1.在探究证明“三角形的内角和等于$180°$”时，综合实践小组的同学作了如图所示的四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于$180°$”的是（）


A.如图1，过点C作$EF// AB$
B.如图2，延长AC到点F，过点C作$CE// AB$
C.如图3，过点C作$CD⊥ AB$于点D
D.如图4，过AB上一点D作$DE// BC$，$DF// AC$

1.C

【分析】
证明三角形内角和为180°的核心思路是通过辅助线，利用平行线的性质将三角形的三个内角转化为一个平角，或者转化为一组互补的同旁内角，从而得到三个内角的和为180°。我们只需逐个分析每个选项的辅助线能否实现上述角的转化即可。
【解析】
我们逐一分析各选项：
A. 如图1，过点C作$EF// AB$：
根据“两直线平行，内错角相等”，可得$∠ A=∠ ECA$，$∠ B=∠ FCB$。
由平角的定义可知$∠ ECA+∠ ACB+∠ FCB=180°$，等量代换可得$∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$，可以证明，不符合题意。
B. 如图2，延长AC到点F，过点C作$CE// AB$：
根据“两直线平行，同位角相等”得$∠ A=∠ FCE$，“两直线平行，内错角相等”得$∠ B=∠ BCE$。
由平角的定义可知$∠ FCE+∠ ECB+∠ ACB=180°$，等量代换可得$∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$，可以证明，不符合题意。
C. 如图3，过点C作$CD⊥ AB$于点D：
仅能得到$∠ ADC=∠ CDB=90°$，进而得到直角三角形两锐角互余，无法将$△ ABC$的三个内角转化为和为$180°$的角，不能证明，符合题意。
D. 如图4，过AB上一点D作$DE// BC$，$DF// AC$：
由$DE// BC$得$∠ C=∠ AED$，$∠ B=∠ ADE$；由$DF// AC$得$∠ AED=∠ EDF$，$∠ A=∠ BDF$。
因此$∠ C=∠ EDF$，又因为$∠ ADE+∠ EDF+∠ BDF=180°$（平角的定义），等量代换可得$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，可以证明，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和证明，平行线的性质，平角的定义
【点评】
本题考查三角形内角和定理的证明逻辑，解题关键是理解“角的转化”这一核心思路，需要熟练运用平行线的性质完成角的等量代换。
【难度系数】
0.7

2. 如图，AD是$\mathrm{Rt}△ ABC$的斜边BC上的高，则图中与$∠ B$互余的角有（）

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

2.B

【分析】
要找出与∠B互余的角，首先明确互余的定义：两个角的度数之和为90°，则这两个角互余。接下来结合图形中的直角分析：首先Rt△ABC中∠BAC是直角，可推出一组和∠B互余的角；再结合AD是BC边上的高，得到∠ADB是直角，在Rt△ABD中可推出另一组和∠B互余的角，最后统计数量即可。
【解析】
解：
∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠B + ∠C = 180° - ∠BAC = 90°，即∠C与∠B互余；
又
∵AD是Rt△ABC斜边BC上的高，
∴∠ADB=90°，在Rt△ABD中，
∠B + ∠BAD = 180° - ∠ADB = 90°，即∠BAD与∠B互余。
综上，与∠B互余的角有∠C和∠BAD，共2个。
【答案】
B
【知识点】
互余的定义、直角三角形两锐角互余、三角形高的定义
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是掌握互余的概念，结合图形中直角三角形的性质逐一排查符合条件的角，避免漏数或多数。
【难度系数】
0.8

3. [新课标—跨学科题]脊柱侧弯是指脊柱的一个或数个节段向侧方弯曲或伴有椎体旋转的脊柱畸形，医学上常用Cobb角来评估脊柱侧弯的程度，Cobb角大于$10°$表示脊柱侧弯。如图是脊柱侧弯Cobb角($∠ O$)的检测示意图，$DA⊥ OC$于点$A$，$CB⊥ OD$于点$B$。已知Cobb角为$37°$，则$∠ AEC$的度数为 ()

A.$37°$
B.$45°$
C.$53°$
D.$63°$

3.A

【分析】要解决这道题，我们可以结合已知的垂直条件推导角的数量关系：首先由DA⊥OC、CB⊥OD可得两个直角，再利用直角三角形两锐角互余的性质，发现∠AEC和∠O都是∠C的余角，根据同角的余角相等即可求出∠AEC的度数；也可以先通过四边形内角和求出∠AEB的度数，再利用邻补角的性质计算∠AEC。
【解析】
方法一：
∵ $ DA ⊥ OC $，$ CB ⊥ OD $，
∴ $ ∠ EAC = 90° $，$ ∠ OBC = 90° $。
在$ \mathrm{Rt}△ EAC $中，根据直角三角形两锐角互余，得$ ∠ AEC + ∠ C = 90° $。
在$ \mathrm{Rt}△ OBC $中，根据直角三角形两锐角互余，得$ ∠ O + ∠ C = 90° $。
根据同角的余角相等，可得$ ∠ AEC = ∠ O = 37° $。
方法二：
∵ $ DA ⊥ OC $，$ CB ⊥ OD $，
∴ $ ∠ OAD = 90° $，$ ∠ OBC = 90° $。
四边形$ OAEB $的内角和为$ 360° $，已知$ ∠ O = 37° $，
∴ $ ∠ AEB = 360° - ∠ O - ∠ OAD - ∠ OBC = 360° - 37° - 90° - 90° = 143° $。
∵ $ ∠ AEC $与$ ∠ AEB $互为邻补角，
∴ $ ∠ AEC = 180° - 143° = 37° $。
【答案】A
【知识点】直角三角形性质，余角的性质，四边形内角和
【点评】本题结合医学实际场景考查几何基础性质的应用，解题的关键是从图形中找到角之间的关系，将实际问题转化为几何角度计算问题，难度较低。
【难度系数】0.8

4. 在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角大$10°$，则较小的锐角的度数是。

4.$40°$

【分析】
首先回忆直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角和为90°（即两锐角互余）。本题已知两个锐角的差为10°，我们可以通过设未知数，利用两个锐角的和为90°的等量关系列方程，即可求解出较小锐角的度数。
【解析】
设较小的锐角度数为$x$，则另一个锐角度数为$x + 10°$。
根据直角三角形两锐角互余的性质，两个锐角之和为$90°$，据此列方程：
$x + (x + 10°) = 90°$
整理得：$2x + 10° = 90°$
移项计算得：$2x = 80°$
解得：$x = 40°$
【答案】
$40°$
【知识点】
直角三角形两锐角互余；三角形内角和定理；一元一次方程的应用
【点评】
本题属于基础类题目，核心考察直角三角形的基本性质，结合简单的方程运算即可求解，熟练掌握直角三角形两锐角互余的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.9

5. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AD$平分$∠ CAB$交$BC$于点$D$.若$∠ CAB=50°$,则$∠ ADC=$.

5.$65°$

【分析】
解题时从已知条件逐步推导：首先根据角平分线的定义，结合已知的∠CAB的度数，先求出∠CAD的度数；再利用直角三角形两个锐角互余的性质，用90°减去∠CAD的度数，即可得到∠ADC的度数。
【解析】
解：
∵AD平分∠CAB，∠CAB=50°，
∴$∠ CAD=\frac{1}{2}∠ CAB=\frac{1}{2}×50°=25°$，
∵在$Rt△ ACD$中，$∠ C=90°$，
∴$∠ ADC+∠ CAD=90°$（直角三角形两锐角互余），
∴$∠ ADC=90°-25°=65°$。
【答案】
$65°$
【知识点】
角平分线的定义；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题是基础的角度计算题，考察的都是几何中基础的角的相关性质，熟练掌握对应概念即可快速求解。
【难度系数】
0.8

6.若三角形的两个内角度数分别为$37°$和$53°$，则这个三角形一定是（）

A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰直角三角形

6.B

【分析】
解决这道题首先要用到三角形内角和定理，已知三角形两个内角的度数，第一步先通过内角和为180°计算出第三个内角的度数，再根据不同类型三角形的定义判断该三角形的类型，同时注意区分直角三角形和等腰直角三角形的差异，避免误选。
【解析】
根据三角形内角和定理，三角形的内角和为180°。
已知该三角形两个内角分别为37°和53°，则第三个内角的度数为：
$180° - 37° - 53° = 90°$
有一个内角为90°的三角形是直角三角形；又因为该三角形三个内角度数分别为37°、53°、90°，不存在度数相等的两个角，因此不是等腰直角三角形。
综上，这个三角形是直角三角形，故选B。
【答案】
B
【知识点】
1.三角形内角和定理 2.三角形的分类
【点评】
本题属于基础题，核心考查三角形内角和定理的应用以及三角形按角分类的判断，计算难度低，只要牢记三角形内角和为180°，熟悉各类三角形的定义就能准确作答。
【难度系数】
0.9

7. [2025·安庆宿松期末]在下列条件:①$∠ A=∠ C-∠ B$,②$∠ A:∠ B:∠ C=2:3:5$,③$∠ A=90°-∠ B$,④$∠ B-∠ C=90°$中,能确定$△ ABC$是直角三角形的条件有 ()

A.1个
B.2个
C.3个
D.4个

7.C

【分析】
要判断△ABC是否为直角三角形，核心是验证三角形的三个内角中是否存在90°的角，我们可以结合三角形内角和为180°的定理，逐个分析给出的4个条件，推导是否有内角等于90°即可得出结论。
【解析】
已知三角形内角和为$∠ A+∠ B+∠ C=180°$，逐个分析条件：
1. 对条件①：将$∠ A=∠ C-∠ B$代入内角和公式，得$∠ C-∠ B+∠ B+∠ C=180°$，化简得$2∠ C=180°$，解得$∠ C=90°$，因此△ABC是直角三角形，①符合要求。
2. 对条件②：设$∠ A=2x$，$∠ B=3x$，$∠ C=5x$，代入内角和公式得$2x+3x+5x=180°$，解得$x=18°$，则最大角$∠ C=5×18°=90°$，因此△ABC是直角三角形，②符合要求。
3. 对条件③：将$∠ A=90°-∠ B$移项得$∠ A+∠ B=90°$，则$∠ C=180°-(∠ A+∠ B)=90°$，因此△ABC是直角三角形，③符合要求。
4. 对条件④：由$∠ B-∠ C=90°$得$∠ B=∠ C+90°＞90°$，此时△ABC是钝角三角形，不是直角三角形，④不符合要求。
综上，能确定△ABC是直角三角形的条件有3个。
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形的判定
【点评】
本题主要考查三角形形状的判断，解题的关键是熟练运用三角形内角和定理，将已知的角的数量关系与内角和结合，推导是否存在直角即可，解题时注意区分直角三角形和钝角三角形的特征。
【难度系数】
0.7

8.如图，E是△ABC的边AC上的一点，过点E作ED⊥AB，垂足为点D.若∠1=∠B，则△ABC是直角三角形吗？为什么？

8.△ABC是直角三角形.理由略.

【分析】
要判断△ABC是否为直角三角形，只需证明该三角形存在一个90°的内角即可。首先由ED⊥AB的条件可得△ADE是直角三角形，根据直角三角形两锐角互余的性质，可得到∠1与∠A的和为90°；再结合已知∠1=∠B，通过等量代换得到∠A与∠B的和为90°；最后利用三角形内角和定理计算∠C的度数，即可判断三角形的形状。
【解析】
△ABC是直角三角形，理由如下：
∵ ED⊥AB，垂足为D，
∴ ∠ADE=90°，即△ADE是直角三角形，
∴ ∠1+∠A=90°（直角三角形的两个锐角互余），
又
∵ ∠1=∠B（已知），
∴ ∠B+∠A=90°（等量代换），
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得：
∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-90°=90°，
∴ △ABC是直角三角形。
【答案】
△ABC是直角三角形
【知识点】
1.直角三角形的性质
2.三角形内角和定理
3.直角三角形的判定
【点评】
本题属于基础类几何证明题，解题的关键是从垂直条件出发，结合已知角相等的关系，利用三角形内角和相关性质推导得到直角，进而判定三角形的形状，有助于巩固三角形内角和及直角三角形的相关知识。
【难度系数】
0.8