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21 如图，AB是$\odot O$的直径，点D在AB的延长线上，C、E是$\odot O$上的两点，$CE=CB$，$∠ BCD=∠ CAE$，延长AE交BC的延长线于点F。
(1) 求证：CD是$\odot O$的切线。
(2) 求证：$CE=CF$。
(1) 求证：CD是$\odot O$的切线。
(2) 求证：$CE=CF$。
答案
（1）连接 OC。因为 AB 是 $\odot O$ 的直径,所以 $∠ACB=90°$,所以$∠CAD+∠ABC=90°$。因为 $CE=CB$,所以 $\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{CB}$,所以 $∠CAE=∠CAB$。因为 $∠BCD=∠CAE$,所以 $∠CAB=∠BCD$。因为 $OB=OC$,所以 $∠OBC=∠OCB$,所以 $∠OCB+∠BCD=90°$,所以 $∠OCD=90°$,所以 CD 是 $\odot O$ 的切线。
(2) 因为 $∠BAC=∠CAE$, $∠ACB=∠ACF=90°$, $AC=AC$,所以 $△ ABC ≌ △ AFC$,所以 $CB=CF$。又因为 $CB=CE$,所以 $CE=CF$。
(2) 因为 $∠BAC=∠CAE$, $∠ACB=∠ACF=90°$, $AC=AC$,所以 $△ ABC ≌ △ AFC$,所以 $CB=CF$。又因为 $CB=CE$,所以 $CE=CF$。
解析
【分析】
(1) 要证明CD是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明CD垂直于过切点C的半径，因此先连接OC，再结合直径所对圆周角为直角、等弦对等弧、同圆半径相等的性质，通过角度等量代换推导$∠OCD=90°$即可完成证明。
(2) 要证明$CE=CF$，已知$CE=CB$，因此只需证明$CB=CF$。观察可得$△ ABC$和$△ AFC$有公共边AC，AC平分$∠BAF$，且两个三角形都含直角，通过证明两三角形全等得到$CB=CF$，再等量代换即可得证。
【解析】
(1) 连接OC。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ACB=90°$，
∴ $∠CAD+∠ABC=90°$。
∵ $CE=CB$，
∴ $\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{CB}$，
∴ $∠CAE=∠CAB$。
∵ $∠BCD=∠CAE$，
∴ $∠CAB=∠BCD$。
∵ $OB=OC$，
∴ $∠OBC=∠OCB$，
∴ $∠OCB+∠BCD=∠OBC+∠CAB=90°$，即$∠OCD=90°$，
∴ $OC⊥CD$，
又
∵ OC是$\odot O$的半径，
∴ CD是$\odot O$的切线。
(2) 由(1)可知$∠BAC=∠CAE$，
∵ $∠ACB=90°$，BC延长至F，
∴ $∠ACF=∠ACB=90°$。
在$△ ABC$和$△ AFC$中：
$\{\begin{array}{l}∠BAC=∠FAC \\AC=AC \\∠ACB=∠ACF\end{array} $
∴ $△ ABC ≌ △ AFC$（ASA），
∴ $CB=CF$。
又
∵ $CB=CE$，
∴ $CE=CF$。
【答案】
(1) CD是$\odot O$的切线；
(2) $CE=CF$。
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题核心是合理构造辅助线，灵活运用圆的相关性质和全等三角形的判定完成角度、线段的等量转化，是巩固圆基础知识点的典型习题。
【难度系数】
0.7
(1) 要证明CD是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明CD垂直于过切点C的半径，因此先连接OC，再结合直径所对圆周角为直角、等弦对等弧、同圆半径相等的性质，通过角度等量代换推导$∠OCD=90°$即可完成证明。
(2) 要证明$CE=CF$，已知$CE=CB$，因此只需证明$CB=CF$。观察可得$△ ABC$和$△ AFC$有公共边AC，AC平分$∠BAF$，且两个三角形都含直角，通过证明两三角形全等得到$CB=CF$，再等量代换即可得证。
【解析】
(1) 连接OC。
∵ AB是$\odot O$的直径，
∴ $∠ACB=90°$，
∴ $∠CAD+∠ABC=90°$。
∵ $CE=CB$，
∴ $\overset{\frown}{CE}=\overset{\frown}{CB}$，
∴ $∠CAE=∠CAB$。
∵ $∠BCD=∠CAE$，
∴ $∠CAB=∠BCD$。
∵ $OB=OC$，
∴ $∠OBC=∠OCB$，
∴ $∠OCB+∠BCD=∠OBC+∠CAB=90°$，即$∠OCD=90°$，
∴ $OC⊥CD$，
又
∵ OC是$\odot O$的半径，
∴ CD是$\odot O$的切线。
(2) 由(1)可知$∠BAC=∠CAE$，
∵ $∠ACB=90°$，BC延长至F，
∴ $∠ACF=∠ACB=90°$。
在$△ ABC$和$△ AFC$中：
$\{\begin{array}{l}∠BAC=∠FAC \\AC=AC \\∠ACB=∠ACF\end{array} $
∴ $△ ABC ≌ △ AFC$（ASA），
∴ $CB=CF$。
又
∵ $CB=CE$，
∴ $CE=CF$。
【答案】
(1) CD是$\odot O$的切线；
(2) $CE=CF$。
【知识点】
切线的判定；圆周角定理；全等三角形的判定与性质
【点评】
本题是圆的基础综合题，解题核心是合理构造辅助线，灵活运用圆的相关性质和全等三角形的判定完成角度、线段的等量转化，是巩固圆基础知识点的典型习题。
【难度系数】
0.7
22 如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上不同于A、B的一点，I是$△ ABC$的内心，AI的延长线交半圆O于点D，连接BI、BD、IO。
（1）求证：$DI=DB$。
（2）若$BD=2$，$IO ⊥ BI$，求AI的长。
（1）求证：$DI=DB$。
（2）若$BD=2$，$IO ⊥ BI$，求AI的长。
答案
（1）因为 $I$ 是 $△ ABC$ 的内心,所以 $∠BAD=∠CAD$, $∠ABI=∠CBI$。由圆周角定理,得$∠CBD=∠CAD$,所以 $∠BID=∠BAD+∠ABI=∠CBD+∠CBI=∠IBD$,所以 $DI=DB$。
（2）过 $O$ 作 $OH ⊥ AD$ 于点 $H$,所以 $AH = HD$。因为点 $O$ 为 $AB$ 的中点,所以 $OH = \frac{1}{2}BD = 1$。因为 $AB$ 为直径,所以 $∠D=90°$。因为 $DI=DB$,所以 $△ BDI$ 是等腰直角三角形,所以 $ID=BD=2$, $∠BID=45°$。因为 $IO ⊥ BI$,即 $∠OIB=90°$,所以 $∠OIH=45°$,所以 $△ OHI$ 是等腰直角三角形,所以 $OH=HI=1$,所以 $AH=HD=3$,所以 $AI=AH+HI=4$。
（2）过 $O$ 作 $OH ⊥ AD$ 于点 $H$,所以 $AH = HD$。因为点 $O$ 为 $AB$ 的中点,所以 $OH = \frac{1}{2}BD = 1$。因为 $AB$ 为直径,所以 $∠D=90°$。因为 $DI=DB$,所以 $△ BDI$ 是等腰直角三角形,所以 $ID=BD=2$, $∠BID=45°$。因为 $IO ⊥ BI$,即 $∠OIB=90°$,所以 $∠OIH=45°$,所以 $△ OHI$ 是等腰直角三角形,所以 $OH=HI=1$,所以 $AH=HD=3$,所以 $AI=AH+HI=4$。
解析
【分析】
（1）要证明$DI=DB$，可通过证明$∠DIB=∠DBI$，利用“等角对等边”推导：首先利用三角形内心是角平分线交点的性质，得到两组等角，再结合圆周角定理将角进行转化，最后通过三角形外角的性质证明两个角相等即可。
（2）求解$AI$的长度时，先结合第一问结论得到$DI=BD=2$，再作辅助线$OH⊥AD$，利用垂径定理得$H$是$AD$中点，结合$O$是$AB$中点，可知$OH$是$△ ABD$的中位线，求出$OH$的长度；再根据直径所对圆周角是直角，推出$△ BDI$是等腰直角三角形，得到$∠BID=45°$，结合$IO⊥BI$推出$△ OHI$是等腰直角三角形，求出$HI$的长度，进而求出$AH$、$HD$的长度，即可计算出$AI$。
【解析】
（1）证明：
$\because I$是$△ ABC$的内心，
$\therefore AI$平分$∠ BAC$，$BI$平分$∠ ABC$，即$∠ BAD=∠ CAD$，$∠ ABI=∠ CBI$。
由圆周角定理得，同弧$CD$所对的圆周角$∠ CBD=∠ CAD$，
$\therefore ∠ BAD=∠ CBD$。
$\because ∠ BID$是$△ ABI$的外角，
$\therefore ∠ BID=∠ BAD+∠ ABI$，
又$\because ∠ IBD=∠ CBD+∠ CBI$，
$\therefore ∠ BID=∠ IBD$，
$\therefore DI=DB$。
（2）解：过点$O$作$OH⊥ AD$于点$H$，
由垂径定理得，$AH=HD$。
$\because O$是$AB$的中点，$OH⊥ AD$，且$AB$为半圆直径，直径所对圆周角为直角，即$∠ ADB=90°$，
$\therefore OH$是$△ ABD$的中位线，
$\therefore OH=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×2=1$。
由（1）知$DI=DB=2$，又$∠ ADB=90°$，
$\therefore △ BDI$是等腰直角三角形，
$\therefore ∠ BID=45°$。
$\because IO⊥ BI$，$\therefore ∠ OIB=90°$，
$\therefore ∠ OIH=180°-∠ OIB-∠ BID=180°-90°-45°=45°$，
又$\because OH⊥ AD$，$\therefore △ OHI$是等腰直角三角形，
$\therefore HI=OH=1$。
$\therefore HD=HI+ID=1+2=3$，
$\therefore AH=HD=3$，
$\therefore AI=AH+HI=3+1=4$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boldsymbol{4}$
【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，垂径定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，第一问侧重角的等量转化，核心是熟练运用内心性质和圆周角定理完成角的代换；第二问需要合理构造辅助线，结合中位线、等腰直角三角形的性质求解，能较好地考查逻辑推理能力和几何知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
（1）要证明$DI=DB$，可通过证明$∠DIB=∠DBI$，利用“等角对等边”推导：首先利用三角形内心是角平分线交点的性质，得到两组等角，再结合圆周角定理将角进行转化，最后通过三角形外角的性质证明两个角相等即可。
（2）求解$AI$的长度时，先结合第一问结论得到$DI=BD=2$，再作辅助线$OH⊥AD$，利用垂径定理得$H$是$AD$中点，结合$O$是$AB$中点，可知$OH$是$△ ABD$的中位线，求出$OH$的长度；再根据直径所对圆周角是直角，推出$△ BDI$是等腰直角三角形，得到$∠BID=45°$，结合$IO⊥BI$推出$△ OHI$是等腰直角三角形，求出$HI$的长度，进而求出$AH$、$HD$的长度，即可计算出$AI$。
【解析】
（1）证明：
$\because I$是$△ ABC$的内心，
$\therefore AI$平分$∠ BAC$，$BI$平分$∠ ABC$，即$∠ BAD=∠ CAD$，$∠ ABI=∠ CBI$。
由圆周角定理得，同弧$CD$所对的圆周角$∠ CBD=∠ CAD$，
$\therefore ∠ BAD=∠ CBD$。
$\because ∠ BID$是$△ ABI$的外角，
$\therefore ∠ BID=∠ BAD+∠ ABI$，
又$\because ∠ IBD=∠ CBD+∠ CBI$，
$\therefore ∠ BID=∠ IBD$，
$\therefore DI=DB$。
（2）解：过点$O$作$OH⊥ AD$于点$H$，
由垂径定理得，$AH=HD$。
$\because O$是$AB$的中点，$OH⊥ AD$，且$AB$为半圆直径，直径所对圆周角为直角，即$∠ ADB=90°$，
$\therefore OH$是$△ ABD$的中位线，
$\therefore OH=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}×2=1$。
由（1）知$DI=DB=2$，又$∠ ADB=90°$，
$\therefore △ BDI$是等腰直角三角形，
$\therefore ∠ BID=45°$。
$\because IO⊥ BI$，$\therefore ∠ OIB=90°$，
$\therefore ∠ OIH=180°-∠ OIB-∠ BID=180°-90°-45°=45°$，
又$\because OH⊥ AD$，$\therefore △ OHI$是等腰直角三角形，
$\therefore HI=OH=1$。
$\therefore HD=HI+ID=1+2=3$，
$\therefore AH=HD=3$，
$\therefore AI=AH+HI=3+1=4$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$\boldsymbol{4}$
【知识点】
三角形内心的性质，圆周角定理，垂径定理
【点评】
本题是圆与三角形的综合题，第一问侧重角的等量转化，核心是熟练运用内心性质和圆周角定理完成角的代换；第二问需要合理构造辅助线，结合中位线、等腰直角三角形的性质求解，能较好地考查逻辑推理能力和几何知识的综合应用能力。
【难度系数】
0.6
23 如图，已知$\odot O$是$\mathrm{Rt}△ ABC$的外接圆，点$D$是$\mathrm{Rt}△ ABC$的内心，$BD$的延长线与$\odot O$相交于点$E$，过$E$作直线$l // AC$。
（1）求证：$l$是$\odot O$的切线。
（2）连接$CE$，若$AB＝3$，$AC＝4$，求$CE$的长。
（1）求证：$l$是$\odot O$的切线。
（2）连接$CE$，若$AB＝3$，$AC＝4$，求$CE$的长。
答案
（1）连接 $OE$,交 $AC$ 于点 $G$。因为点 $D$ 是 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 的内心,所以 $∠ABE=∠CBE$。因为 $OB=OE$,所以 $∠EBC=∠OEB$,所以 $∠ABE=∠OEB$,所以 $AB // OE$,所以 $∠BAC=∠OGC=90°$。因为 $l // AC$,所以 $OE ⊥ l$,所以 $l$ 是 $\odot O$ 的切线。
（2）在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,由勾股定理得 $BC=\sqrt{3^2+4^2}=5$,所以 $OC=\frac{5}{2}$。因为 $OG ⊥ AC$,所以$CG=\frac{1}{2}AC=2$, $OG=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}$,所以 $EG=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=1$。在 $\mathrm{Rt}△ CEG$ 中,由勾股定理得 $CE=\sqrt{EG^2+CG^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
（2）在 $\mathrm{Rt}△ ABC$ 中,由勾股定理得 $BC=\sqrt{3^2+4^2}=5$,所以 $OC=\frac{5}{2}$。因为 $OG ⊥ AC$,所以$CG=\frac{1}{2}AC=2$, $OG=\frac{1}{2}AB=\frac{3}{2}$,所以 $EG=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=1$。在 $\mathrm{Rt}△ CEG$ 中,由勾股定理得 $CE=\sqrt{EG^2+CG^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
解析
【分析】
（1）要证明直线$l$是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明半径$OE$垂直于$l$。已知$l// AC$，因此只需证明$OE⊥ AC$即可。首先利用三角形内心的性质得$BE$平分$∠ ABC$，结合等腰三角形$OB=OE$的角相等关系，可推出$AB// OE$，由$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ BAC=90°$，即可得到$OE⊥ AC$，进而得到$OE⊥ l$，完成切线证明。
（2）要求$CE$的长，首先在$\mathrm{Rt}△ ABC$中用勾股定理求出斜边$BC$的长度，也就是圆的直径，可得半径长度。再结合第一问$OE⊥ AC$的结论，利用垂径定理得$G$是$AC$中点，$OG$是$△ ABC$的中位线，可算出$OG$、$EG$的长度，最后在$\mathrm{Rt}△ CEG$中用勾股定理即可求出$CE$的长度。
【解析】
（1）证明：连接$OE$，交$AC$于点$G$。
$\because$点$D$是$\mathrm{Rt}△ ABC$的内心，$\therefore BE$平分$∠ ABC$，即$∠ ABE=∠ CBE$。
$\because OB=OE$（都是$\odot O$的半径），$\therefore ∠ CBE=∠ OEB$，
$\therefore ∠ ABE=∠ OEB$，$\therefore AB// OE$，
$\therefore ∠ BAC=∠ OGC=90°$，即$OE⊥ AC$。
又$\because l// AC$，$\therefore OE⊥ l$，
$\because OE$是$\odot O$的半径，$\therefore l$是$\odot O$的切线。
（2）解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=3$，$AC=4$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
$\therefore \odot O$的半径$OC=OE=\frac{BC}{2}=\frac{5}{2}$。
$\because OE⊥ AC$，由垂径定理得：$CG=\frac{AC}{2}=\frac{4}{2}=2$，
又$\because O$是$BC$中点，$OG// AB$，$\therefore OG$是$△ ABC$的中位线，
$\therefore OG=\frac{AB}{2}=\frac{3}{2}$，
$\therefore EG=OE-OG=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=1$。
在$\mathrm{Rt}△ CEG$中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{EG^2+CG^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$CE$的长为$\sqrt{5}$。
【知识点】
切线的判定，三角形内心的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的相关性质与三角形基础定理，第一问的解题关键是通过角的等量关系推导平行线，进而得到垂直关系证明切线；第二问结合垂径定理、中位线性质和勾股定理求解线段长度，侧重对基础定理综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）要证明直线$l$是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明半径$OE$垂直于$l$。已知$l// AC$，因此只需证明$OE⊥ AC$即可。首先利用三角形内心的性质得$BE$平分$∠ ABC$，结合等腰三角形$OB=OE$的角相等关系，可推出$AB// OE$，由$\mathrm{Rt}△ ABC$中$∠ BAC=90°$，即可得到$OE⊥ AC$，进而得到$OE⊥ l$，完成切线证明。
（2）要求$CE$的长，首先在$\mathrm{Rt}△ ABC$中用勾股定理求出斜边$BC$的长度，也就是圆的直径，可得半径长度。再结合第一问$OE⊥ AC$的结论，利用垂径定理得$G$是$AC$中点，$OG$是$△ ABC$的中位线，可算出$OG$、$EG$的长度，最后在$\mathrm{Rt}△ CEG$中用勾股定理即可求出$CE$的长度。
【解析】
（1）证明：连接$OE$，交$AC$于点$G$。
$\because$点$D$是$\mathrm{Rt}△ ABC$的内心，$\therefore BE$平分$∠ ABC$，即$∠ ABE=∠ CBE$。
$\because OB=OE$（都是$\odot O$的半径），$\therefore ∠ CBE=∠ OEB$，
$\therefore ∠ ABE=∠ OEB$，$\therefore AB// OE$，
$\therefore ∠ BAC=∠ OGC=90°$，即$OE⊥ AC$。
又$\because l// AC$，$\therefore OE⊥ l$，
$\because OE$是$\odot O$的半径，$\therefore l$是$\odot O$的切线。
（2）解：在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=3$，$AC=4$，由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2+AC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$，
$\therefore \odot O$的半径$OC=OE=\frac{BC}{2}=\frac{5}{2}$。
$\because OE⊥ AC$，由垂径定理得：$CG=\frac{AC}{2}=\frac{4}{2}=2$，
又$\because O$是$BC$中点，$OG// AB$，$\therefore OG$是$△ ABC$的中位线，
$\therefore OG=\frac{AB}{2}=\frac{3}{2}$，
$\therefore EG=OE-OG=\frac{5}{2}-\frac{3}{2}=1$。
在$\mathrm{Rt}△ CEG$中，由勾股定理得：
$CE=\sqrt{EG^2+CG^2}=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}$。
【答案】
（1）证明见上述解析；（2）$CE$的长为$\sqrt{5}$。
【知识点】
切线的判定，三角形内心的性质，勾股定理
【点评】
本题综合考查圆的相关性质与三角形基础定理，第一问的解题关键是通过角的等量关系推导平行线，进而得到垂直关系证明切线；第二问结合垂径定理、中位线性质和勾股定理求解线段长度，侧重对基础定理综合运用能力的考查。
【难度系数】
0.7
