应角相等的性质完成角的转化，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
（1）要证明△BAN≌△ACM，首先结合等边三角形的性质可得AB=AC，∠BAN=∠ACM=60°，再根据已知BM=CN，可推导出AN=CM，刚好满足SAS全等判定的三个条件，即可完成证明。（2）求∠BQM的度数时，观察可知∠BQM是△ABQ的外角，根据三角形外角性质，它等于不相邻两个内角∠ABN与∠BAQ的和，再结合第一问全等的结论，将∠ABN替换为∠CAM，即可将角的和转化为等边三角形的内角∠BAC，从而求出对应度数。
【解析】
（1）证明：
∵△ABC为等边三角形，
∴AB=BC=CA，∠BAC=∠BCA=60°，
∵BM=CN，
∴BC - BM = AC - CN，即CM=AN，
在△BAN和△ACM中：
$\begin{cases} AB=CA \\ ∠BAN=∠ACM \\ AN=CM \end{cases}$
∴△BAN≌△ACM（SAS）。
（2）解：
∵△BAN≌△ACM，
∴∠CAM=∠ABN，
∵∠BQM是△ABQ的外角，
∴∠BQM=∠ABN+∠BAQ=∠CAM+∠BAQ=∠BAC=60°。
【答案】
（1）证明成立；（2）$∠ BQM=60°$
【知识点】
等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质
【点评】
本题是等边三角形与全等三角形结合的基础常考题，解题核心是先利用等边三角形边、角相等的特性找到全等判定所需的条件，再通过全等三角形对应角相等的性质完成角的转化，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
6 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$∠ BAC=120°$,点$D$,$E$在$BC$上,且$AE=BE$.
(1) 求$∠ CAE$的度数;
(2) 若$D$为线段$EC$的中点,求证:$△ ADE$是等边三角形.
(1) 求$∠ CAE$的度数;
(2) 若$D$为线段$EC$的中点,求证:$△ ADE$是等边三角形.
答案
6.（1）解:因为AB=AC,∠BAC=120°,
所以∠B=∠C=30°.
因为AE=BE,所以∠B=∠EAB=30°.
因为∠BAC=120°,所以∠CAE=∠BAC-∠EAB=90°,
即∠CAE=90°.
（2）证明:由(1),得∠CAE=90°,∠C=30°,
所以∠AED=60°,所以$AE=\frac{1}{2}EC$.
因为D为线段EC的中点,所以$ED=\frac{1}{2}EC$,
所以AE=ED,即△ADE是等边三角形.
所以∠B=∠C=30°.
因为AE=BE,所以∠B=∠EAB=30°.
因为∠BAC=120°,所以∠CAE=∠BAC-∠EAB=90°,
即∠CAE=90°.
（2）证明:由(1),得∠CAE=90°,∠C=30°,
所以∠AED=60°,所以$AE=\frac{1}{2}EC$.
因为D为线段EC的中点,所以$ED=\frac{1}{2}EC$,
所以AE=ED,即△ADE是等边三角形.
解析
【分析】
(1) 求∠CAE的度数时，首先利用等腰△AB=AC的性质，结合已知顶角∠BAC=120°先算出底角∠B的度数；再根据AE=BE得到△ABE为等腰三角形，推出∠EAB=∠B，最后用∠BAC减去∠EAB即可得到∠CAE的度数。
(2) 要证明△ADE是等边三角形，先结合(1)的结论得到△AEC是直角三角形，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，得到AE和EC的数量关系；再根据D是EC中点推出ED与EC的关系，得到AE=ED，最后结合∠AED=60°，利用等边三角形的判定定理即可完成证明。
【解析】
(1) 解：在△ABC中，
∵$AB=AC$，$∠BAC=120°$，
∴$∠ B = ∠ C = \frac{180° - 120°}{2} = 30°$，
∵$AE=BE$，
∴$∠ B = ∠ EAB = 30°$，
∴$∠ CAE = ∠ BAC - ∠ EAB = 120° - 30° = 90°$。
(2) 证明：由(1)得$∠ CAE=90°$，$∠ C=30°$，
在Rt△AEC中，$∠ AED = 90° - ∠ C = 60°$，且$AE=\frac{1}{2}EC$，
∵D为线段EC的中点，
∴$ED=\frac{1}{2}EC$，
∴$AE=ED$，
又
∵$∠ AED=60°$，
∴△ADE是等边三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠CAE=90°}$
(2) △ADE是等边三角形，证明成立。
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形30°角的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是梳理清楚图中等腰三角形、直角三角形的边角关系，结合对应性质逐步推导即可，有助于巩固特殊三角形的性质与判定相关知识。
【难度系数】
0.75
(1) 求∠CAE的度数时，首先利用等腰△AB=AC的性质，结合已知顶角∠BAC=120°先算出底角∠B的度数；再根据AE=BE得到△ABE为等腰三角形，推出∠EAB=∠B，最后用∠BAC减去∠EAB即可得到∠CAE的度数。
(2) 要证明△ADE是等边三角形，先结合(1)的结论得到△AEC是直角三角形，利用直角三角形中30°角所对直角边等于斜边一半的性质，得到AE和EC的数量关系；再根据D是EC中点推出ED与EC的关系，得到AE=ED，最后结合∠AED=60°，利用等边三角形的判定定理即可完成证明。
【解析】
(1) 解：在△ABC中，
∵$AB=AC$，$∠BAC=120°$，
∴$∠ B = ∠ C = \frac{180° - 120°}{2} = 30°$，
∵$AE=BE$，
∴$∠ B = ∠ EAB = 30°$，
∴$∠ CAE = ∠ BAC - ∠ EAB = 120° - 30° = 90°$。
(2) 证明：由(1)得$∠ CAE=90°$，$∠ C=30°$，
在Rt△AEC中，$∠ AED = 90° - ∠ C = 60°$，且$AE=\frac{1}{2}EC$，
∵D为线段EC的中点，
∴$ED=\frac{1}{2}EC$，
∴$AE=ED$，
又
∵$∠ AED=60°$，
∴△ADE是等边三角形。
【答案】
(1) $\boldsymbol{∠CAE=90°}$
(2) △ADE是等边三角形，证明成立。
【知识点】
等腰三角形的性质；直角三角形30°角的性质；等边三角形的判定
【点评】
本题是基础几何综合题，解题核心是梳理清楚图中等腰三角形、直角三角形的边角关系，结合对应性质逐步推导即可，有助于巩固特殊三角形的性质与判定相关知识。
【难度系数】
0.75
