12. (2024·攀枝花)如图，AB//CD，AE//CF，BF=DE.求证:AB=CD.

12. $\because AB// CD,AE// CF,\therefore ∠B = ∠D,∠AEB = ∠CFD.$ $\because BF = DE, \therefore BE = DF$, 在$△ ABE$ 与$△ CDF$ 中,$\begin{cases}∠B=∠D,\\BE=DF,\\∠AEB=∠CFD,\end{cases}$
$\therefore △ ABE ≌ △ CDF (\mathrm{ASA}),\therefore AB = CD.$

13. (2024秋·太原期中)如图,小明与爸爸、妈妈在公园里荡秋千,小明坐在秋千的起始位置A处,OA与地面垂直,两脚在地面上用力一蹬,妈妈在距地面1.2 m高的B处接住他后用力一推,爸爸在C处接住他,若妈妈与爸爸到OA的水平距离BD,CE分别为1.6 m和2 m,∠BOC=90°.求证:△COE≌△OBD.

13. $\because BD⊥ OA,CE⊥ OA,\therefore ∠ODB = ∠OEC = 90°,∠OBD + ∠BOD = 90°,∠OCE+∠COE = 90°.$ $\because ∠BOC = 90°,\therefore ∠BOD + ∠COE = 90°, \therefore ∠BOD = ∠OCE$, 在$△ COE$ 与$△ OBD$ 中,$\begin{cases}∠COE=∠OBD,\\OC=BO,\\∠OCE=∠BOD,\end{cases}$
$\therefore △ COE ≌ △ OBD (\mathrm{ASA}).$

14. 如图，$AB// CD$，$∠ B=∠ D$，$O$是$CD$的中点，连接$AO$并延长，交$BC$的延长线于点$E$.
（1）试判断$AD$与$BE$有怎样的位置关系，并说明理由；
（2）试说明$△ AOD≌△ EOC$.

14. （1）$AD // BE$, 理由: $\because AB // CD,\therefore ∠B=∠DCE.$ $\because ∠B = ∠D,\therefore ∠DCE = ∠D,\therefore AD// BE;$ （2）$\because O$ 是$CD$ 的中点,$\therefore DO=CO$,由(1)知 $AD // BE$, $\therefore ∠D = ∠OCE$, 在$△ ADO$ 和$△ ECO$ 中,$\begin{cases}∠D=∠OCE,\\DO=CO,\\∠AOD=∠EOC,\end{cases}$
$\therefore △ AOD ≌ △ EOC (\mathrm{ASA}).$

15. (2024秋·顺义区期中)如图,点E在△ABC外部,点D在BC边上,DE交AC于F.若∠BAD=∠CAE=∠CDE,AC=AE.请在图中找出一对全等三角形,并写出证明过程.

15. $△ ABC ≌ △ ADE$, 证明: 如图:
$\because ∠BAD=∠CAE,\therefore ∠BAD+∠1=∠CAE+∠1$,即$∠BAC=∠DAE.$ $\because ∠2=∠3,∠EAC=∠CDF,$
$\therefore 180° - ∠3 - ∠CDF = 180° - ∠2 - ∠EAC$, 即$∠C=∠E$,在$△ ABC$ 和$△ ADE$ 中,$\begin{cases}∠BAC=∠DAE,\\AC=AE,\\∠C=∠E,\end{cases}$
$\therefore △ ABC≌△ ADE(\mathrm{ASA}).$