1.下列函数中，y是x的二次函数的是（）

A.$y=(x+1)(2x-1)-2x^2$
B.$y=\frac{1}{x^2}-2x+1$
C.$y=\frac{2}{x}$
D.$y=3x^2 - x +5$

1.D

【分析】
要判断一个函数是不是二次函数，首先需明确二次函数的判定标准：①函数表达式是整式；②自变量x的最高次数为2；③二次项系数不为0。解题时只需对照这三个条件，逐一排查每个选项，排除不符合条件的选项，即可得到正确答案。
【解析】
二次函数的定义为：形如$y=ax^2+bx+c$（$a、b、c$为常数，且$a≠0$）的函数叫做x的二次函数。我们逐个分析选项：
选项A：先展开化简表达式，$y=(x+1)(2x-1)-2x^2=2x^2 -x +2x -1 -2x^2=x-1$，化简后x的最高次数为1，属于一次函数，不符合二次函数定义。
选项B：$y=\frac{1}{x^2}-2x+1$的表达式中含有$\frac{1}{x^2}$（即$x^{-2}$），不是整式，不符合二次函数是整式函数的要求。
选项C：$y=\frac{2}{x}$是反比例函数，自变量x的次数为-1，不符合要求。
选项D：$y=3x^2 -x +5$满足二次函数的全部判定条件：是整式，x的最高次数为2，二次项系数$3≠0$，属于二次函数。
【答案】
D
【知识点】
1.二次函数的定义
2.整式的识别
3.整式的化简
【点评】
本题是二次函数定义的基础考查题，解题的关键是牢记二次函数的三个判定条件，注意对含有整式乘法的选项要先化简再判断，同时要注意区分整式函数和分式函数，避免误判。
【难度系数】
0.9

2.下列二次函数中，二次项系数是－3的是 （）

A.$y=3x^2 - 2x + 5$
B.$y=x^2 - 3x + 2$
C.$y=-3x^2 - x$
D.$y=x^2 - 3$

2.C

【分析】
这道题考查二次函数二次项系数的识别，解题思路如下：首先回忆二次函数的一般形式，明确二次项系数是x²项前面的数字因数（包含符号），之后逐一排查每个选项中x²项的系数，找到系数为-3的选项即可。
【解析】
二次函数的一般形式为$y=ax^2+bx+c$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a\ne0$），其中$a$就是二次项系数，我们对各选项逐一分析：
选项A：$y=3x^2 - 2x + 5$中，$x^2$项的系数是3，不符合要求；
选项B：$y=x^2 - 3x + 2$中，$x^2$项的系数是1，不符合要求；
选项C：$y=-3x^2 - x$中，$x^2$项的系数是-3，符合要求；
选项D：$y=x^2 - 3$中，$x^2$项的系数是1，不符合要求。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
1.二次函数的一般形式 2.二次项系数识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要检验对二次函数基本构成的掌握程度，只要明确二次函数各项系数的对应位置，就能快速解题，是二次函数部分的常规基础题型。
【难度系数】
0.9

3.已知二次函数$y=3(x-2)^2+1$，当$x=3$时，$y$的值为（）

A.4
B.$-4$
C.3
D.$-3$

3.A

【分析】本题要求给定自变量取值时二次函数的函数值，解题思路为：直接将x=3代入二次函数的解析式，按照有理数混合运算的运算顺序（先算括号内的减法，再算乘方，接着算乘法，最后算加法）逐步计算，即可求出y的取值。
【解析】将$x=3$代入二次函数解析式$y=3(x-2)^2+1$中，计算如下：
$\begin{aligned}y&=3×(3-2)^2+1\\&=3×1^2+1\\&=3×1+1\\&=3+1\\&=4\end{aligned}$
因此本题选A选项。
【答案】A
【知识点】二次函数求值；有理数混合运算
【点评】本题属于基础题，重点考查代入法求函数值的能力，没有设置易错陷阱，掌握基本的代入计算方法即可正确解答。
【难度系数】0.9

4.如图，学校准备将一块长 20 m，宽 14 m 的矩形绿地扩建.如果长、宽都增加 x（m），写出扩建面积$S(m^2)$与 x（m）之间的函数表达式.

4.$S=x^2+34x$

【分析】
要推导扩建面积S与x的函数关系，首先明确扩建面积是指扩建后比原来多出的面积。第一步先确定扩建后整个矩形的长和宽：原来长20m，增加x m后长为(20+x)m，原来宽14m，增加x m后宽为(14+x)m；第二步根据矩形面积公式计算扩建后的总面积，再减去原来绿地的面积，就能得到扩建增加的面积S，最后整理化简表达式即可。
【解析】
解：由题意可知，扩建后矩形绿地的长为$(20+x)\mathrm{m}$，宽为$(14+x)\mathrm{m}$。
1. 计算扩建后绿地的总面积：
$ S_{\mathrm{总}} = (20+x)(14+x) $
2. 计算原绿地的面积：
$ S_{\mathrm{原}} = 20×14 = 280\ \mathrm{m}^2 $
3. 扩建面积为总面积减去原有面积，即$ S = S_{\mathrm{总}} - S_{\mathrm{原}} $，代入展开计算：
$\begin{aligned}S&=(20+x)(14+x) - 280\\&=280 + 20x +14x +x^2 -280\\&=x^2 +34x\end{aligned}$
【答案】
$ S=x^2+34x $
【知识点】
二次函数的实际应用，矩形面积计算，整式乘法运算
【点评】
本题是二次函数在实际面积问题中的基础应用，解题核心是准确理解“扩建面积”的含义，正确表示出扩建后矩形的长宽，结合面积公式推导化简即可，易错点是容易误将扩建后的总面积当成扩建面积。
【难度系数】
0.85

5.将下列二次函数的二次项系数、一次项系数和常数项填入下表：

5.3 0 0 1 0 3 -1 4 0 2 -1 1

【分析】
要确定二次函数的各项系数，首先回忆二次函数的一般形式：形如$y=ax^2+bx+c$（$a≠0$，$a、b、c$为常数）的函数是二次函数，其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项。如果函数中缺少某一项，说明该项的系数为0，我们只需要把给出的二次函数和一般形式对照，就能分别找出对应的系数。
【解析】
1. 对于$y=3x^2$，可变形为$y=3x^2+0x+0$，因此二次项系数为3，一次项系数为0，常数项为0；
2. 对于$y=x^2+3$，可变形为$y=1x^2+0x+3$，因此二次项系数为1，一次项系数为0，常数项为3；
3. 对于$y=-x^2+4x$，可变形为$y=-1x^2+4x+0$，因此二次项系数为-1，一次项系数为4，常数项为0；
4. 对于$y=2x^2-x+1$，对应一般形式得二次项系数为2，一次项系数为-1，常数项为1。
按照表格顺序依次填入对应系数即可。
【答案】
3 0 0 1 0 3 -1 4 0 2 -1 1
【知识点】
二次函数的一般形式，二次函数各项系数识别
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心是掌握二次函数一般形式的构成，注意缺少的项对应系数为0，避免漏写或错写系数符号。
【难度系数】
0.9

6.已知二次函数$y=x^2+bx-c$，当$x=-1$时，$y=0$；当$x=3$时，$y=0$.求当$x=-2$时，$y$的值.

6.解:根据题意,得 $\begin{cases}1-b-c=0,\\9+3b-c=0,\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}b=-2,\\c=3,\end{cases}$
$\therefore y=x^2-2x-3,\therefore$ 当 $x=-2$ 时,$y=5.$

【分析】
要计算x=-2时的y值，首先需要确定二次函数解析式中的未知参数b、c。已知两组x与y的对应值，我们可以利用待定系数法，将两组值分别代入函数解析式，得到关于b、c的二元一次方程组，求解得到b、c的具体值后，就能确定完整的二次函数解析式，最后将x=-2代入解析式即可算出对应的y值。
【解析】
解：将$x=-1,y=0$和$x=3,y=0$分别代入$y=x^2+bx-c$，可得方程组：
$\begin{cases}(-1)^2 + b×(-1) - c = 0 \\3^2 + 3b - c = 0\end{cases}$
整理得：
$\begin{cases}1 - b - c = 0 \quad ① \\9 + 3b - c = 0 \quad ②\end{cases}$
用②-①消去c，得：$8 + 4b = 0$，解得$b=-2$
将$b=-2$代入①式，得：$1 - (-2) - c = 0$，解得$c=3$
∴二次函数解析式为$y=x^2 - 2x - 3$
将$x=-2$代入解析式，得：
$y=(-2)^2 - 2×(-2) - 3 = 4 + 4 - 3 = 5$
【答案】
5
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；二元一次方程组的解法；代入法求函数值
【点评】
本题是二次函数的基础题型，核心考查待定系数法的应用，解题时需准确代入已知条件建立方程组求解参数，再代入求值，属于对基础知识点的常规考查，掌握基本方法即可轻松解答。
【难度系数】
0.8