登录
1. 下列直线是圆的切线的是 （
A.与圆有公共点的直线
B.圆心到直线的距离等于半径的直线
C.垂直于圆的半径的直线
D.过圆直径外端点的直线
B
）A.与圆有公共点的直线
B.圆心到直线的距离等于半径的直线
C.垂直于圆的半径的直线
D.过圆直径外端点的直线
答案
1.B
解析
【分析】
本题考查圆的切线的判定，解题时需先回忆切线的相关判定规则，再逐一核对每个选项是否满足切线的判定条件，排除不符合的选项即可得到正确答案。首先明确切线的三类判定依据：1. 与圆只有唯一公共点的直线是切线；2. 圆心到直线的距离等于半径的直线是切线；3. 经过半径外端且垂直于这条半径的直线是切线，据此分析各选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 与圆有公共点的直线，可能是与圆有2个公共点的割线，只有和圆有且只有1个公共点的直线才是切线，故A错误；
B. 根据直线与圆相切的判定规则，当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，该直线是圆的切线，故B正确；
C. 仅垂直于圆的半径的直线，若没有经过该半径的外端点，就不是切线，比如圆内部垂直于某条半径的直线会和圆相交，属于割线，故C错误；
D. 过圆直径外端点的直线，若不垂直于这条直径，就不满足切线的判定条件，不是切线，故D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
切线的判定；直线与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对切线判定条件的准确掌握，要注意切线的判定往往需要同时满足多个条件，不能遗漏关键限定。
【难度系数】
0.8
本题考查圆的切线的判定，解题时需先回忆切线的相关判定规则，再逐一核对每个选项是否满足切线的判定条件，排除不符合的选项即可得到正确答案。首先明确切线的三类判定依据：1. 与圆只有唯一公共点的直线是切线；2. 圆心到直线的距离等于半径的直线是切线；3. 经过半径外端且垂直于这条半径的直线是切线，据此分析各选项。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 与圆有公共点的直线，可能是与圆有2个公共点的割线，只有和圆有且只有1个公共点的直线才是切线，故A错误；
B. 根据直线与圆相切的判定规则，当圆心到直线的距离等于半径时，直线与圆相切，该直线是圆的切线，故B正确；
C. 仅垂直于圆的半径的直线，若没有经过该半径的外端点，就不是切线，比如圆内部垂直于某条半径的直线会和圆相交，属于割线，故C错误；
D. 过圆直径外端点的直线，若不垂直于这条直径，就不满足切线的判定条件，不是切线，故D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
切线的判定；直线与圆的位置关系
【点评】
本题属于基础概念考查题，核心是对切线判定条件的准确掌握，要注意切线的判定往往需要同时满足多个条件，不能遗漏关键限定。
【难度系数】
0.8
2. [易错题]已知$\odot O$的半径为5，直线EF经过$\odot O$上一点P(点E，F在点P的两旁)，下列条件能判定直线EF与$\odot O$相切的是（
A.$OP=5$
B.$OE=OF$
C.点O到直线EF的距离是4
D.$OP ⊥ EF$
D
）A.$OP=5$
B.$OE=OF$
C.点O到直线EF的距离是4
D.$OP ⊥ EF$
答案
2.D
解析
【分析】
要判定直线EF与⊙O相切，需结合切线的判定定理分析：切线的判定需满足两个核心条件：①直线经过半径的外端（本题中已知EF经过圆上的点P，即OP为半径，已经满足第一个条件）；②直线与这条半径垂直。接下来逐个分析选项是否满足第二个条件即可：A选项OP=5是OP作为半径的固有属性，和EF的位置无关，不能判定相切；B选项OE=OF仅能说明△OEF是等腰三角形，无法推出OP与EF垂直；C选项O到EF的距离为4，小于半径5，说明EF和圆相交，不符合相切要求；D选项OP⊥EF刚好满足切线判定的第二个条件，可判定相切。
【解析】
根据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。已知点P在⊙O上，因此OP是⊙O的半径，我们只需判断是否有OP⊥EF即可：
选项A：OP是⊙O的半径，长度恒为5，与直线EF的位置无关，无法判定EF与⊙O相切，不符合题意；
选项B：OE=OF仅说明△OEF为等腰三角形，不能推出OP⊥EF，无法判定相切，不符合题意；
选项C：点O到直线EF的距离为4，小于⊙O的半径5，此时直线EF与⊙O相交，不符合相切的要求，不符合题意；
选项D：已知P在⊙O上，OP为半径，且OP⊥EF，满足切线的判定定理，可判定直线EF与⊙O相切，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定；直线与圆的位置关系
【点评】
本题考查切线判定的应用，需要注意切线判定的两个条件缺一不可：一是直线经过半径外端（即交点在圆上），二是直线与该半径垂直，做题时容易忽略其中一个条件而错选其他选项。
【难度系数】
0.6
要判定直线EF与⊙O相切，需结合切线的判定定理分析：切线的判定需满足两个核心条件：①直线经过半径的外端（本题中已知EF经过圆上的点P，即OP为半径，已经满足第一个条件）；②直线与这条半径垂直。接下来逐个分析选项是否满足第二个条件即可：A选项OP=5是OP作为半径的固有属性，和EF的位置无关，不能判定相切；B选项OE=OF仅能说明△OEF是等腰三角形，无法推出OP与EF垂直；C选项O到EF的距离为4，小于半径5，说明EF和圆相交，不符合相切要求；D选项OP⊥EF刚好满足切线判定的第二个条件，可判定相切。
【解析】
根据切线的判定定理：经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。已知点P在⊙O上，因此OP是⊙O的半径，我们只需判断是否有OP⊥EF即可：
选项A：OP是⊙O的半径，长度恒为5，与直线EF的位置无关，无法判定EF与⊙O相切，不符合题意；
选项B：OE=OF仅说明△OEF为等腰三角形，不能推出OP⊥EF，无法判定相切，不符合题意；
选项C：点O到直线EF的距离为4，小于⊙O的半径5，此时直线EF与⊙O相交，不符合相切的要求，不符合题意；
选项D：已知P在⊙O上，OP为半径，且OP⊥EF，满足切线的判定定理，可判定直线EF与⊙O相切，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
切线的判定；直线与圆的位置关系
【点评】
本题考查切线判定的应用，需要注意切线判定的两个条件缺一不可：一是直线经过半径外端（即交点在圆上），二是直线与该半径垂直，做题时容易忽略其中一个条件而错选其他选项。
【难度系数】
0.6
3. [教材P69 A组复习题第12题改编] 如图，AB为$\odot O$的直径，C为$\odot O$上一点，过点C的直线$DE ⊥ AD$于点D，AC平分$∠ DAB$。求证：CE是$\odot O$的切线。
答案
证明：连接OC，
∵ OA=OC，
∴ ∠OAC=∠OCA。
∵ AC平分∠DAB，
∴ ∠DAC=∠OAC，
∴ ∠DAC=∠OCA，
∴ AD//OC。
∵ DE⊥AD，
∴ ∠ADC=90°，
∴ ∠OCE=∠ADC=90°，即OC⊥DE。
又∵ OC是⊙O的半径，
∴ CE是⊙O的切线。
∵ OA=OC，
∴ ∠OAC=∠OCA。
∵ AC平分∠DAB，
∴ ∠DAC=∠OAC，
∴ ∠DAC=∠OCA，
∴ AD//OC。
∵ DE⊥AD，
∴ ∠ADC=90°，
∴ ∠OCE=∠ADC=90°，即OC⊥DE。
又∵ OC是⊙O的半径，
∴ CE是⊙O的切线。
解析
【分析】
要证明CE是⊙O的切线，根据切线判定定理，需要证明CE垂直于过切点C的半径，因此先作辅助线连接OC。接下来只需推导OC⊥DE即可：已知DE⊥AD，因此可通过证明AD//OC得到OC⊥DE。结合AC平分∠DAB、OA=OC（同圆半径相等）的条件，通过角的等量代换可得到内错角相等，进而推出AD//OC，最终得到OC⊥DE，即可完成证明。
【解析】
证明：连接OC，
∵ OA、OC都是⊙O的半径，
∴ OA=OC，根据等边对等角可得∠OAC=∠OCA。
∵ AC平分∠DAB，根据角平分线的定义可得∠DAC=∠OAC，
∴ ∠DAC=∠OCA（等量代换），
∴ AD//OC（内错角相等，两直线平行）。
∵ DE⊥AD，根据垂直的定义可得∠ADC=90°，
∴ ∠OCE=∠ADC=90°（两直线平行，同位角相等），即OC⊥DE。
又
∵ OC是⊙O的半径，根据切线的判定定理，可得CE是⊙O的切线。
【答案】
证明：连接OC，
∵ OA=OC，
∴ ∠OAC=∠OCA。
∵ AC平分∠DAB，
∴ ∠DAC=∠OAC，
∴ ∠DAC=∠OCA，
∴ AD//OC。
∵ DE⊥AD，
∴ ∠ADC=90°，
∴ ∠OCE=∠ADC=90°，即OC⊥DE。
又
∵ OC是⊙O的半径，
∴ CE是⊙O的切线。
【知识点】
切线的判定定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质
【点评】
本题是切线判定的典型基础题，核心考查切线判定的常用辅助线思路：“连半径，证垂直”，通过角的等量代换推导平行关系、进而得到垂直是这类题的常规推导逻辑，熟练掌握切线判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
要证明CE是⊙O的切线，根据切线判定定理，需要证明CE垂直于过切点C的半径，因此先作辅助线连接OC。接下来只需推导OC⊥DE即可：已知DE⊥AD，因此可通过证明AD//OC得到OC⊥DE。结合AC平分∠DAB、OA=OC（同圆半径相等）的条件，通过角的等量代换可得到内错角相等，进而推出AD//OC，最终得到OC⊥DE，即可完成证明。
【解析】
证明：连接OC，
∵ OA、OC都是⊙O的半径，
∴ OA=OC，根据等边对等角可得∠OAC=∠OCA。
∵ AC平分∠DAB，根据角平分线的定义可得∠DAC=∠OAC，
∴ ∠DAC=∠OCA（等量代换），
∴ AD//OC（内错角相等，两直线平行）。
∵ DE⊥AD，根据垂直的定义可得∠ADC=90°，
∴ ∠OCE=∠ADC=90°（两直线平行，同位角相等），即OC⊥DE。
又
∵ OC是⊙O的半径，根据切线的判定定理，可得CE是⊙O的切线。
【答案】
证明：连接OC，
∵ OA=OC，
∴ ∠OAC=∠OCA。
∵ AC平分∠DAB，
∴ ∠DAC=∠OAC，
∴ ∠DAC=∠OCA，
∴ AD//OC。
∵ DE⊥AD，
∴ ∠ADC=90°，
∴ ∠OCE=∠ADC=90°，即OC⊥DE。
又
∵ OC是⊙O的半径，
∴ CE是⊙O的切线。
【知识点】
切线的判定定理、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质
【点评】
本题是切线判定的典型基础题，核心考查切线判定的常用辅助线思路：“连半径，证垂直”，通过角的等量代换推导平行关系、进而得到垂直是这类题的常规推导逻辑，熟练掌握切线判定定理是解题的关键。
【难度系数】
0.8
4. 如图，AB是$\odot O$的直径，DC是$\odot O$的切线，切点为D，过点A的直线与DC交于点C，则下列结论错误的是 （
A.$∠ BOD=2∠ BAD$
B.如果AD平分$∠ ODC$，那么$AD=\sqrt{3}OD$
C.如果AD平分$∠ BAC$，那么$AC⊥ DC$
D.如果$CO⊥ AD$，那么AC是$\odot O$的切线
第4题图 第5题图
B
）A.$∠ BOD=2∠ BAD$
B.如果AD平分$∠ ODC$，那么$AD=\sqrt{3}OD$
C.如果AD平分$∠ BAC$，那么$AC⊥ DC$
D.如果$CO⊥ AD$，那么AC是$\odot O$的切线
第4题图 第5题图
答案
4.B
解析
【分析】
本题是结合圆的切线性质、圆周角定理、全等三角形判定等知识的正误判断选择题，需逐一验证每个选项：首先根据切线性质可得$OD⊥ CD$，再结合每个选项的附加条件，运用对应几何定理推导结论是否成立，最终选出错误的选项即可。
【解析】
逐个分析各选项：
1. 选项A：根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，弧$BD$所对的圆心角为$∠ BOD$，所对的圆周角为$∠ BAD$，因此$∠ BOD=2∠ BAD$，结论正确，不符合题意。
2. 选项B：已知$DC$是$\odot O$的切线，故$OD⊥ DC$，即$∠ ODC=90°$。若$AD$平分$∠ ODC$，则$∠ ADO=∠ ADC=45°$。又$OA=OD$（同圆半径相等），故$∠ OAD=∠ ADO=45°$，$△ AOD$为等腰直角三角形，可得$AD=\sqrt{2}OD$，而非$AD=\sqrt{3}OD$，结论错误，符合题意。
3. 选项C：若$AD$平分$∠ BAC$，则$∠ OAD=∠ CAD$。$\because OA=OD$，$\therefore ∠ OAD=∠ ODA$，因此$∠ CAD=∠ ODA$，可得$OD// AC$。又$\because OD⊥ DC$，$\therefore AC⊥ DC$，结论正确，不符合题意。
4. 选项D：若$CO⊥ AD$，且$OA=OD$，根据等腰三角形三线合一，可知$CO$垂直平分$AD$，因此$AC=CD$。在$△ AOC$和$△ DOC$中：$\begin{cases}OA=OD\\AC=CD\\OC=OC\end{cases}$，$\therefore △ AOC≌△ DOC(\mathrm{SSS})$，则$∠ OAC=∠ ODC=90°$，即$OA⊥ AC$，又$OA$是$\odot O$的半径，因此$AC$是$\odot O$的切线，结论正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质与判定，圆周角定理，全等三角形的判定
【点评】
本题综合考查圆的基础性质和切线相关的推导，需要熟练掌握圆心角与圆周角的关系、切线的判定和性质定理，结合等腰三角形、全等三角形的知识逐一推导即可，注意审题要求选出错误结论。
【难度系数】
0.65
本题是结合圆的切线性质、圆周角定理、全等三角形判定等知识的正误判断选择题，需逐一验证每个选项：首先根据切线性质可得$OD⊥ CD$，再结合每个选项的附加条件，运用对应几何定理推导结论是否成立，最终选出错误的选项即可。
【解析】
逐个分析各选项：
1. 选项A：根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，弧$BD$所对的圆心角为$∠ BOD$，所对的圆周角为$∠ BAD$，因此$∠ BOD=2∠ BAD$，结论正确，不符合题意。
2. 选项B：已知$DC$是$\odot O$的切线，故$OD⊥ DC$，即$∠ ODC=90°$。若$AD$平分$∠ ODC$，则$∠ ADO=∠ ADC=45°$。又$OA=OD$（同圆半径相等），故$∠ OAD=∠ ADO=45°$，$△ AOD$为等腰直角三角形，可得$AD=\sqrt{2}OD$，而非$AD=\sqrt{3}OD$，结论错误，符合题意。
3. 选项C：若$AD$平分$∠ BAC$，则$∠ OAD=∠ CAD$。$\because OA=OD$，$\therefore ∠ OAD=∠ ODA$，因此$∠ CAD=∠ ODA$，可得$OD// AC$。又$\because OD⊥ DC$，$\therefore AC⊥ DC$，结论正确，不符合题意。
4. 选项D：若$CO⊥ AD$，且$OA=OD$，根据等腰三角形三线合一，可知$CO$垂直平分$AD$，因此$AC=CD$。在$△ AOC$和$△ DOC$中：$\begin{cases}OA=OD\\AC=CD\\OC=OC\end{cases}$，$\therefore △ AOC≌△ DOC(\mathrm{SSS})$，则$∠ OAC=∠ ODC=90°$，即$OA⊥ AC$，又$OA$是$\odot O$的半径，因此$AC$是$\odot O$的切线，结论正确，不符合题意。
【答案】
B
【知识点】
切线的性质与判定，圆周角定理，全等三角形的判定
【点评】
本题综合考查圆的基础性质和切线相关的推导，需要熟练掌握圆心角与圆周角的关系、切线的判定和性质定理，结合等腰三角形、全等三角形的知识逐一推导即可，注意审题要求选出错误结论。
【难度系数】
0.65
5. [分类讨论思想]如图,在平面直角坐标系中,
$\odot P$的半径为2,点$P$的坐标为$(-3,0)$.若将
$\odot P$沿$x$轴向右平移,当$\odot P$与$y$轴相切时,
$\odot P$向右平移的距离为
$\odot P$的半径为2,点$P$的坐标为$(-3,0)$.若将
$\odot P$沿$x$轴向右平移,当$\odot P$与$y$轴相切时,
$\odot P$向右平移的距离为
1或5
.答案
5.1或5
解析
【分析】
要解决这个问题，首先明确圆与y轴相切的核心条件：圆心到y轴的距离等于圆的半径。已知⊙P半径为2，因此平移后圆心的横坐标的绝对值应为2。再结合点P初始坐标为(-3,0)，沿x轴向右平移后圆心坐标为(-3+d,0)（d为平移距离，d＞0），分平移后圆心在y轴左侧、右侧两种情况讨论，分别计算d的值即可。
【解析】
解：当⊙P与y轴相切时，圆心P到y轴的距离等于半径2，即平移后圆心的横坐标的绝对值为2。
设⊙P向右平移的距离为$d(d＞0)$，则平移后点P的坐标为$(-3+d, 0)$，分两种情况讨论：
1. 当⊙P在y轴左侧与y轴相切时，平移后圆心横坐标为$-2$，可得：
$-3 + d = -2$
解得$d=1$
2. 当⊙P在y轴右侧与y轴相切时，平移后圆心横坐标为$2$，可得：
$-3 + d = 2$
解得$d=5$
综上，⊙P向右平移的距离为1或5。
【答案】
1或5
【知识点】
直线与圆相切的性质；图形的平移；分类讨论思想
【点评】
本题考查圆与直线相切的性质及平移的坐标变化规律，解题的关键是明确相切时圆心到直线的距离等于半径，易错点是容易忽略圆在y轴右侧相切的情况，漏算平移距离为5的情况，解题时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先明确圆与y轴相切的核心条件：圆心到y轴的距离等于圆的半径。已知⊙P半径为2，因此平移后圆心的横坐标的绝对值应为2。再结合点P初始坐标为(-3,0)，沿x轴向右平移后圆心坐标为(-3+d,0)（d为平移距离，d＞0），分平移后圆心在y轴左侧、右侧两种情况讨论，分别计算d的值即可。
【解析】
解：当⊙P与y轴相切时，圆心P到y轴的距离等于半径2，即平移后圆心的横坐标的绝对值为2。
设⊙P向右平移的距离为$d(d＞0)$，则平移后点P的坐标为$(-3+d, 0)$，分两种情况讨论：
1. 当⊙P在y轴左侧与y轴相切时，平移后圆心横坐标为$-2$，可得：
$-3 + d = -2$
解得$d=1$
2. 当⊙P在y轴右侧与y轴相切时，平移后圆心横坐标为$2$，可得：
$-3 + d = 2$
解得$d=5$
综上，⊙P向右平移的距离为1或5。
【答案】
1或5
【知识点】
直线与圆相切的性质；图形的平移；分类讨论思想
【点评】
本题考查圆与直线相切的性质及平移的坐标变化规律，解题的关键是明确相切时圆心到直线的距离等于半径，易错点是容易忽略圆在y轴右侧相切的情况，漏算平移距离为5的情况，解题时要注意分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.7
6. [2025·合肥高新区一模]如图，$△ ABC$内接于$\odot O$，AB是$\odot O$的直径，$AB=10$，作$OD ⊥ AB$交$\odot O$于点E，交AC于点F，且$DF=DC$。
(1)求证：CD是$\odot O$的切线；
(2)若$BC=6$，求DE的长。
(1)求证：CD是$\odot O$的切线；
(2)若$BC=6$，求DE的长。
答案
6.(1)证明略.
(2)$\because AB$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ ACB=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=8$.
易证$△ AOF∽△ ACB$,$\therefore \dfrac{AF}{AB}=\dfrac{OF}{CB}=\dfrac{AO}{AC}$,即$\dfrac{AF}{10}=\dfrac{OF}{6}=\dfrac{5}{8}$,
$\therefore AF=\dfrac{25}{4}$,$OF=\dfrac{15}{4}$,$\therefore CF=AC-AF=\dfrac{7}{4}$.
由(1)知$∠ DCO=∠ ACB=90°$,$\therefore ∠ DCF=∠ OCB$,
$\because OC=OB$,$\therefore ∠ OCB=∠ B$,
又$∠ DCF=∠ DFC$,$\therefore ∠ B=∠ DFC$,
$\therefore △ DCF∽△ OCB$,$\therefore \dfrac{DF}{OB}=\dfrac{FC}{BC}$,即$\dfrac{DF}{5}=\dfrac{\dfrac{7}{4}}{6}$,
解得 $DF=\dfrac{35}{24}$,$\therefore DE = DF - (OE-OF) = \dfrac{35}{24} - (5-\dfrac{15}{4})=\dfrac{5}{24}$.
(2)$\because AB$是$\odot O$的直径,$\therefore ∠ ACB=90°$.
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中,$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=8$.
易证$△ AOF∽△ ACB$,$\therefore \dfrac{AF}{AB}=\dfrac{OF}{CB}=\dfrac{AO}{AC}$,即$\dfrac{AF}{10}=\dfrac{OF}{6}=\dfrac{5}{8}$,
$\therefore AF=\dfrac{25}{4}$,$OF=\dfrac{15}{4}$,$\therefore CF=AC-AF=\dfrac{7}{4}$.
由(1)知$∠ DCO=∠ ACB=90°$,$\therefore ∠ DCF=∠ OCB$,
$\because OC=OB$,$\therefore ∠ OCB=∠ B$,
又$∠ DCF=∠ DFC$,$\therefore ∠ B=∠ DFC$,
$\therefore △ DCF∽△ OCB$,$\therefore \dfrac{DF}{OB}=\dfrac{FC}{BC}$,即$\dfrac{DF}{5}=\dfrac{\dfrac{7}{4}}{6}$,
解得 $DF=\dfrac{35}{24}$,$\therefore DE = DF - (OE-OF) = \dfrac{35}{24} - (5-\dfrac{15}{4})=\dfrac{5}{24}$.
解析
【分析】
(1) 要证明CD是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明半径$OC⊥ CD$。先连接$OC$，利用等腰三角形的角相等性质，结合$OD⊥ AB$得到的直角，通过角的代换即可推出$∠ OCD=90°$，完成证明。
(2) 求$DE$的长，先利用直径所对圆周角为直角，用勾股定理求出$AC$的长度；再通过证明$△ AOF∽△ ACB$，利用相似比求出$OF$、$AF$的长度，进而得到$CF$的长度；接着证明$△ DCF∽△ OCB$，用相似比求出$DF$的长度，最后结合线段和差关系即可算出$DE$。
【解析】
(1) 证明：连接$OC$，
$\because OA=OC$，$\therefore ∠ OAC=∠ OCA$，
$\because OD⊥ AB$，$\therefore ∠ AOF=90°$，$\therefore ∠ OAC+∠ OFA=90°$，
$\because DF=DC$，$\therefore ∠ DFC=∠ DCF$，
又$\because ∠ DFC=∠ OFA$，$\therefore ∠ DCF=∠ OFA$，
$\therefore ∠ OCA+∠ DCF=∠ OAC+∠ OFA=90°$，即$∠ OCD=90°$，
$\therefore OC⊥ CD$，
又$\because OC$是$\odot O$的半径，$\therefore CD$是$\odot O$的切线。
(2) 解：$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ACB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=10$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
$\because ∠ OAF=∠ CAB$，$∠ AOF=∠ ACB=90°$，
$\therefore △ AOF∽△ ACB$，
$\therefore \dfrac{AF}{AB}=\dfrac{OF}{CB}=\dfrac{AO}{AC}$，其中$AO=\dfrac{1}{2}AB=5$，
代入得$\dfrac{AF}{10}=\dfrac{OF}{6}=\dfrac{5}{8}$，解得$AF=\dfrac{25}{4}$，$OF=\dfrac{15}{4}$，
$\therefore CF=AC-AF=8-\dfrac{25}{4}=\dfrac{7}{4}$，
由(1)知$∠ OCD=90°$，$\therefore ∠ DCF+∠ OCB=90°$，
又$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ OCB+∠ OCA=90°$，得$∠ DCF=∠ OCB$，
$\because OC=OB$，$\therefore ∠ OCB=∠ B$，
又$\because ∠ DCF=∠ DFC$，$\therefore ∠ DFC=∠ B$，
$\therefore △ DCF∽△ OCB$，
$\therefore \dfrac{DF}{OB}=\dfrac{FC}{BC}$，代入$OB=5$，$FC=\dfrac{7}{4}$，$BC=6$得：
$\dfrac{DF}{5}=\dfrac{\dfrac{7}{4}}{6}$，解得$DF=\dfrac{35}{24}$，
$\because OE$是$\odot O$的半径，$\therefore OE=5$，
$\therefore DE = DF - (OE-OF) = \dfrac{35}{24} - (5-\dfrac{15}{4})=\dfrac{5}{24}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{\dfrac{5}{24}}$
【知识点】
切线的判定；相似三角形的判定与性质；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，第一问是切线判定的常规考法，核心是连接半径证垂直；第二问结合了勾股定理和相似三角形的计算，需要学生熟练掌握圆的基本性质，能准确找到相似三角形对应边的关系，是圆章节的典型考题。
【难度系数】
0.65
(1) 要证明CD是$\odot O$的切线，根据切线判定定理，需证明半径$OC⊥ CD$。先连接$OC$，利用等腰三角形的角相等性质，结合$OD⊥ AB$得到的直角，通过角的代换即可推出$∠ OCD=90°$，完成证明。
(2) 求$DE$的长，先利用直径所对圆周角为直角，用勾股定理求出$AC$的长度；再通过证明$△ AOF∽△ ACB$，利用相似比求出$OF$、$AF$的长度，进而得到$CF$的长度；接着证明$△ DCF∽△ OCB$，用相似比求出$DF$的长度，最后结合线段和差关系即可算出$DE$。
【解析】
(1) 证明：连接$OC$，
$\because OA=OC$，$\therefore ∠ OAC=∠ OCA$，
$\because OD⊥ AB$，$\therefore ∠ AOF=90°$，$\therefore ∠ OAC+∠ OFA=90°$，
$\because DF=DC$，$\therefore ∠ DFC=∠ DCF$，
又$\because ∠ DFC=∠ OFA$，$\therefore ∠ DCF=∠ OFA$，
$\therefore ∠ OCA+∠ DCF=∠ OAC+∠ OFA=90°$，即$∠ OCD=90°$，
$\therefore OC⊥ CD$，
又$\because OC$是$\odot O$的半径，$\therefore CD$是$\odot O$的切线。
(2) 解：$\because AB$是$\odot O$的直径，$\therefore ∠ ACB=90°$，
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$AB=10$，$BC=6$，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
$\because ∠ OAF=∠ CAB$，$∠ AOF=∠ ACB=90°$，
$\therefore △ AOF∽△ ACB$，
$\therefore \dfrac{AF}{AB}=\dfrac{OF}{CB}=\dfrac{AO}{AC}$，其中$AO=\dfrac{1}{2}AB=5$，
代入得$\dfrac{AF}{10}=\dfrac{OF}{6}=\dfrac{5}{8}$，解得$AF=\dfrac{25}{4}$，$OF=\dfrac{15}{4}$，
$\therefore CF=AC-AF=8-\dfrac{25}{4}=\dfrac{7}{4}$，
由(1)知$∠ OCD=90°$，$\therefore ∠ DCF+∠ OCB=90°$，
又$\because ∠ ACB=90°$，$\therefore ∠ OCB+∠ OCA=90°$，得$∠ DCF=∠ OCB$，
$\because OC=OB$，$\therefore ∠ OCB=∠ B$，
又$\because ∠ DCF=∠ DFC$，$\therefore ∠ DFC=∠ B$，
$\therefore △ DCF∽△ OCB$，
$\therefore \dfrac{DF}{OB}=\dfrac{FC}{BC}$，代入$OB=5$，$FC=\dfrac{7}{4}$，$BC=6$得：
$\dfrac{DF}{5}=\dfrac{\dfrac{7}{4}}{6}$，解得$DF=\dfrac{35}{24}$，
$\because OE$是$\odot O$的半径，$\therefore OE=5$，
$\therefore DE = DF - (OE-OF) = \dfrac{35}{24} - (5-\dfrac{15}{4})=\dfrac{5}{24}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{\dfrac{5}{24}}$
【知识点】
切线的判定；相似三角形的判定与性质；圆周角定理
【点评】
本题属于圆的综合基础题，第一问是切线判定的常规考法，核心是连接半径证垂直；第二问结合了勾股定理和相似三角形的计算，需要学生熟练掌握圆的基本性质，能准确找到相似三角形对应边的关系，是圆章节的典型考题。
【难度系数】
0.65
