9. 传统文化（2024·兰州）“轮动发石车”是我国古代的一种投石工具，在春秋战国时期被广泛应用，图①是陈列在展览馆的仿真模型. 图②是模型驱动部分的示意图，其中$\odot M,\odot N$的半径分别是1 cm和10 cm，当$\odot M$顺时针转动3周时，$\odot N$上的点P随之旋转$n°$，则$n=$.

9.108

10.如图,将$△ ABC$绕点$C$顺时针旋转$120°$得到$△ A'B'C$,已知$AC=3$,$BC=2$,则线段$AB$扫过的图形(阴影部分)的面积为$\underline{\hspace{5em}}$.

10.$\frac{5}{3}π$

11.(2025·盐城一模)公元前四世纪,希腊哲学家、科学史家欧德莫斯曾研究过对数学发展有重要影响的如下问题:如图,AB为$\odot O$的直径,过圆心O作$OC⊥AB$,交$\odot O$于点C,以点C为圆心,CA的长为半径作$\overset{\frown}{AB}$,若$S_{阴}=4\ \mathrm{cm}^2$,则$S_{△ ABC}=\_\_\_\_\_\_\mathrm{cm}^2$.

11.4

12.(1)如图①,扇形OAB的半径为1,以点O为圆心的弧CD平分扇形OAB的面积,求OC的长；
(2)如图②,在扇形OAB中,以点O为圆心作弧CD(点C在OA上,点D在OB上),使弧CD平分扇形OAB的面积.(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)

12.解:(1)由题意,可知$\frac{S_{\mathrm{扇形}OCD}}{S_{\mathrm{扇形}OAB}}=\frac{1}{2}$,
$\therefore \frac{S_{\mathrm{扇形}OCD}}{S_{\mathrm{扇形}OAB}}=\frac{\frac{nπ · OC^2}{360}}{\frac{nπ · OA^2}{360}}=\frac{1}{2}$,
$\therefore \frac{OC^2}{OA^2}=\frac{1}{2}.\because OA=1$,
$\therefore OC=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
(2)如答图,弧CD即为所求.

13. 如图，$\odot O$的直径为10，$P$是弦$AB$所对优弧上一动点，连接$AP$，$BP$，过点$A$作$AH ⊥ BP$，垂足为$H$.
(1)若$∠ P=45°$，求弦$AB$的长及$\overset{\frown}{AB}$的长；
(2)若$AB=5$，求点$H$到$AP$的距离的最大值.

13.解:(1)如答图,连接$OA,OB$,
$\because \odot O$的直径为10,
$\therefore OA=OB=5$.
$\because ∠ P=45°$,
$\therefore ∠ AOB=2∠ P=90°$,
$\therefore AB=\sqrt{OA^2+OB^2}=\sqrt{5^2+5^2}=5\sqrt{2}$,$\overset{\frown}{AB}$的长为$\frac{90π × 5}{180}=\frac{5}{2}π$.
(2)$\because AB=OA=OB=5$,$\therefore △ AOB$为等边三角形,
$\therefore ∠ AOB=60°$,$\therefore ∠ P=\frac{1}{2}∠ AOB=30°$.
$\because AH⊥ BP$,$\therefore AH=\frac{1}{2}AP$,$PH=\frac{\sqrt{3}}{2}AP$.
设点$H$到$AP$的距离为$h$,则$\frac{1}{2}AH· PH=\frac{1}{2}AP· h$,
$\therefore h=\frac{\sqrt{3}}{4}AP$.
如果要$h$最大,那么只需$AP$的长度最大即可,故当$AP$为直径时,$h$最大,即$h$的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{4}× 10=\frac{5}{2}\sqrt{3}$,即点$H$到$AP$的距离的最大值为$\frac{5}{2}\sqrt{3}$.