1. 「情境」数学文化
发展史
「2026江苏淮安涟水期中」墨子在《墨经》中对某个几何图形的描述是“一中同长”，则这个几何图形是（）

A.圆
B.正方形
C.梯形
D.三角形

1.A “一中同长”表示圆心到圆上各点的距离都相等，即半径都相等，所以这个几何图形是圆.故选A.

【分析】
解题时首先要拆解“一中同长”的字面含义：“一中”即一个中心点，“同长”即从该中心点到图形上所有点的距离都相等。接下来结合各选项几何图形的基本特征逐一判断，找到符合该描述的图形即可。
【解析】
“一中同长”的含义是：存在唯一的中心点，且该中心点到图形上所有点的距离都相等。
对各选项逐一分析：
A. 圆的圆心是唯一的中心点，圆心到圆上任意一点的距离均为半径，所有半径长度相等，符合“一中同长”的描述；
B. 正方形的中心到顶点的距离与到边的距离不相等，不符合“同长”要求；
C. 梯形不存在满足“到图形上所有点距离相等”的中心点，不符合要求；
D. 三角形不存在满足“到图形上所有点距离相等”的中心点，不符合要求。
综上，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
1. 圆的定义
2. 常见几何图形的特征
【点评】
本题结合中国传统数学文化设置情境，考查基础几何图形的核心性质，既检验了学生对课本基础知识的掌握程度，也能让学生感受我国古代的数学成就，引导学生关注传统文化中的数学智慧。
【难度系数】
0.9

2.小明没有圆规,用如图所示的方法成功画出了圆,他画圆时 ()

A.保持圆心位置不变
B.保持圆的半径不变
C.保持圆心位置和圆的半径不变
D.圆心的位置可以改变

2.C 小明画圆时的窍门是保持圆心位置和圆的半径不变.故选C.

【分析】
要解决这道题，首先回忆圆的核心定义：圆是平面内到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的点的集合。要画出一个确定的圆，必须同时确定圆心的位置和半径的长度，二者缺一不可。观察题图的画圆方式，带孔尺子一端的黑点是固定的，作为定点即圆心，笔尖位置到黑点的距离是固定的，作为定长即半径，旋转过程中只有同时保持这两个量不变，才能画出标准的圆，结合选项逐一判断即可。
【解析】
根据圆的定义可知：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中定点叫做圆心，定长叫做半径。要画出确定的圆，需要同时固定圆心的位置和半径的长度。
观察本题的画圆方法：黑点位置固定作为圆心，黑点到笔尖的距离固定作为圆的半径，旋转过程中二者均保持不变，才能画出符合要求的圆。
对选项逐一分析：
A、仅保持圆心位置不变，若半径变化，无法画出确定的圆，错误；
B、仅保持圆的半径不变，若圆心位置变化，无法画出确定的圆，错误；
C、同时保持圆心位置和圆的半径不变，符合画圆的要求，正确；
D、若圆心位置可以改变，无法画出确定的圆，错误。
【答案】
C
【知识点】
圆的定义；圆的确定条件
【点评】
本题结合生活中的实际画圆场景考查圆的基础概念，将抽象的数学知识和实际应用结合，只要熟练掌握圆的构成要素即可快速解题。
【难度系数】
0.9

3.「2026江苏镇江丹徒月考」如图，$\odot O$的半径为4 cm，$∠ AOB=60°$,则AB的长为 cm.

3.答案 4
解析 $\because OA=OB,∠AOB=60°$,
$\therefore △ OAB$ 为等边三角形,$\therefore AB=OA=4\ \mathrm{cm}.$

【分析】
首先回忆圆的基本性质：同一个圆的所有半径长度相等，因此可得OA=OB，即△OAB是等腰三角形；再结合已知条件∠AOB=60°，根据等边三角形的判定定理：有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形，可判断△OAB为等边三角形，等边三角形三边相等，因此AB的长度等于半径的长度，代入半径数值即可得到结果。
【解析】
∵OA、OB均为⊙O的半径，⊙O半径为4cm，
∴OA=OB=4cm，△OAB为等腰三角形，
又
∵∠AOB=60°，
∴△OAB为等边三角形，
∴AB=OA=4cm。
【答案】
4
【知识点】
圆的半径性质，等边三角形判定
【点评】
本题属于基础题，主要结合圆的基础性质和特殊三角形的判定来求解线段长度，解题的关键是先明确同圆半径相等，再判断三角形的形状，整体难度较低，是圆相关基础知识点的典型应用。
【难度系数】
0.9

4.「★☆」如图,点M,G,D在半圆O上,四边形OEDF和四边形HMNO均为矩形,EF = b,NH = c,则b与c之间的大小关系是bc.(填“＞”“＜”或“=”)

4.答案 =
解析 如图,连接 OM,OD,
∵ 四边形 OEDF 和四边形 HMNO 都是矩形,
∴ OD=EF=b,OM=NH=c,
∵ OM=OD,
∴ b=c.

【分析】要比较b和c的大小，即比较线段EF、NH的长度。观察可知两条线段分别是两个矩形的对角线，我们可先利用矩形对角线相等的性质，将两条线段转化为对应矩形的另一条对角线，发现这两条对角线恰好都是半圆O的半径，再结合同圆半径相等的性质，即可推出二者的大小关系。
【解析】
如图，连接OM、OD。
∵ 四边形OEDF是矩形，根据矩形对角线相等的性质，
∴ $OD = EF = b$。
∵ 四边形HMNO是矩形，同理可得，
∴ $OM = NH = c$。
又
∵ OM、OD均为半圆O的半径，同圆的所有半径长度相等，
∴ $OM = OD$，
∴ $b = c$。

【答案】=
【知识点】矩形的性质；圆的基本性质
【点评】本题难度较低，解题的核心是通过作辅助线连接半径，将待比较的线段转化为圆的半径，运用转化思想即可快速求解，是对基础性质应用的典型考查。
【难度系数】
0.85

5.「2025江苏南京迈皋桥初级中学月考，★☆」如图所示，在四边形$ABCD$中，$∠ B = ∠ D = 90°$，求证:$A,B,C,D$四点在同一个圆上.

5.证明 如图,连接 AC,取 AC 的中点 O,连接 OB,OD,
$\because ∠ ABC=∠ ADC=90°$,
$\therefore OB=\frac{1}{2}AC,OD=\frac{1}{2}AC,\therefore OB=OA=OC=OD$,
$\therefore A,B,C,D$ 四点在同一个圆上.

【分析】
要证明四个点在同一个圆上，根据圆的定义，只需证明这四个点到某一定点的距离相等即可。观察图形可知∠B和∠D都是直角，△ABC和△ADC都是以AC为斜边的直角三角形，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，我们可以取AC的中点O，证明A、B、C、D四点到点O的距离相等，即可完成证明。
【解析】
证明：如图，连接AC，取AC的中点O，连接OB，OD。
∵ ∠ABC=∠ADC=90°，
∴ △ABC和△ADC都是直角三角形，AC为两个三角形的公共斜边。
根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半的性质可得：
$OB=\frac{1}{2}AC$，$OD=\frac{1}{2}AC$，
又
∵ O是AC的中点，
∴ $OA=OC=\frac{1}{2}AC$，
∴ $OB=OA=OC=OD$，即A、B、C、D四个点到点O的距离相等，
因此A,B,C,D四点在同一个圆上。
【答案】
证明 如图,连接 AC,取 AC 的中点 O,连接 OB,OD,
$\because ∠ ABC=∠ ADC=90°$,
$\therefore OB=\frac{1}{2}AC,OD=\frac{1}{2}AC,\therefore OB=OA=OC=OD$,
$\therefore A,B,C,D$ 四点在同一个圆上.

【知识点】
直角三角形斜边中线性质；圆的定义；四点共圆判定
【点评】
本题是四点共圆证明的基础题型，解题的核心是结合直角三角形的性质找到四个点公共的等距定点，熟练掌握相关基础性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8

6.「2026江苏苏州立达中学月考，★☆」如图，A,B,C是$\odot O$上的三点，BO平分$∠ ABC$.求证:$BA=BC$.

6.证明 连接 OA,OC,如图,
∵ OA=OB,OB=OC,
∴ ∠ABO=∠BAO,∠CBO=∠BCO,
∵ BO 平分∠ABC,
∴ ∠ABO=∠CBO,
∴ ∠BAO=∠BCO,
又
∵ BO=BO,
∴ △OAB≌△OCB,
∴ AB=BC.

【分析】
要证明BA=BC，可通过证明包含这两条线段的三角形全等求解。已知A、B、C均为⊙O上的点，OA、OB、OC都是圆的半径，长度相等，结合BO平分∠ABC的条件，我们可以连接OA、OC构造△OAB和△OCB，证明两个三角形全等后即可得到对应边相等的结论。
【解析】
证明：连接OA、OC，如图。
∵ OA和OB、OB和OC都是⊙O的半径，
∴ OA=OB，OB=OC，
根据等边对等角可得：∠ABO=∠BAO，∠CBO=∠BCO。
∵ BO平分∠ABC，
∴ ∠ABO=∠CBO，
等量代换得∠BAO=∠BCO。
在△OAB和△OCB中：
$\begin{cases}∠BAO=∠BCO \\∠ABO=∠CBO \\BO=BO\end{cases}$
∴ △OAB≌△OCB（AAS），
∴ BA=BC（全等三角形对应边相等）。
【答案】
证明 连接 OA,OC,如图,
∵ OA=OB,OB=OC,
∴ ∠ABO=∠BAO,∠CBO=∠BCO,
∵ BO 平分∠ABC,
∴ ∠ABO=∠CBO,
∴ ∠BAO=∠BCO,
又
∵ BO=BO,
∴ △OAB≌△OCB,
∴ AB=BC.

【知识点】
圆的基本性质，角平分线的定义，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是基础几何证明题，解题核心是合理构造辅助线，利用圆半径相等的性质结合已知角平分线的条件构造全等三角形，掌握全等三角形的判定方法就能快速解题。
【难度系数】
0.85

7.「★☆」设$AB=2\ \mathrm{cm}$，求作到点$A$和点$B$的距离都等于$1.5\ \mathrm{cm}$的所有点.

7.解析 如图,分别以点 A,B 为圆心,1.5 cm 为半径画$\odot A$ 和$\odot B$,它们的交点 C,D 即为所求.

【分析】
解题时先回忆圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形是圆，定点为圆心，定长为半径。要找同时满足到点A距离为1.5cm、到点B距离为1.5cm的点，可先分别确定满足单个条件的点的集合：①到A距离等于1.5cm的点构成以A为圆心、1.5cm为半径的圆；②到B距离等于1.5cm的点构成以B为圆心、1.5cm为半径的圆。同时满足两个条件的点就是两个圆的公共交点，按这个思路作图即可。
【解析】
1. 根据圆的定义，平面内到点A的距离为1.5cm的所有点的集合是$\odot A$，圆心为A，半径为1.5cm；
2. 同理，平面内到点B的距离为1.5cm的所有点的集合是$\odot B$，圆心为B，半径为1.5cm；
3. 同时满足到A、B的距离都等于1.5cm的点是两个圆的公共点，即两圆的交点。
因此分别以点A、B为圆心，1.5cm为半径作$\odot A$和$\odot B$，两圆的交点就是所求的点。
【答案】
如图,分别以点 A,B 为圆心,1.5 cm 为半径画$\odot A$ 和$\odot B$,它们的交点 C,D 即为所求.

【知识点】
圆的定义，点的轨迹
【点评】
本题考查圆的定义的基础应用，解题核心是将“到定点距离等于定长”的条件转化为对应的圆轨迹，再通过找轨迹的公共点得到所求点，掌握圆的定义即可顺利解答。
【难度系数】
0.9