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【初步探究】
如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB = AC，AD = AE，且∠BAC = ∠DAE，请找出图中的一对全等三角形，并证明。
【深入探究】
如图2，已知△ABC，以AB，AC为边分别向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，BE，CD交于点Q，求∠DQB的大小。
拍批+错题本
如图1，△ABC与△ADE都是等腰三角形，AB = AC，AD = AE，且∠BAC = ∠DAE，请找出图中的一对全等三角形，并证明。
【深入探究】
如图2，已知△ABC，以AB，AC为边分别向外作等边三角形ABD和等边三角形ACE，BE，CD交于点Q，求∠DQB的大小。
拍批+错题本
答案
【初步探究】
△BAD≌△CAE. 证明如下：
∵ ∠BAC = ∠DAE, ∠BAC + ∠CAD = ∠BAD, ∠DAE + ∠CAD = ∠CAE,
∴ ∠BAD = ∠CAE.
在△BAD 和△CAE 中,
$\begin{cases} AB = AC, \\ ∠BAD = ∠CAE, \\ AD = AE, \end{cases}$
∴ △BAD≌△CAE(SAS).
【深入探究】
∵ △ABD,△ACE 都是等边三角形,
∴ ∠BAD = ∠CAE = 60°,AB = AD,AE = AC,
∴ ∠BAD + ∠BAC = ∠CAE + ∠BAC,
∴ ∠DAC = ∠BAE.
在△ABE 和△ADC 中,
$\begin{cases} AB = AD, \\ ∠BAE = ∠DAC, \\ AE = AC, \end{cases}$
∴ △ABE≌△ADC(SAS),
∴ ∠ADC = ∠ABE.
∵ ∠BQD + ∠ABE = ∠BAD + ∠ADC,
∴ ∠DQB = ∠DAB = 60°.
△BAD≌△CAE. 证明如下：
∵ ∠BAC = ∠DAE, ∠BAC + ∠CAD = ∠BAD, ∠DAE + ∠CAD = ∠CAE,
∴ ∠BAD = ∠CAE.
在△BAD 和△CAE 中,
$\begin{cases} AB = AC, \\ ∠BAD = ∠CAE, \\ AD = AE, \end{cases}$
∴ △BAD≌△CAE(SAS).
【深入探究】
∵ △ABD,△ACE 都是等边三角形,
∴ ∠BAD = ∠CAE = 60°,AB = AD,AE = AC,
∴ ∠BAD + ∠BAC = ∠CAE + ∠BAC,
∴ ∠DAC = ∠BAE.
在△ABE 和△ADC 中,
$\begin{cases} AB = AD, \\ ∠BAE = ∠DAC, \\ AE = AC, \end{cases}$
∴ △ABE≌△ADC(SAS),
∴ ∠ADC = ∠ABE.
∵ ∠BQD + ∠ABE = ∠BAD + ∠ADC,
∴ ∠DQB = ∠DAB = 60°.
解析
【分析】
初步探究：本题属于手拉手全等基础题型，已知两个等腰三角形顶角相等，首先观察对应边：AB=AC，AD=AE，只需证明两组边的夹角相等即可证明全等。利用已知∠BAC=∠DAE，两个角同时加上公共角∠CAD，即可推出∠BAD=∠CAE，再用SAS判定定理即可得到全等三角形。
深入探究：同样是手拉手全等模型，首先根据等边三角形的性质可得AB=AD、AC=AE，且∠BAD=∠CAE=60°，两个角同时加∠BAC可得∠DAC=∠BAE，用SAS证明△ABE≌△ADC，得到对应角∠ADC=∠ABE，再利用三角形外角的等量代换，即可求出∠DQB的度数。
【解析】
【初步探究】
△BAD≌△CAE，证明如下：
∵ ∠BAC = ∠DAE，∠BAC + ∠CAD = ∠BAD，∠DAE + ∠CAD = ∠CAE，
∴ ∠BAD = ∠CAE。
在△BAD 和△CAE 中，
$\begin{cases} AB = AC, \\ ∠BAD = ∠CAE, \\ AD = AE, \end{cases}$
∴ △BAD≌△CAE（SAS）。
【深入探究】
∵ △ABD，△ACE 都是等边三角形，
∴ ∠BAD = ∠CAE = 60°，AB = AD，AE = AC，
∴ ∠BAD + ∠BAC = ∠CAE + ∠BAC，
∴ ∠DAC = ∠BAE。
在△ABE 和△ADC 中，
$\begin{cases} AB = AD, \\ ∠BAE = ∠DAC, \\ AE = AC, \end{cases}$
∴ △ABE≌△ADC（SAS），
∴ ∠ADC = ∠ABE。
∵ ∠BQD + ∠ABE = ∠BAD + ∠ADC，
∴ ∠DQB = ∠DAB = 60°。
【答案】
初步探究：△BAD≌△CAE，证明见上述过程；深入探究：∠DQB=60°
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 全等三角形的性质
3. 等边三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形手拉手模型的典型习题，解题关键是通过角的和差关系得到相等的夹角，结合等腰、等边三角形的边相等条件证明全等，再利用全等性质推导角度关系，熟练掌握手拉手模型的结构特征可以快速找到解题思路。
【难度系数】
0.7
初步探究：本题属于手拉手全等基础题型，已知两个等腰三角形顶角相等，首先观察对应边：AB=AC，AD=AE，只需证明两组边的夹角相等即可证明全等。利用已知∠BAC=∠DAE，两个角同时加上公共角∠CAD，即可推出∠BAD=∠CAE，再用SAS判定定理即可得到全等三角形。
深入探究：同样是手拉手全等模型，首先根据等边三角形的性质可得AB=AD、AC=AE，且∠BAD=∠CAE=60°，两个角同时加∠BAC可得∠DAC=∠BAE，用SAS证明△ABE≌△ADC，得到对应角∠ADC=∠ABE，再利用三角形外角的等量代换，即可求出∠DQB的度数。
【解析】
【初步探究】
△BAD≌△CAE，证明如下：
∵ ∠BAC = ∠DAE，∠BAC + ∠CAD = ∠BAD，∠DAE + ∠CAD = ∠CAE，
∴ ∠BAD = ∠CAE。
在△BAD 和△CAE 中，
$\begin{cases} AB = AC, \\ ∠BAD = ∠CAE, \\ AD = AE, \end{cases}$
∴ △BAD≌△CAE（SAS）。
【深入探究】
∵ △ABD，△ACE 都是等边三角形，
∴ ∠BAD = ∠CAE = 60°，AB = AD，AE = AC，
∴ ∠BAD + ∠BAC = ∠CAE + ∠BAC，
∴ ∠DAC = ∠BAE。
在△ABE 和△ADC 中，
$\begin{cases} AB = AD, \\ ∠BAE = ∠DAC, \\ AE = AC, \end{cases}$
∴ △ABE≌△ADC（SAS），
∴ ∠ADC = ∠ABE。
∵ ∠BQD + ∠ABE = ∠BAD + ∠ADC，
∴ ∠DQB = ∠DAB = 60°。
【答案】
初步探究：△BAD≌△CAE，证明见上述过程；深入探究：∠DQB=60°
【知识点】
1. 全等三角形SAS判定
2. 全等三角形的性质
3. 等边三角形的性质
【点评】
本题是全等三角形手拉手模型的典型习题，解题关键是通过角的和差关系得到相等的夹角，结合等腰、等边三角形的边相等条件证明全等，再利用全等性质推导角度关系，熟练掌握手拉手模型的结构特征可以快速找到解题思路。
【难度系数】
0.7
【拓展延伸】
如图3,在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中,AB = AC,AE = AD,∠BAC = ∠DAE = 90°,连接BD,CE,交于点P,请判断BD和CE的关系,并说明理由.
如图3,在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中,AB = AC,AE = AD,∠BAC = ∠DAE = 90°,连接BD,CE,交于点P,请判断BD和CE的关系,并说明理由.
答案
BD = CE,BD ⊥ CE. 理由如下：
∵ ∠BAC = ∠DAE = 90°, ∠BAC + ∠BAE = ∠CAE, ∠DAE + ∠BAE = ∠BAD,
∴ ∠CAE = ∠BAD.
在△ABD 和△ACE 中,$\begin{cases} AB = AC, \\ ∠BAD = ∠CAE, \\ AD = AE, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ACE(SAS),
∴ ∠ABD = ∠ACE,BD = CE.
∵ ∠BPC + ∠ABD = ∠BAC + ∠ACE,
∴ ∠BPC = ∠BAC = 90°,
∴ BD ⊥ CE.
∵ ∠BAC = ∠DAE = 90°, ∠BAC + ∠BAE = ∠CAE, ∠DAE + ∠BAE = ∠BAD,
∴ ∠CAE = ∠BAD.
在△ABD 和△ACE 中,$\begin{cases} AB = AC, \\ ∠BAD = ∠CAE, \\ AD = AE, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ACE(SAS),
∴ ∠ABD = ∠ACE,BD = CE.
∵ ∠BPC + ∠ABD = ∠BAC + ∠ACE,
∴ ∠BPC = ∠BAC = 90°,
∴ BD ⊥ CE.
解析
【分析】
判断两条线段的关系需同时考虑数量关系和位置关系：①先观察图形特征，本题是共顶点的两个等腰直角三角形，属于“手拉手”全等模型，首先通过角的和差推导得到两个三角形的夹角相等，结合已知的等边条件，用SAS证明△ABD和△ACE全等，即可得到线段的数量关系；②再利用全等三角形对应角相等的性质，结合三角形角的等量代换，推导两条线段的夹角为90°，得到位置关系。
【解析】
BD = CE，BD ⊥ CE，理由如下：
∵ ∠BAC = ∠DAE = 90°，∠BAC + ∠BAE = ∠CAE，∠DAE + ∠BAE = ∠BAD，
∴ ∠CAE = ∠BAD。
在△ABD 和△ACE 中，
$\begin{cases} AB = AC, \\ ∠BAD = ∠CAE, \\ AD = AE, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ACE(SAS)，
∴ ∠ABD = ∠ACE，BD = CE。
∵ ∠BPC + ∠ABD = ∠BAC + ∠ACE，
∴ ∠BPC = ∠BAC = 90°，
∴ BD ⊥ CE。
【答案】
BD = CE，BD ⊥ CE
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是典型的共顶点旋转（手拉手）全等模型题目，解题的关键是先通过角的和差得到相等的夹角，证明三角形全等，再利用全等的性质推导线段的数量和位置关系，熟练掌握该模型的特征可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
判断两条线段的关系需同时考虑数量关系和位置关系：①先观察图形特征，本题是共顶点的两个等腰直角三角形，属于“手拉手”全等模型，首先通过角的和差推导得到两个三角形的夹角相等，结合已知的等边条件，用SAS证明△ABD和△ACE全等，即可得到线段的数量关系；②再利用全等三角形对应角相等的性质，结合三角形角的等量代换，推导两条线段的夹角为90°，得到位置关系。
【解析】
BD = CE，BD ⊥ CE，理由如下：
∵ ∠BAC = ∠DAE = 90°，∠BAC + ∠BAE = ∠CAE，∠DAE + ∠BAE = ∠BAD，
∴ ∠CAE = ∠BAD。
在△ABD 和△ACE 中，
$\begin{cases} AB = AC, \\ ∠BAD = ∠CAE, \\ AD = AE, \end{cases}$
∴ △ABD≌△ACE(SAS)，
∴ ∠ABD = ∠ACE，BD = CE。
∵ ∠BPC + ∠ABD = ∠BAC + ∠ACE，
∴ ∠BPC = ∠BAC = 90°，
∴ BD ⊥ CE。
【答案】
BD = CE，BD ⊥ CE
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等腰直角三角形的性质
【点评】
本题是典型的共顶点旋转（手拉手）全等模型题目，解题的关键是先通过角的和差得到相等的夹角，证明三角形全等，再利用全等的性质推导线段的数量和位置关系，熟练掌握该模型的特征可大幅提升解题效率。
【难度系数】
0.7
【迁移应用】
如图4,在四边形ABCD中,∠BAD = 90°,AB = AD,BC = $\frac{3}{4}$CD,连接AC,BD,∠ACD = 45°,点A到直线CD的距离为7,求△BCD的面积.
如图4,在四边形ABCD中,∠BAD = 90°,AB = AD,BC = $\frac{3}{4}$CD,连接AC,BD,∠ACD = 45°,点A到直线CD的距离为7,求△BCD的面积.
答案
如图,过点A 作AM ⊥ AC,交 CD 的延长线于点 M,过点 A 作AN ⊥ CD 于点 N.
∵ ∠ACD = 45°,
∴ ∠ACD = ∠M = 45°,
∴ AC = AM.
∵ ∠BAD = 90°,AB = AD,
∴ ∠BAC = ∠DAM = 90° - ∠DAC.
在 △ABC 和 △ADM 中,$\begin{cases} AC = AM, \\ ∠BAC = ∠DAM, \\ AB = AD, \end{cases}$
∴ △ABC≌△ADM(SAS),
∴ BC = DM,∠ACB = ∠M = 45°,
∴ ∠BCD = ∠ACB + ∠ACD = 90°.
∵ 点 A 到直线 CD 的距离为 7,
∴ AN = 7.
∵ AC = AM,
∴ CM = 2AN = 14.
∵ BC = $\frac{3}{4}$CD,
∴ CM = CD + DM = CD + BC = CD + $\frac{3}{4}$CD = 14,
∴ CD = 8,
∴ BC = 6,
∴ $S_{△ BCD} = \frac{1}{2}BC · CD = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24.$
解析
【分析】
首先观察题干条件，存在AB=AD、∠BAD=90°的等线段共端点特征，可考虑构造手拉手全等模型转化线段。已知∠ACD=45°，过点A作AM⊥AC交CD延长线于M，可得到等腰直角△ACM，推出AC=AM、∠M=45°；再推导角的关系得到∠BAC=∠DAM，证明△ABC≌△ADM，将BC转化为DM，同时得到∠ACB=45°，进而推出∠BCD=90°。再结合点A到CD的距离为7，利用等腰直角三角形三线合一的性质得到CM=14，结合BC=$\frac{3}{4}$CD的比例关系求出BC、CD的长度，最后用直角三角形面积公式计算△BCD的面积即可。
【解析】
过点A作AM ⊥ AC，交CD的延长线于点M，过点A作AN ⊥ CD于点N。
∵ ∠ACD = 45°，∠CAM=90°，
∴ ∠M = 90°-∠ACD=45°，即∠ACD = ∠M = 45°，
∴ AC = AM。
∵ ∠BAD = 90°，∠CAM=90°，
∴ ∠BAC = 90° - ∠DAC，∠DAM = 90° - ∠DAC，即∠BAC=∠DAM。
在 △ABC 和 △ADM 中，
$\begin{cases} AC = AM, \\ ∠BAC = ∠DAM, \\ AB = AD, \end{cases}$
∴ △ABC≌△ADM(SAS)，
∴ BC = DM，∠ACB = ∠M = 45°，
∴ ∠BCD = ∠ACB + ∠ACD = 45°+45°=90°。
∵ 点A到直线CD的距离为7，AN⊥CD，
∴ AN = 7。
∵ AC=AM，△ACM为等腰直角三角形，AN⊥CM，
∴ N为CM中点，CM = 2AN = 2×7=14。
∵ BC = $\frac{3}{4}$CD，且CM = CD + DM = CD + BC，
∴ CD + $\frac{3}{4}$CD = 14，解得CD = 8，
∴ BC = $\frac{3}{4}$×8=6，
∴ $S_{△ BCD} = \frac{1}{2}BC · CD = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$。
【答案】
24
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题核心是手拉手全等模型的构造，通过作辅助线将已知的等线段、角度条件结合，实现线段和角度的转化，将分散的条件集中到同一直角三角形中求解，解题关键是正确构造全等的辅助线，熟练掌握等腰直角三角形的性质。
【难度系数】
0.5
首先观察题干条件，存在AB=AD、∠BAD=90°的等线段共端点特征，可考虑构造手拉手全等模型转化线段。已知∠ACD=45°，过点A作AM⊥AC交CD延长线于M，可得到等腰直角△ACM，推出AC=AM、∠M=45°；再推导角的关系得到∠BAC=∠DAM，证明△ABC≌△ADM，将BC转化为DM，同时得到∠ACB=45°，进而推出∠BCD=90°。再结合点A到CD的距离为7，利用等腰直角三角形三线合一的性质得到CM=14，结合BC=$\frac{3}{4}$CD的比例关系求出BC、CD的长度，最后用直角三角形面积公式计算△BCD的面积即可。
【解析】
过点A作AM ⊥ AC，交CD的延长线于点M，过点A作AN ⊥ CD于点N。
∵ ∠ACD = 45°，∠CAM=90°，
∴ ∠M = 90°-∠ACD=45°，即∠ACD = ∠M = 45°，
∴ AC = AM。
∵ ∠BAD = 90°，∠CAM=90°，
∴ ∠BAC = 90° - ∠DAC，∠DAM = 90° - ∠DAC，即∠BAC=∠DAM。
在 △ABC 和 △ADM 中，
$\begin{cases} AC = AM, \\ ∠BAC = ∠DAM, \\ AB = AD, \end{cases}$
∴ △ABC≌△ADM(SAS)，
∴ BC = DM，∠ACB = ∠M = 45°，
∴ ∠BCD = ∠ACB + ∠ACD = 45°+45°=90°。
∵ 点A到直线CD的距离为7，AN⊥CD，
∴ AN = 7。
∵ AC=AM，△ACM为等腰直角三角形，AN⊥CM，
∴ N为CM中点，CM = 2AN = 2×7=14。
∵ BC = $\frac{3}{4}$CD，且CM = CD + DM = CD + BC，
∴ CD + $\frac{3}{4}$CD = 14，解得CD = 8，
∴ BC = $\frac{3}{4}$×8=6，
∴ $S_{△ BCD} = \frac{1}{2}BC · CD = \frac{1}{2} × 6 × 8 = 24$。
【答案】
24
【知识点】
全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质；三角形面积计算
【点评】
本题核心是手拉手全等模型的构造，通过作辅助线将已知的等线段、角度条件结合，实现线段和角度的转化，将分散的条件集中到同一直角三角形中求解，解题关键是正确构造全等的辅助线，熟练掌握等腰直角三角形的性质。
【难度系数】
0.5
