【例3】如图，四边形ABCD内接于$\odot O$，点E在对角线AC上，$EC=BC=DC$.
(1)若$∠ CBD=39°$，求$∠ BAD$的度数.
(2)求证:$∠ 1=∠ 2$.

(1) $\because BC=DC,\therefore \overgroup{BC}=\overgroup{DC}.$
$\therefore ∠ BAC=∠ CAD=∠ CBD.$
$\because ∠ CBD=39°,\therefore ∠ BAC=∠ CAD=39°.$
$\therefore ∠ BAD=∠ BAC+∠ DAC=78°.$
(2)证明: $\because EC=BC,\therefore ∠ CBE=∠ CEB.$
$\because ∠ CBE=∠ 1+∠ CBD,∠ CEB=∠ 2+∠ BAC,$
$\therefore ∠ 1+∠ CBD=∠ 2+∠ BAC.$
又$\because ∠ BAC=∠ CBD,\therefore ∠ 1=∠ 2.$

【分析】
(1) 求解第一问时，先利用同圆中相等的弦对应相等的弧，得到$\overgroup{BC}=\overgroup{DC}$，再结合圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可推出$∠ BAC$、$∠ CAD$均与已知的$∠ CBD$相等，将两个角相加即可得到$∠ BAD$的度数。
(2) 证明第二问时，首先根据$EC=BC$，利用等腰三角形等边对等角的性质得到$∠ CBE=∠ CEB$，再利用三角形外角的性质把两个角分别拆分为含$∠1$、$∠2$的和的形式，最后结合第一问得到的$∠ BAC=∠ CBD$做等量代换，即可证得$∠1=∠2$。
【解析】
(1) 解：$\because BC=DC$，$\therefore \overgroup{BC}=\overgroup{DC}$（同圆中等弦对等弧）。
根据圆周角定理，同弧所对的圆周角相等，可得$∠ BAC=∠ CAD=∠ CBD$。
$\because ∠ CBD=39°$，$\therefore ∠ BAC=∠ CAD=39°$。
$\therefore ∠ BAD=∠ BAC+∠ DAC=39°+39°=78°$。
(2) 证明：$\because EC=BC$，$\therefore ∠ CBE=∠ CEB$（等腰三角形等边对等角）。
根据三角形外角的性质，$∠ CBE=∠ 1+∠ CBD$，$∠ CEB=∠ 2+∠ BAC$，
$\therefore ∠ 1+∠ CBD=∠ 2+∠ BAC$。
又$\because ∠ BAC=∠ CBD$，
$\therefore ∠ 1=∠ 2$。
【答案】
(1) $∠ BAD=78°$；(2) $∠1=∠2$，得证。
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，三角形外角性质
【点评】
本题是圆与三角形性质结合的基础题型，解题的关键是熟练掌握同圆中弦、弧、圆周角的对应关系，结合三角形相关性质做等量代换即可求解，属于圆章节的常规考查题。
【难度系数】
0.7

练习5如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上两点，且CD＝CB，CD与AB交于点E，连结OD.若∠AOD＝80°，则∠B的度数是 （）

A.20°
B.25°
C.30°
D.35°
（练习5图）（练习6图）

B

【分析】
本题是圆中角度计算类题目，解题思路可按以下步骤展开：首先根据平角的性质，由已知的∠AOD求出∠BOD的度数；接着利用圆周角定理，得到弧BD对应的圆周角∠BCD的度数；再结合CD=CB的条件，可知△CDB为等腰三角形，借助三角形内角和求出∠CBD的度数；之后再次运用圆周角定理，求出弧AD对应的圆周角∠ABD的度数；最后用∠CBD减去∠ABD即可得到所求∠B的度数。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，∠AOD=80°
∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-80°=100°
根据圆周角定理：同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，
∴弧BD所对的圆周角∠BCD= $\frac{1}{2}$∠BOD= $\frac{1}{2}$×100°=50°
∵CD=CB，
∴△CDB为等腰三角形，∠CDB=∠CBD
由三角形内角和为180°可得：
∠CBD= $\frac{180°-∠BCD}{2}$= $\frac{180°-50°}{2}$=65°
又
∵弧AD所对的圆心角为∠AOD=80°
∴弧AD所对的圆周角∠ABD= $\frac{1}{2}$∠AOD= $\frac{1}{2}$×80°=40°
∴∠ABC=∠CBD - ∠ABD=65°-40°=25°
故选B。
【答案】
B
【知识点】
圆周角定理，等腰三角形性质，弦弧对等关系
【点评】
本题属于圆的基础综合题，核心考查圆周角定理的应用，解题的关键是熟练掌握圆心角和圆周角的转换关系，结合等腰三角形的角度计算性质即可求解，是圆中角度计算的常见典型题。
【难度系数】
0.7

练习6如图,在平面直角坐标系中,$\odot P$的圆心在$x$轴上,且经过点$A(m,-3)$和点$B(-1,n)$.点$C$是第一象限圆上的任意一点,且$∠ ACB=45°$,则$\odot P$的圆心的坐标是________.

(2,0)

【分析】
首先根据圆周角定理，同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，由∠ACB=45°可推出弧AB对应的圆心角∠APB=90°。设圆心P坐标为$(x,0)$，通过向x轴作垂线构造直角三角形，证明两个直角三角形全等，利用全等三角形对应边相等的性质即可求出x的值，得到圆心坐标。
【解析】
解：设圆心$P$的坐标为$(x,0)$，连接$PA$、$PB$。
∵ $∠ACB$是弧$AB$所对的圆周角，$∠APB$是弧$AB$所对的圆心角，且$∠ACB=45°$
∴ 根据圆周角定理可得：$∠ APB = 2∠ ACB = 90°$
过点$A$作$AD ⊥ x$轴于$D$，过点$B$作$BE ⊥ x$轴于$E$
∴ $∠ ADP = ∠ PEB = 90°$
∴ $∠ PAD + ∠ APD = 90°$
又
∵ $∠ APB=90°$，即$∠ BPE + ∠ APD = 90°$
∴ $∠ PAD = ∠ BPE$
在$△ ADP$和$△ PEB$中：
$\begin{cases}∠ ADP = ∠ PEB \\∠ PAD = ∠ BPE \\PA = PB \quad (\mathrm{圆的半径相等})\end{cases}$
∴ $△ ADP ≌ △ PEB \ (\mathrm{AAS})$
∴ $AD = PE$
∵ 点$A$坐标为$(m,-3)$，
∴ $AD = |-3| = 3$
∵ 点$B$坐标为$(-1,n)$，点$P$坐标为$(x,0)$，
∴ $PE = x - (-1) = x + 1$
∴ $x + 1 = 3$，解得$x=2$
即$\odot P$的圆心坐标为$(2,0)$。
【答案】
$(2,0)$
【知识点】
圆周角定理，全等三角形的判定与性质，平面直角坐标系
【点评】
本题是圆与平面直角坐标系结合的典型题型，解题的关键是借助圆周角定理得到90°的圆心角，再通过构造全等三角形转化线段长度关系，能够很好地考查学生综合运用知识解决问题的能力。
【难度系数】
0.6

练习7已知，如图，在$△ ABC$中，$BA=BC$，$D$是平面内不与$A$，$B$，$C$重合的任意一点，$∠ ABC=∠ DBE$，$BD=BE$.
(1)求证：$△ ABD≌△ CBE$.
(2)如图，当点$D$是$△ ABC$的外接圆圆心时，
①请判断四边形$BDCE$的形状，并证明你的结论.
②当$∠ ABC$为多少度时，点$E$在圆$D$上？请说明理由.

(1)证明: $\because ∠ ABC=∠ DBE,$
$\therefore ∠ ABC+∠ CBD=∠ DBE+∠ CBD,$
$\therefore ∠ ABD=∠ CBE,$在$△ ABD$与$△ CBE$中,
$\because \begin{cases} BA=BC, \\ ∠ ABD=∠ CBE, \\ BD=BE, \end{cases} \therefore △ ABD ≌ △ CBE (\mathrm{SAS}).$
(2)解:①四边形$BDCE$是菱形.证明如下:
同(1)可证$△ ABD ≌ △ CBE, \therefore CE=AD,$
$\because$ 点$D$是$△ ABC$外接圆圆心,$\therefore DA=DB=DC,$
又$\because BD=BE, \therefore BD=BE=CE=CD,$
$\therefore$ 四边形$BDCE$是菱形；
②当$∠ ABC$为60度时,$∠ DBE$也为60度,
$△ BDE$为等边三角形,$\therefore DE=DA,$
$\therefore$ 点$E$在圆$D$上.

【分析】
(1)要证明△ABD≌△CBE，已知两组对应边BA=BC、BD=BE相等，只需证明两边的夹角相等即可；根据已知∠ABC=∠DBE，给两个角同时加公共角∠CBD，即可得到∠ABD=∠CBE，满足SAS全等判定条件。
(2)①判断四边形BDCE的形状，先利用(1)的全等结论得到CE=AD，再结合D是△ABC外接圆圆心的性质（外心到三个顶点距离相等，即DA=DB=DC），结合已知BD=BE，可推出四边形四条边均相等，即可判定形状。
②点E在圆D上的条件是DE等于圆D的半径（即DE=BD），已知BD=BE，若△BDE为等边三角形则满足DE=BD，此时∠DBE=60°，结合∠ABC=∠DBE即可得到∠ABC的度数。
【解析】
(1)证明: $\because ∠ ABC=∠ DBE,$
$\therefore ∠ ABC+∠ CBD=∠ DBE+∠ CBD,$
$\therefore ∠ ABD=∠ CBE,$在$△ ABD$与$△ CBE$中,
$\because \begin{cases} BA=BC, \\ ∠ ABD=∠ CBE, \\ BD=BE, \end{cases} \therefore △ ABD ≌ △ CBE (\mathrm{SAS}).$
(2)解:①四边形$BDCE$是菱形.证明如下:
同(1)可证$△ ABD ≌ △ CBE, \therefore CE=AD,$
$\because$ 点$D$是$△ ABC$外接圆圆心,$\therefore DA=DB=DC,$
又$\because BD=BE, \therefore BD=BE=CE=CD,$
$\therefore$ 四边形$BDCE$是菱形；
②当$∠ ABC$为60度时，点$E$在圆$D$上，理由如下：
$\because ∠ABC=∠DBE$，$\therefore ∠DBE=60°,$
又$\because BD=BE,$
$\therefore △ BDE$为等边三角形,$\therefore DE=BD,$
$\therefore$ 点$E$在圆$D$上。
【答案】
(1)△ABD≌△CBE成立；
(2)①四边形BDCE是菱形；②当∠ABC为60°时，点E在圆D上。
【知识点】
全等三角形判定、菱形的判定、三角形外接圆性质
【点评】
本题属于几何综合题，融合了全等三角形、特殊四边形、圆的核心性质，解题关键是利用已知边角关系推导全等条件，结合外心的性质转化边的等量关系，能较好地考查几何逻辑推理能力。
【难度系数】
0.7