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7. 将五个整数从小到大排列，中位数为8，若这组数中的唯一众数为10，则这5个整数的和最大可能是（
A.39
B.40
C.41
D.42
C
）A.39
B.40
C.41
D.42
答案
7.C
解析
【分析】首先明确5个整数从小到大排列时，中位数是排序后的第3个数，可先确定第3个数为8；唯一众数是10，说明10的出现次数多于其他所有数。要让5个整数的和最大，需让前两个数尽可能大，同时满足不出现其他和10出现次数相同的数。首先确定后两个数必须都是10（既保证10至少出现2次，也满足数值最大的要求），再分析前两个数的最大取值：不能让8或其他数也出现2次，否则众数不唯一，因此第2个数最大取7，第1个数最大取6，即可算出最大和。
【解析】设这5个从小到大排列的整数为$a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e$。
1. 根据中位数的定义：5个数据的中位数是排序后第3个数据，因此$c=8$；
2. 根据唯一众数为10的要求：10是出现次数最多的数，且无其他数的出现次数与10相等。要使和最大，$d、e$应取最大值，因此$d=e=10$，此时10共出现2次；
3. 要保证众数唯一，其余数的出现次数都要小于2（即只能出现1次），且$a ≤ b ＜ 8$（若$b=8$，则8也出现2次，和10出现次数相同，众数不唯一）。要让$a、b$尽可能大且不相等（若$a=b$，则该数也出现2次，众数不唯一），因此$b$最大取7，$a$最大取6；
4. 计算5个数的和：$6+7+8+10+10=41$。
【答案】C
【知识点】中位数的定义，众数的定义，有理数加法
【点评】本题核心考查对中位数、众数概念的准确理解，解题关键是结合“和最大”的要求，在“唯一众数”的限制下推导前两个数的最大可能取值，易错点是忽略众数的唯一性要求，误将前两个数取为7和7或7和8。
【难度系数】0.7
【解析】设这5个从小到大排列的整数为$a ≤ b ≤ c ≤ d ≤ e$。
1. 根据中位数的定义：5个数据的中位数是排序后第3个数据，因此$c=8$；
2. 根据唯一众数为10的要求：10是出现次数最多的数，且无其他数的出现次数与10相等。要使和最大，$d、e$应取最大值，因此$d=e=10$，此时10共出现2次；
3. 要保证众数唯一，其余数的出现次数都要小于2（即只能出现1次），且$a ≤ b ＜ 8$（若$b=8$，则8也出现2次，和10出现次数相同，众数不唯一）。要让$a、b$尽可能大且不相等（若$a=b$，则该数也出现2次，众数不唯一），因此$b$最大取7，$a$最大取6；
4. 计算5个数的和：$6+7+8+10+10=41$。
【答案】C
【知识点】中位数的定义，众数的定义，有理数加法
【点评】本题核心考查对中位数、众数概念的准确理解，解题关键是结合“和最大”的要求，在“唯一众数”的限制下推导前两个数的最大可能取值，易错点是忽略众数的唯一性要求，误将前两个数取为7和7或7和8。
【难度系数】0.7
8. 如图,某轮滑队所有队员的年龄(单位:岁)只有12、13、14、15、16五种情况,其中14岁的人数数据丢失,若队员年龄的唯一的众数与中位数相等,则这个轮滑队队员总人数最少是 (
A.9人
B.10人
C.11人
D.12人
D
)A.9人
B.10人
C.11人
D.12人
答案
8.D
解析
【分析】
解题时先明确中位数、众数的定义，设14岁队员人数为x，先梳理已知各年龄的人数：12岁1人，13岁3人，15岁、16岁各2人。首先排除众数为15、16的可能：二者现有仅2人，要成为唯一众数需要人数超过3，此时中位数不可能等于15或16，直接排除。再分析众数为13的情况：若13是唯一众数，则x＜3，此时总人数不超过10，13岁及以下共4人，中位数必然≥14，与众数13矛盾，也排除。因此唯一可能的众数是14，要保证14是唯一众数则x＞3，x最小取4，再验证此时中位数是否等于14，即可求出最少总人数。
【解析】
解：设14岁的队员有x人（x为非负整数），队员总人数为$N=1+3+x+2+2=8+x$。
1. 排除众数为15、16的情况：15、16岁现有仅2人，若要成为唯一众数需人数＞3，此时总人数中14岁及以下人数至少为$1+3+x≥4$，中位数必然≤14，不可能等于15或16，不符合要求。
2. 排除众数为13的情况：若13是唯一众数，则需$x＜3$，此时$N=8+x≤10$，13岁及以下共4人，中位数对应位置的数≥第5个，即≥14，与众数13矛盾，不符合要求。
3. 仅可能众数为14：要保证14是唯一众数，则$x＞3$，x最小取4，此时总人数$N=8+4=12$。将所有年龄从小到大排列，第6、7个数据均为14岁，中位数为$\frac{14+14}{2}=14$，与众数相等，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
中位数，众数，条形统计图
【点评】
本题是中位数和众数的综合应用题，需要结合分类讨论思想排除不符合的情况，再根据唯一众数的要求确定未知数的最小取值，最后验证中位数是否匹配即可求解，解题核心是熟练掌握中位数和众数的定义。
【难度系数】
0.6
解题时先明确中位数、众数的定义，设14岁队员人数为x，先梳理已知各年龄的人数：12岁1人，13岁3人，15岁、16岁各2人。首先排除众数为15、16的可能：二者现有仅2人，要成为唯一众数需要人数超过3，此时中位数不可能等于15或16，直接排除。再分析众数为13的情况：若13是唯一众数，则x＜3，此时总人数不超过10，13岁及以下共4人，中位数必然≥14，与众数13矛盾，也排除。因此唯一可能的众数是14，要保证14是唯一众数则x＞3，x最小取4，再验证此时中位数是否等于14，即可求出最少总人数。
【解析】
解：设14岁的队员有x人（x为非负整数），队员总人数为$N=1+3+x+2+2=8+x$。
1. 排除众数为15、16的情况：15、16岁现有仅2人，若要成为唯一众数需人数＞3，此时总人数中14岁及以下人数至少为$1+3+x≥4$，中位数必然≤14，不可能等于15或16，不符合要求。
2. 排除众数为13的情况：若13是唯一众数，则需$x＜3$，此时$N=8+x≤10$，13岁及以下共4人，中位数对应位置的数≥第5个，即≥14，与众数13矛盾，不符合要求。
3. 仅可能众数为14：要保证14是唯一众数，则$x＞3$，x最小取4，此时总人数$N=8+4=12$。将所有年龄从小到大排列，第6、7个数据均为14岁，中位数为$\frac{14+14}{2}=14$，与众数相等，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
中位数，众数，条形统计图
【点评】
本题是中位数和众数的综合应用题，需要结合分类讨论思想排除不符合的情况，再根据唯一众数的要求确定未知数的最小取值，最后验证中位数是否匹配即可求解，解题核心是熟练掌握中位数和众数的定义。
【难度系数】
0.6
9. 公园里有甲、乙两组游客正在做团体游戏，两组游客的年龄如下(单位:岁)：
甲:13,13,14,15,15,15,15,16,17,17； 乙:23,4,45,5,5,5,6,6,6,45,27.
(1) 甲组游客的平均年龄是
(2) 乙组游客的平均年龄约是
甲:13,13,14,15,15,15,15,16,17,17； 乙:23,4,45,5,5,5,6,6,6,45,27.
(1) 甲组游客的平均年龄是
15
岁,中位数是15
岁,众数是15
岁,其中能较好反映甲组游客年龄特征的是平均数、中位数或众数
；(2) 乙组游客的平均年龄约是
16.1
岁(保留一位小数),中位数是6
岁,众数是5和6
岁,其中能较好反映乙组游客年龄特征的是中位数、众数
.答案
9.(1)15 15 15 平均数、中位数或众数 (2)16.1 6 5和6 中位数、众数
解析
【分析】
解题时先明确三个统计量的定义与计算方法：①平均数等于所有数据的总和除以数据的总个数；②中位数需要先将数据按从小到大（或从大到小）排序，若数据个数为奇数，取排序后中间位置的数，若为偶数，取中间两个数的平均数；③众数是一组数据中出现次数最多的数，可能存在多个。再结合数据的分布特点判断适用的统计量：当数据无极端值时，三个统计量均可反映数据特征；当数据存在极端值时，平均数易受极端值影响，此时中位数、众数更具代表性。
【解析】
(1) 甲组数据共10个：
①平均年龄：$\frac{13+13+14+15+15+15+15+16+17+17}{10}=\frac{150}{10}=15$（岁）；
②数据已从小到大排序，第5、6个数据均为15，故中位数为$\frac{15+15}{2}=15$（岁）；
③15出现的次数最多（4次），故众数为15岁。
甲组数据分布均匀，无极端值，因此平均数、中位数、众数均能较好反映甲组游客年龄特征。
(2) 先将乙组数据从小到大排序：4,5,5,5,6,6,6,23,27,45,45，共11个数据：
①平均年龄：$\frac{4+5+5+5+6+6+6+23+27+45+45}{11}=\frac{177}{11}\approx16.1$（岁）；
②数据个数为奇数，排序后第6个数据为6，故中位数为6岁；
③5和6均出现3次，出现次数最多，故众数为5和6。
乙组存在23、27、45等极端大值，平均数受极端值影响偏大，无法代表大多数游客的年龄，因此中位数、众数能较好反映乙组游客年龄特征。
【答案】
(1)15 15 15 平均数、中位数或众数 (2)16.1 6 5和6 中位数、众数
【知识点】
平均数计算；中位数计算；众数识别
【点评】
本题围绕三个常用统计量设计，既考查基础计算能力，也考查对不同统计量适用场景的理解，解题时需注意先排序再求中位数，同时不要遗漏出现次数相同的多个众数。
【难度系数】
0.7
解题时先明确三个统计量的定义与计算方法：①平均数等于所有数据的总和除以数据的总个数；②中位数需要先将数据按从小到大（或从大到小）排序，若数据个数为奇数，取排序后中间位置的数，若为偶数，取中间两个数的平均数；③众数是一组数据中出现次数最多的数，可能存在多个。再结合数据的分布特点判断适用的统计量：当数据无极端值时，三个统计量均可反映数据特征；当数据存在极端值时，平均数易受极端值影响，此时中位数、众数更具代表性。
【解析】
(1) 甲组数据共10个：
①平均年龄：$\frac{13+13+14+15+15+15+15+16+17+17}{10}=\frac{150}{10}=15$（岁）；
②数据已从小到大排序，第5、6个数据均为15，故中位数为$\frac{15+15}{2}=15$（岁）；
③15出现的次数最多（4次），故众数为15岁。
甲组数据分布均匀，无极端值，因此平均数、中位数、众数均能较好反映甲组游客年龄特征。
(2) 先将乙组数据从小到大排序：4,5,5,5,6,6,6,23,27,45,45，共11个数据：
①平均年龄：$\frac{4+5+5+5+6+6+6+23+27+45+45}{11}=\frac{177}{11}\approx16.1$（岁）；
②数据个数为奇数，排序后第6个数据为6，故中位数为6岁；
③5和6均出现3次，出现次数最多，故众数为5和6。
乙组存在23、27、45等极端大值，平均数受极端值影响偏大，无法代表大多数游客的年龄，因此中位数、众数能较好反映乙组游客年龄特征。
【答案】
(1)15 15 15 平均数、中位数或众数 (2)16.1 6 5和6 中位数、众数
【知识点】
平均数计算；中位数计算；众数识别
【点评】
本题围绕三个常用统计量设计，既考查基础计算能力，也考查对不同统计量适用场景的理解，解题时需注意先排序再求中位数，同时不要遗漏出现次数相同的多个众数。
【难度系数】
0.7
10. 某商场计划为学校挑选一批运动鞋供学生选购,对该校学生所穿运动鞋鞋码进行调查.现随机抽取一部分学生,对他们所穿运动鞋鞋码作为样本数据进行分析,绘出如图所示的不完整的条形统计图和扇形统计图.
(1) 结合统计图完成下列填空,并把条形统计图和扇形统计图补充完整:这个样本中,穿39码运动鞋的人数是
(2) 请您为该商场提出一条挑选这批运动鞋的合理建议.
(1) 结合统计图完成下列填空,并把条形统计图和扇形统计图补充完整:这个样本中,穿39码运动鞋的人数是
5
;鞋码组成的一组数据中,中位数是37
,众数是37
;(2) 请您为该商场提出一条挑选这批运动鞋的合理建议.
答案
10.(1)5 37 37 图略 (2)建议只要合理即可,如可多进37码的运动鞋。
解析
【分析】
解题首先结合两个统计图的公共信息计算样本总人数：已知穿35码的人数为2，对应扇形占比8%，用对应人数除以占比即可得到总人数。再用总人数减去其余鞋码的人数，得到穿39码的人数，同时可计算39码的占比补全统计图。计算中位数时，将所有鞋码数据按从小到大排列，取总人数位置最中间的数值；众数则是出现次数最多的鞋码数值。最后结合统计结果给出合理建议即可。
【解析】
(1) ①计算样本总人数：
由题意得，穿35码的有2人，占样本的8%，因此抽取的总人数为 $2 ÷ 8\% = 25$ 人。
②计算穿39码的人数：
总人数减去其余鞋码人数：$25 - 2 - 4 - 8 - 6 = 5$ 人。
③计算中位数：
将25个鞋码数据按从小到大排列，中位数为第13个数据。累计各鞋码人数：35码共2人，36码累计$2+4=6$人，37码累计$6+8=14$人，因此第13个数据是37，即中位数为37。
④计算众数：
37码的人数最多（8人），因此众数是37。
（补全统计图：条形图中39码对应人数5，扇形图中39码占比为$5÷25×100\%=20\%$）
(2) 可根据各鞋码的人数占比进货，销量高的鞋码可适当多进货。
【答案】
(1) 5；37；37，图略
(2) 示例：可多进37码的运动鞋（合理即可）
【知识点】
条形统计图；扇形统计图；中位数与众数
【点评】
本题结合两种统计图表考查统计知识的实际应用，解题核心是通过两类图表的对应信息求出样本总人数，再依次计算相关统计量，能很好地考查学生读取统计信息、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
解题首先结合两个统计图的公共信息计算样本总人数：已知穿35码的人数为2，对应扇形占比8%，用对应人数除以占比即可得到总人数。再用总人数减去其余鞋码的人数，得到穿39码的人数，同时可计算39码的占比补全统计图。计算中位数时，将所有鞋码数据按从小到大排列，取总人数位置最中间的数值；众数则是出现次数最多的鞋码数值。最后结合统计结果给出合理建议即可。
【解析】
(1) ①计算样本总人数：
由题意得，穿35码的有2人，占样本的8%，因此抽取的总人数为 $2 ÷ 8\% = 25$ 人。
②计算穿39码的人数：
总人数减去其余鞋码人数：$25 - 2 - 4 - 8 - 6 = 5$ 人。
③计算中位数：
将25个鞋码数据按从小到大排列，中位数为第13个数据。累计各鞋码人数：35码共2人，36码累计$2+4=6$人，37码累计$6+8=14$人，因此第13个数据是37，即中位数为37。
④计算众数：
37码的人数最多（8人），因此众数是37。
（补全统计图：条形图中39码对应人数5，扇形图中39码占比为$5÷25×100\%=20\%$）
(2) 可根据各鞋码的人数占比进货，销量高的鞋码可适当多进货。
【答案】
(1) 5；37；37，图略
(2) 示例：可多进37码的运动鞋（合理即可）
【知识点】
条形统计图；扇形统计图；中位数与众数
【点评】
本题结合两种统计图表考查统计知识的实际应用，解题核心是通过两类图表的对应信息求出样本总人数，再依次计算相关统计量，能很好地考查学生读取统计信息、解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
11. 为振兴乡村经济，在农产品网络销售中实行目标管理，根据目标完成的情况对销售员给予适当的奖励，某村委会统计了15名销售员在某月的销售额(单位：万元)，数据如下：
10,4,7,5,4,10,5,4,4,18,8,3,5,10,8.
(1) 直接写出月销售额的众数和中位数；
(2) 求月销售额的平均数；
(3) 根据(1)(2)中的结果，确定销售目标给予奖励，你认为月销售额定为多少合适？并说明理由(写出一条即可)。
10,4,7,5,4,10,5,4,4,18,8,3,5,10,8.
(1) 直接写出月销售额的众数和中位数；
(2) 求月销售额的平均数；
(3) 根据(1)(2)中的结果，确定销售目标给予奖励，你认为月销售额定为多少合适？并说明理由(写出一条即可)。
答案
11.解:(1)众数为4万元,中位数为5万元；
(2) 平均数为$\frac{3 × 1 + 4 × 4 + 5 × 3 + 7 × 1 + 8 × 2 + 10 × 3 + 18 × 1}{15} = 7$(万元)；
(3) 答案不唯一,如应确定销售目标为7万元,激励大部分的销售人员达到平均销售额。
(2) 平均数为$\frac{3 × 1 + 4 × 4 + 5 × 3 + 7 × 1 + 8 × 2 + 10 × 3 + 18 × 1}{15} = 7$(万元)；
(3) 答案不唯一,如应确定销售目标为7万元,激励大部分的销售人员达到平均销售额。
解析
【分析】
(1) 求众数需先统计每个销售额出现的次数，出现次数最多的数值即为众数；求中位数要先将15个销售额从小到大排序，因数据总个数为奇数，排在最中间位置（第8位）的数值就是中位数。
(2) 求平均数可利用加权平均数公式，将每个销售额乘以它对应的出现次数，求和后除以总人数15即可得到结果。
(3) 可结合众数、中位数、平均数的实际意义确定销售目标，理由合理即可：若选平均数作为目标，可激励员工向平均水平看齐；若选中位数或众数作为目标，可让多数员工能达到目标，调动工作积极性。
【解析】
(1) 先将给定数据从小到大排列：3，4，4，4，4，5，5，5，7，8，8，10，10，10，18。
统计各销售额出现次数：3出现1次，4出现4次，5出现3次，7出现1次，8出现2次，10出现3次，18出现1次。
出现次数最多的是4，因此众数为4万元；
总共有15个数据，中位数是排序后第$(15+1)÷2=8$个数据，第8个数据是5，因此中位数为5万元。
(2) 根据加权平均数公式计算：
$\mathrm{平均数}=\frac{3×1 + 4×4 + 5×3 + 7×1 + 8×2 + 10×3 + 18×1}{15}$
$=\frac{3+16+15+7+16+30+18}{15}$
$=\frac{105}{15}=7$（万元）
(3) 示例：月销售额定为7万元合适，理由：可以激励大部分的销售人员努力达到平均销售额。（也可选择定为5万元，理由：超过一半的销售员月销售额能达到5万元，能调动大多数销售员的积极性，合理即可）
【答案】
(1) 众数为4万元，中位数为5万元；
(2) 月销售额的平均数为7万元；
(3) 示例：月销售额定为7万元合适，可激励大部分销售人员达到平均销售额（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
众数；中位数；平均数
【点评】
本题考查统计中三类常见统计量的计算与实际应用，解题核心是准确掌握三类统计量的定义、计算方法，以及各自代表的统计意义，结合实际场景选择合适的参考值即可。
【难度系数】
0.8
(1) 求众数需先统计每个销售额出现的次数，出现次数最多的数值即为众数；求中位数要先将15个销售额从小到大排序，因数据总个数为奇数，排在最中间位置（第8位）的数值就是中位数。
(2) 求平均数可利用加权平均数公式，将每个销售额乘以它对应的出现次数，求和后除以总人数15即可得到结果。
(3) 可结合众数、中位数、平均数的实际意义确定销售目标，理由合理即可：若选平均数作为目标，可激励员工向平均水平看齐；若选中位数或众数作为目标，可让多数员工能达到目标，调动工作积极性。
【解析】
(1) 先将给定数据从小到大排列：3，4，4，4，4，5，5，5，7，8，8，10，10，10，18。
统计各销售额出现次数：3出现1次，4出现4次，5出现3次，7出现1次，8出现2次，10出现3次，18出现1次。
出现次数最多的是4，因此众数为4万元；
总共有15个数据，中位数是排序后第$(15+1)÷2=8$个数据，第8个数据是5，因此中位数为5万元。
(2) 根据加权平均数公式计算：
$\mathrm{平均数}=\frac{3×1 + 4×4 + 5×3 + 7×1 + 8×2 + 10×3 + 18×1}{15}$
$=\frac{3+16+15+7+16+30+18}{15}$
$=\frac{105}{15}=7$（万元）
(3) 示例：月销售额定为7万元合适，理由：可以激励大部分的销售人员努力达到平均销售额。（也可选择定为5万元，理由：超过一半的销售员月销售额能达到5万元，能调动大多数销售员的积极性，合理即可）
【答案】
(1) 众数为4万元，中位数为5万元；
(2) 月销售额的平均数为7万元；
(3) 示例：月销售额定为7万元合适，可激励大部分销售人员达到平均销售额（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
众数；中位数；平均数
【点评】
本题考查统计中三类常见统计量的计算与实际应用，解题核心是准确掌握三类统计量的定义、计算方法，以及各自代表的统计意义，结合实际场景选择合适的参考值即可。
【难度系数】
0.8
