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7.一枚质地均匀的骰子，六个面分别标有数字1,2,3,4,5,6.连续抛掷骰子两次，第一次正面朝上的数字作为十位数，第二次正面朝上的数字作为个位数，则这个两位数能被3整除的概率为
$\frac{1}{3}$
.答案
7.$\frac{1}{3}$
解析
【分析】
要计算这个两位数能被3整除的概率，需按照概率计算的基本思路推导：首先明确概率公式为“概率=符合条件的情况数÷所有等可能的总情况数”。第一步先算总情况数：连续抛两次骰子，第一次有6种结果，第二次也有6种结果，共有6×6=36种等可能的两位数。第二步结合“能被3整除的数的各位数字之和可被3整除”的特征，筛选出两次数字之和为3的倍数的情况数，最后代入公式即可得到结果。
【解析】
解：① 计算所有等可能的总情况数
连续抛掷骰子两次，第一次正面朝上的数字有6种可能，第二次正面朝上的数字也有6种可能，因此共可得到$6×6=36$个等可能的两位数。
② 计算符合“能被3整除”的情况数
能被3整除的数的特征为各位数字之和是3的倍数，按第一次朝上数字除以3的余数分类：
若第一次数字为1、4（除以3余1），共2种，此时第二次需搭配2、5（除以3余2，和为3的倍数），共2种，此类共$2×2=4$种；
若第一次数字为2、5（除以3余2），共2种，此时第二次需搭配1、4（除以3余1，和为3的倍数），共2种，此类共$2×2=4$种；
若第一次数字为3、6（除以3余0），共2种，此时第二次需搭配3、6（除以3余0，和为3的倍数），共2种，此类共$2×2=4$种；
符合条件的总情况数为$4+4+4=12$种。
③ 代入概率公式计算
$P(\mathrm{两位数能被3整除})=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
列举法求概率，能被3整除的数的特征，概率的简单应用
【点评】
本题是概率与数的整除性质结合的基础题型，解题关键是熟练掌握概率计算的步骤和常见数的整除特征，整体逻辑清晰，属于概率模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
要计算这个两位数能被3整除的概率，需按照概率计算的基本思路推导：首先明确概率公式为“概率=符合条件的情况数÷所有等可能的总情况数”。第一步先算总情况数：连续抛两次骰子，第一次有6种结果，第二次也有6种结果，共有6×6=36种等可能的两位数。第二步结合“能被3整除的数的各位数字之和可被3整除”的特征，筛选出两次数字之和为3的倍数的情况数，最后代入公式即可得到结果。
【解析】
解：① 计算所有等可能的总情况数
连续抛掷骰子两次，第一次正面朝上的数字有6种可能，第二次正面朝上的数字也有6种可能，因此共可得到$6×6=36$个等可能的两位数。
② 计算符合“能被3整除”的情况数
能被3整除的数的特征为各位数字之和是3的倍数，按第一次朝上数字除以3的余数分类：
若第一次数字为1、4（除以3余1），共2种，此时第二次需搭配2、5（除以3余2，和为3的倍数），共2种，此类共$2×2=4$种；
若第一次数字为2、5（除以3余2），共2种，此时第二次需搭配1、4（除以3余1，和为3的倍数），共2种，此类共$2×2=4$种；
若第一次数字为3、6（除以3余0），共2种，此时第二次需搭配3、6（除以3余0，和为3的倍数），共2种，此类共$2×2=4$种；
符合条件的总情况数为$4+4+4=12$种。
③ 代入概率公式计算
$P(\mathrm{两位数能被3整除})=\frac{12}{36}=\frac{1}{3}$
【答案】
$\frac{1}{3}$
【知识点】
列举法求概率，能被3整除的数的特征，概率的简单应用
【点评】
本题是概率与数的整除性质结合的基础题型，解题关键是熟练掌握概率计算的步骤和常见数的整除特征，整体逻辑清晰，属于概率模块的常考题型。
【难度系数】
0.7
8.为传承中华优秀传统文化，提高学生文化素养，学校举办“经典诵读”比赛，比赛题目分为“诗词之风”“散文之韵”“小说之趣”“戏剧之雅”四组（依次记为A，B，C，D）.小雨和莉莉两名同学参加比赛.其中一名同学从四组题目中随机抽取一组，然后放回，另一名同学再随机抽取一组.
(1)小雨抽到A组题目的概率是
(2)请用列表法或画树状图法，求小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的概率.
(1)小雨抽到A组题目的概率是
$\frac{1}{4}$
.(2)请用列表法或画树状图法，求小雨和莉莉两名同学抽到相同题目的概率.
答案
8.解:(1)$\frac{1}{4}$.
(2)画树状图如下：
共有16种等可能结果，其中小雨和莉莉抽到相同题目共有4种，
∴概率为$\frac{1}{4}$.
解析
【分析】
(1) 第一问为一步概率问题，小雨从4组等可能的题目中随机抽取1组，直接用等可能事件概率公式：概率=符合要求的结果数÷所有等可能结果数计算即可。
(2) 第二问是两步放回型概率问题，首先通过树状图梳理出两人抽题的所有等可能结果，再从中筛选出两人抽到相同题目的结果数，最后代入概率公式求解即可。
【解析】
(1) 小雨抽题时，共有A、B、C、D4种等可能的结果，其中抽到A组题目的结果有1种，
因此小雨抽到A组题目的概率为 $\frac{1}{4}$。
(2) 按照题意绘制树状图：
由树状图可得，总共有16种等可能的结果，其中小雨和莉莉抽到相同题目的结果有(AA)、(BB)、(CC)、(DD)共4种，
因此两人抽到相同题目的概率为 $\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{4}$
(2)画树状图如下：
共有16种等可能结果，其中小雨和莉莉抽到相同题目共有4种，
∴概率为$\frac{1}{4}$.
【知识点】
概率公式，树状图法，放回事件概率
【点评】
本题属于概率基础题，第一问考查简单的一步概率计算，第二问考查两步放回事件的概率求解，熟练掌握用树状图或列表法枚举所有等可能结果是解题的关键，注意区分放回试验和不放回试验的结果差异。
【难度系数】
0.8
(1) 第一问为一步概率问题，小雨从4组等可能的题目中随机抽取1组，直接用等可能事件概率公式：概率=符合要求的结果数÷所有等可能结果数计算即可。
(2) 第二问是两步放回型概率问题，首先通过树状图梳理出两人抽题的所有等可能结果，再从中筛选出两人抽到相同题目的结果数，最后代入概率公式求解即可。
【解析】
(1) 小雨抽题时，共有A、B、C、D4种等可能的结果，其中抽到A组题目的结果有1种，
因此小雨抽到A组题目的概率为 $\frac{1}{4}$。
(2) 按照题意绘制树状图：
由树状图可得，总共有16种等可能的结果，其中小雨和莉莉抽到相同题目的结果有(AA)、(BB)、(CC)、(DD)共4种，
因此两人抽到相同题目的概率为 $\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
(1)$\frac{1}{4}$
(2)画树状图如下：
共有16种等可能结果，其中小雨和莉莉抽到相同题目共有4种，
∴概率为$\frac{1}{4}$.
【知识点】
概率公式，树状图法，放回事件概率
【点评】
本题属于概率基础题，第一问考查简单的一步概率计算，第二问考查两步放回事件的概率求解，熟练掌握用树状图或列表法枚举所有等可能结果是解题的关键，注意区分放回试验和不放回试验的结果差异。
【难度系数】
0.8
9.生活在数字时代的我们,很多场合用二维码来表示不同的信息.类似地,可通过在矩形网格中,对每一个小方格涂色或不涂色所得的图形来表示不同的信息.例如:网格中只有一个小方格,如图
,通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息.
(1)用画树状图或列表的方法,求图可表示不同信息的总个数.(图中标号1,2表示两个不同位置的小方格,下同)
(2)图为$2×2$的网格图,它可表示不同信息的总个数为
,通过涂色或不涂色可表示两个不同的信息.(1)用画树状图或列表的方法,求图可表示不同信息的总个数.(图中标号1,2表示两个不同位置的小方格,下同)
(2)图为$2×2$的网格图,它可表示不同信息的总个数为
16
.答案
9.解:(1)画树状图如下：
共有4种等可能结果，
∴图3可表示不同信息的总个数为4.
(2)画树状图如下：
共有16种等可能结果.
解析
【分析】
(1) 每个小方格都有涂色、不涂色2种独立选择，求解图2的不同信息总个数时，可通过画树状图按顺序枚举两个方格的所有选择：先分析1号方格的2种情况，再对1号的每种情况分析2号方格的2种情况，统计所有等可能结果即可。
(2) 图3为2×2网格共4个小方格，每个方格同样有2种选择，可延续树状图的思路增加分支层数，也可通过分步计数，将每个方格的选择数相乘得到总结果数。
【解析】
(1) 按1号方格、2号方格的顺序分析选择情况，画树状图：第一层对应1号方格，分为“1涂色”“1不涂色”2种情况；第二层对应2号方格，对第一层的每种情况，又分为“2涂色”“2不涂色”2种情况。
枚举可得所有等可能结果共4种，因此图2可表示的不同信息总个数为4。
(2) 图3共有4个小方格，每个方格都有2种选择，按分步计数的规律，总结果数为$2×2×2×2=16$，也可通过画4层树状图枚举，最终得到共有16种等可能结果。
【答案】
(1) 画树状图如下：
共有4种等可能结果，
∴图2可表示不同信息的总个数为4。
(2) 画树状图如下：
共有16种等可能结果。
【知识点】
1. 树状图枚举法 2. 分步计数原理 3. 概率的简单应用
【点评】
本题结合生活中的信息编码场景，考查了列举等可能结果的方法，既可以用树状图直观枚举，也可以利用分步计数的规律快速计算，题目贴近实际，能够让学生体会数学在生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
(1) 每个小方格都有涂色、不涂色2种独立选择，求解图2的不同信息总个数时，可通过画树状图按顺序枚举两个方格的所有选择：先分析1号方格的2种情况，再对1号的每种情况分析2号方格的2种情况，统计所有等可能结果即可。
(2) 图3为2×2网格共4个小方格，每个方格同样有2种选择，可延续树状图的思路增加分支层数，也可通过分步计数，将每个方格的选择数相乘得到总结果数。
【解析】
(1) 按1号方格、2号方格的顺序分析选择情况，画树状图：第一层对应1号方格，分为“1涂色”“1不涂色”2种情况；第二层对应2号方格，对第一层的每种情况，又分为“2涂色”“2不涂色”2种情况。
枚举可得所有等可能结果共4种，因此图2可表示的不同信息总个数为4。
(2) 图3共有4个小方格，每个方格都有2种选择，按分步计数的规律，总结果数为$2×2×2×2=16$，也可通过画4层树状图枚举，最终得到共有16种等可能结果。
【答案】
(1) 画树状图如下：
共有4种等可能结果，
∴图2可表示不同信息的总个数为4。
(2) 画树状图如下：
共有16种等可能结果。
【知识点】
1. 树状图枚举法 2. 分步计数原理 3. 概率的简单应用
【点评】
本题结合生活中的信息编码场景，考查了列举等可能结果的方法，既可以用树状图直观枚举，也可以利用分步计数的规律快速计算，题目贴近实际，能够让学生体会数学在生活中的应用价值。
【难度系数】
0.7
