1. 如图，小明的父亲想用长为 60 m 的栅栏依靠房屋的外墙围成一个矩形菜园，已知房屋外墙长 40 m，则可围成的菜园的最大面积是()$\mathrm{m}^2$。


A.200
B.400
C.450
D.900

1.C

【分析】
这是一道二次函数求最值的实际应用题，解题思路如下：
1. 明确栅栏围边情况：矩形一边靠墙，仅需用栅栏围2条垂直于墙的边和1条平行于墙的边，总栅栏长60m。
2. 设未知量：设垂直于墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，可推出平行于墙的边长为$(60-2x)\ \mathrm{m}$。
3. 确定自变量取值范围：结合墙长40m，平行于墙的边长需满足$0＜60-2x≤40$，同时$x＞0$，可求出$x$的取值范围。
4. 列面积函数：矩形面积=长×宽，据此写出面积$S$关于$x$的函数表达式，再结合二次函数的性质在取值范围内求最大值即可。
【解析】
设垂直于房屋外墙的边长为$x\ \mathrm{m}$，则平行于外墙的边长为$(60-2x)\ \mathrm{m}$，菜园面积为$S\ \mathrm{m}^2$。
首先根据实际限制求$x$的取值范围：
平行于外墙的边长不能超过墙长，且长度为正，因此：
$\begin{cases}60-2x＞0 \\60-2x≤40 \\x＞0 \end{cases}$
解得：$10≤ x＜30$
根据矩形面积公式列函数：
$S = x(60-2x) = -2x^2 + 60x$
将函数整理为顶点式：
$S = -2(x-15)^2 + 450$
该二次函数开口向下，对称轴为$x=15$，且$15$在取值范围$10≤ x＜30$内，因此当$x=15$时，$S$取得最大值，最大值为$450\ \mathrm{m}^2$。
【答案】
C
【知识点】
二次函数应用；二次函数最值；自变量取值范围
【点评】
本题是二次函数解决实际最值问题的典型题型，解题关键是先结合实际约束确定自变量的取值范围，再利用二次函数的性质求最值，避免忽略墙长限制直接计算顶点导致错误。
【难度系数】
0.7

2. 如图,要用篱笆和一面墙围一个矩形菜园ABCD,墙长26 m,AB,BC,CD使用篱笆,这三边的长度之和为40 m。设矩形菜园的边AB的长为x m,面积为S m²,AD≥AB,则下列结论正确的是()。


A.S与x之间的关系式为$S=-x^2+40x$
B.AB的长可以为14 m
C.AB的长有两个不同的值使菜园的面积为200 m²
D.菜园面积的最大值为200 m²

2.D

【分析】
首先明确矩形各边的长度关系：AB和CD为矩形的宽，长度均为x m，BC为矩形的长，由三边篱笆总长40m可得BC=40-2x m。接下来先根据实际限制条件（墙长限制、AD≥AB、边长为正）求出x的取值范围，再逐一分析每个选项：先推导面积S的表达式判断A；根据x的取值范围判断B；列面积为200的方程求解判断C；利用二次函数最值性质结合x的取值范围判断D。
【解析】
由题意得：AB=CD=x m，BC=40 - AB - CD = (40-2x) m，先求x的取值范围：
1. 边长为正：$x＞0$，$40-2x＞0$，得$x＜20$；
2. 墙长限制：$BC≤26$，即$40-2x≤26$，解得$x≥7$；
3. 已知$AD≥AB$，$AD=BC$，即$40-2x≥x$，解得$x≤\frac{40}{3}\approx13.33$；
综上x的取值范围为$7≤x≤\frac{40}{3}$。
逐一分析选项：
A选项：面积$S=AB×BC=x(40-2x)=-2x^2+40x$，与选项中$S=-x^2+40x$不符，A错误；
B选项：AB长为14m即x=14，$14＞\frac{40}{3}$，超出x的取值范围，B错误；
C选项：令$S=200$，则$-2x^2+40x=200$，整理得$x^2-20x+100=0$，即$(x-10)^2=0$，解得$x=10$，仅1个符合条件的AB值，C错误；
D选项：$S=-2x^2+40x$是开口向下的二次函数，对称轴为$x=-\frac{b}{2a}=-\frac{40}{2×(-2)}=10$，10在$7≤x≤\frac{40}{3}$范围内，代入得最大面积$S=-2×10^2+40×10=200\ \mathrm{m}^2$，D正确。
【答案】
D
【知识点】
二次函数实际应用、一元二次方程求解、不等式求取值范围
【点评】
本题是二次函数在实际生活中的应用类题目，解题关键是先结合实际限制条件确定自变量的取值范围，再结合二次函数和方程的知识逐一判断选项，不要忽略限制条件直接按纯代数问题求解，否则容易误选。
【难度系数】
0.6

3. 如图,在一块面积足够大的空地上有一面长为a m的旧墙MN,现利用这面墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD,其中AD≤MN。已知矩形菜园的一边靠墙,另三边一共用了100 m木栏。设AD的长为x m,矩形菜园ABCD面积为S m²,则S与x之间的关系式为。

$S=-\frac{1}{2}x^2+50x$

【分析】
解题时首先明确矩形靠墙的边AD不需要木栏，已知AD长为x m，根据矩形对边相等可得BC的长度也为x m；剩余两段木栏AB和CD长度相等，结合三边木栏总长为100 m，可求出AB的长度；最后根据矩形面积公式即可推导得到S与x的关系式。
【解析】
∵ 四边形ABCD是矩形，AD = x m
∴ BC = AD = x m
∵ 三边AB、BC、CD的总长度为100 m，且AB = CD
∴ $AB = \frac{100 - BC}{2} = \frac{100 - x}{2}$ m
根据矩形面积公式$S = 长 × 宽$，可得：
$S = AD × AB = x · \frac{100 - x}{2}$
整理得：$S = -\frac{1}{2}x^2 + 50x$
【答案】
$S=-\frac{1}{2}x^2+50x$
【知识点】
矩形的性质；列二次函数关系式
【点评】
本题属于实际应用类基础题，解题的核心是结合已知条件用含x的代数式表示出矩形的邻边长，再代入面积公式化简即可，需注意靠墙的边不需要消耗木栏。
【难度系数】
0.8

4.【数学应用】如图,在一面靠墙的空地上用长为24 m的篱笆围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃,墙的最大可用长度为8 m。设花圃的宽AB为x m,面积为S m²。
(1)求S与x之间的关系式;
(2)求自变量x的取值范围;
(3)当花圃的面积为20 m²时,求x的值。

解:(1)$\because AB=x\ \mathrm{m}$,
$\therefore BC=(24-4x)\mathrm{m}$,
$\therefore S=x(24-4x)=-4x^2+24x$。
(2)$\because$墙的最大可用长度为8 m,
$\therefore 0＜24-4x≤ 8$,解得$4≤ x＜6$。
(3)当$S=20$时,$-4x^2+24x=20$,
解得$x_1=1,x_2=5$。
$\because 4≤ x＜6$,
$\therefore x=5$。

【分析】
(1) 求S与x的关系式：首先确定长方形的宽为AB=x m，观察图形可知垂直于墙的篱笆共有4段，总长度为4x m，因此平行于墙的边BC的长度为篱笆总长减去4x，即(24-4x)m，再根据长方形面积=长×宽即可列出函数关系式。
(2) 求自变量x的取值范围：结合实际意义，BC的长度必须大于0，同时不能超过墙的最大可用长度8m，据此列出不等式组求解即可得到x的取值范围。
(3) 求面积为20时的x值：将S=20代入第一问得到的函数关系式，得到关于x的一元二次方程，解方程得到根后，结合第二问的x取值范围舍去不符合要求的根，即可得到正确结果。
【解析】
(1) 已知花圃的宽AB为x m，垂直于墙的篱笆共4段，因此平行于墙的边BC的长度为$(24-4x)\mathrm{m}$。
根据长方形面积公式：
$S = AB × BC = x(24-4x) = -4x^2 + 24x$
(2) 由墙的最大可用长度为8 m，且BC长度为正，可得不等式：
$0 ＜ 24 - 4x ≤ 8$
解左边不等式得$x ＜ 6$，解右边不等式得$x ≥ 4$，因此自变量x的取值范围为$4 ≤ x ＜ 6$。
(3) 当$S=20\ \mathrm{m^2}$时，代入函数关系式得：
$-4x^2 + 24x = 20$
整理得$x^2 -6x +5 =0$，因式分解得$(x-1)(x-5)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=5$。
结合$4 ≤ x ＜6$的取值范围，舍去不符合要求的$x=1$，因此$x=5$。
【答案】
(1) $S=-4x^2+24x$
(2) $4≤ x＜6$
(3) $x=5$
【知识点】
二次函数实际应用、一元二次方程解法、不等式组应用
【点评】
本题结合实际场景考查函数与方程的综合应用，解题核心是结合图形正确表示各边长度，同时要注意实际问题中自变量的取值范围需符合现实意义，求解方程后要对根进行验证，避免得到不符合实际的结果。
【难度系数】
0.7