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8. 二次函数 $ y = ax^2 + bx + c \ (a ≠ 0) $ 的图象如图所示，若 $ m = a + b + c $，$ n = 4a - 2b + c $，$ p = 2a - b $，则在 $ m $，$ n $，$ p $ 中，值小于0的有(
A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
A
)A.3个
B.2个
C.1个
D.0个
答案
8. A
解析
【分析】
解题时首先要将待判断的代数式与二次函数的函数值或系数性质对应：1. $m=a+b+c$对应x=1时的函数值，$n=4a-2b+c$对应x=-2时的函数值，可直接结合图像上对应x的点的位置判断符号；2. 判断$p=2a-b$的符号时，先由开口方向判断a的符号，再结合对称轴的范围，利用对称轴公式列不等式推导即可。
【解析】
1. 判断$m$的符号：
当$x=1$时，二次函数的函数值$y=a×1^2 + b×1 + c=a+b+c=m$，由图像可知x=1时函数图像在x轴下方，因此$y＜0$，即$m＜0$。
2. 判断$n$的符号：
当$x=-2$时，二次函数的函数值$y=a×(-2)^2 + b×(-2) + c=4a-2b+c=n$，由图像可知x=-2时函数图像在x轴下方，因此$y＜0$，即$n＜0$。
3. 判断$p$的符号：
由抛物线开口向下可得$a＜0$；抛物线的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，由图像可知对称轴在$-1＜x＜0$范围内，因此$-\frac{b}{2a} ＞ -1$。
因为$a＜0$，不等式两边同时乘$2a$（负数），不等号方向改变，得：$-b ＜ -2a$，移项得$2a - b ＜0$，即$p＜0$。
综上，$m、n、p$的值均小于0，共3个。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图象与系数的关系，二次函数的函数值，不等式的性质
【点评】
本题是二次函数图象的常考题型，解题关键是建立代数式与二次函数性质的对应关系，结合图象信息推导代数式的符号，需要熟练掌握二次函数的基本性质以及不等式的变形规则。
【难度系数】
0.6
解题时首先要将待判断的代数式与二次函数的函数值或系数性质对应：1. $m=a+b+c$对应x=1时的函数值，$n=4a-2b+c$对应x=-2时的函数值，可直接结合图像上对应x的点的位置判断符号；2. 判断$p=2a-b$的符号时，先由开口方向判断a的符号，再结合对称轴的范围，利用对称轴公式列不等式推导即可。
【解析】
1. 判断$m$的符号：
当$x=1$时，二次函数的函数值$y=a×1^2 + b×1 + c=a+b+c=m$，由图像可知x=1时函数图像在x轴下方，因此$y＜0$，即$m＜0$。
2. 判断$n$的符号：
当$x=-2$时，二次函数的函数值$y=a×(-2)^2 + b×(-2) + c=4a-2b+c=n$，由图像可知x=-2时函数图像在x轴下方，因此$y＜0$，即$n＜0$。
3. 判断$p$的符号：
由抛物线开口向下可得$a＜0$；抛物线的对称轴为$x=-\frac{b}{2a}$，由图像可知对称轴在$-1＜x＜0$范围内，因此$-\frac{b}{2a} ＞ -1$。
因为$a＜0$，不等式两边同时乘$2a$（负数），不等号方向改变，得：$-b ＜ -2a$，移项得$2a - b ＜0$，即$p＜0$。
综上，$m、n、p$的值均小于0，共3个。
【答案】
A
【知识点】
二次函数的图象与系数的关系，二次函数的函数值，不等式的性质
【点评】
本题是二次函数图象的常考题型，解题关键是建立代数式与二次函数性质的对应关系，结合图象信息推导代数式的符号，需要熟练掌握二次函数的基本性质以及不等式的变形规则。
【难度系数】
0.6
9. 对称轴为 $ x=1 $ 的抛物线 $ y=ax^2+bx+c $（$ a, b, c $ 为常数，$ a ≠ 0 $）如图所示，小明同学得出了以下结论：① $ abc ＜ 0 $；② $ b^2 ＞ 4ac $；③ $ 4a + 2b + c ＞ 0 $；④ $ 3a + c ＞ 0 $；⑤ $ a + b ≤ m(am + b) $（$ m $ 为任意实数）；⑥当 $ x ＜ -1 $ 时，$ y $ 随 $ x $ 的增大而增大。其中结论正确的为（
A.①②④
B.①③④
C.②④⑤
D.②④⑥
C
）A.①②④
B.①③④
C.②④⑤
D.②④⑥
答案
9. C
解析
【分析】
解题时先根据抛物线图像特征确定系数a、b、c的符号及关系：1.由开口方向判断a的符号；2.结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$推导b与a的关系，确定b的符号；3.由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号；再结合判别式意义、特殊点的函数值、二次函数最值性质、增减性规律，逐个判断6个结论的正误即可选出正确选项。
【解析】
解：逐个判断结论：
① 抛物线开口向上，故$a＞0$；对称轴$x=-\frac{b}{2a}=1$，推导得$b=-2a＜0$；抛物线与y轴交于负半轴，故$c＜0$，因此$abc＞0$，①错误。
② 抛物线与x轴有2个不同交点，故判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，即$b^2＞4ac$，②正确。
③ $4a+2b+c$是$x=2$时的函数值，$x=2$与$x=0$关于对称轴$x=1$对称，$x=0$时$y=c＜0$，因此$x=2$时$y=4a+2b+c=c＜0$，③错误。
④ 代入$b=-2a$得$3a+c=a-b+c$，$a-b+c$是$x=-1$时的函数值，由图像可知$x=-1$时对应点在x轴上方，$y＞0$，故$3a+c＞0$，④正确。
⑤ $x=1$时二次函数取得最小值，对任意实数m，都有$am^2+bm+c≥ a×1^2+b×1+c$，两边消去c得$am^2+bm≥ a+b$，即$a+b≤ m(am+b)$，⑤正确。
⑥ 抛物线开口向上，对称轴为$x=1$，故$x＜1$时y随x的增大而减小，因此$x＜-1$时y随x的增大而减小，⑥错误。
综上，正确结论为②④⑤，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的常考题型，解题核心是熟练掌握二次函数图像特征与系数、性质的对应关系，能结合对称轴推导对称点的函数值，利用最值性质判断不等关系，对综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时先根据抛物线图像特征确定系数a、b、c的符号及关系：1.由开口方向判断a的符号；2.结合对称轴公式$x=-\frac{b}{2a}=1$推导b与a的关系，确定b的符号；3.由抛物线与y轴的交点位置确定c的符号；再结合判别式意义、特殊点的函数值、二次函数最值性质、增减性规律，逐个判断6个结论的正误即可选出正确选项。
【解析】
解：逐个判断结论：
① 抛物线开口向上，故$a＞0$；对称轴$x=-\frac{b}{2a}=1$，推导得$b=-2a＜0$；抛物线与y轴交于负半轴，故$c＜0$，因此$abc＞0$，①错误。
② 抛物线与x轴有2个不同交点，故判别式$\Delta=b^2-4ac＞0$，即$b^2＞4ac$，②正确。
③ $4a+2b+c$是$x=2$时的函数值，$x=2$与$x=0$关于对称轴$x=1$对称，$x=0$时$y=c＜0$，因此$x=2$时$y=4a+2b+c=c＜0$，③错误。
④ 代入$b=-2a$得$3a+c=a-b+c$，$a-b+c$是$x=-1$时的函数值，由图像可知$x=-1$时对应点在x轴上方，$y＞0$，故$3a+c＞0$，④正确。
⑤ $x=1$时二次函数取得最小值，对任意实数m，都有$am^2+bm+c≥ a×1^2+b×1+c$，两边消去c得$am^2+bm≥ a+b$，即$a+b≤ m(am+b)$，⑤正确。
⑥ 抛物线开口向上，对称轴为$x=1$，故$x＜1$时y随x的增大而减小，因此$x＜-1$时y随x的增大而减小，⑥错误。
综上，正确结论为②④⑤，答案选C。
【答案】
C
【知识点】
二次函数图象与系数的关系；二次函数的性质；二次函数的最值
【点评】
本题是二次函数的常考题型，解题核心是熟练掌握二次函数图像特征与系数、性质的对应关系，能结合对称轴推导对称点的函数值，利用最值性质判断不等关系，对综合应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6
10. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线 $ y = -x^2 + bx + c $ 经过点 $ A(2, 0) $，$ B(0, 2) $，点 $ P $ 是抛物线上一动点，连接 $ BP $，$ OP $。
(1) 求这条抛物线的解析式；
(2) 已知 $ △ BOP $ 是以 $ BO $ 为底边的等腰三角形，求点 $ P $ 的坐标。
(1) 求这条抛物线的解析式；
(2) 已知 $ △ BOP $ 是以 $ BO $ 为底边的等腰三角形，求点 $ P $ 的坐标。
答案
10. 解 （1）将点$A(2, 0)$，$B(0, 2)$分别代入$y=-x^2+bx+c$.
得$\begin{cases}-4+2b+c=0,\\c=2.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=1,\\c=2.\end{cases}$ 所以这条抛物线的解析式为$y=-x^2+x+2$.
（2）因为$△ BOP$是以$BO$为底边的等腰三角形，且$OB=2$，所以点$P$的纵坐标为1.
当$y=1$时，即$-x^2+x+2=1$，
解得$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$.
所以点$P$的坐标为$(\frac{1+\sqrt{5}}{2}, 1)$或$(\frac{1-\sqrt{5}}{2}, 1)$.
得$\begin{cases}-4+2b+c=0,\\c=2.\end{cases}$ 解得$\begin{cases}b=1,\\c=2.\end{cases}$ 所以这条抛物线的解析式为$y=-x^2+x+2$.
（2）因为$△ BOP$是以$BO$为底边的等腰三角形，且$OB=2$，所以点$P$的纵坐标为1.
当$y=1$时，即$-x^2+x+2=1$，
解得$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$.
所以点$P$的坐标为$(\frac{1+\sqrt{5}}{2}, 1)$或$(\frac{1-\sqrt{5}}{2}, 1)$.
解析
【分析】
（1）求抛物线解析式时，已知抛物线上A、B两个点的坐标，解析式中仅含有b、c两个未知系数，可采用待定系数法，将两点坐标代入解析式得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出系数，进而得到解析式。
（2）△BOP是以BO为底边的等腰三角形，根据等腰三角形的性质，点P在BO的垂直平分线上。由于BO在y轴上，端点为B(0,2)、O(0,0)，因此BO的垂直平分线是直线y=1，即点P的纵坐标为1，再将y=1代入已求出的抛物线解析式，求解对应的x值即可得到点P的坐标，两个x的解均符合题意。
【解析】
（1）将点$A(2, 0)$，$B(0, 2)$分别代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}-4+2b+c=0\\c=2\end{cases}$
把$c=2$代入第一个方程，解得$b=1$。
因此抛物线的解析式为$y=-x^2+x+2$。
（2）因为$△ BOP$是以$BO$为底边的等腰三角形，且$OB=2$，所以点P在OB的垂直平分线上，可得点P的纵坐标为1。
当$y=1$时，代入解析式得：
$-x^2+x+2=1$
整理为$x^2-x-1=0$，由求根公式解得：
$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
因此点P的坐标为$(\frac{1+\sqrt{5}}{2}, 1)$或$(\frac{1-\sqrt{5}}{2}, 1)$。
【答案】
（1）$y=-x^2+x+2$；
（2）$\boldsymbol{(\frac{1+\sqrt{5}}{2}, 1)}$或$\boldsymbol{(\frac{1-\sqrt{5}}{2}, 1)}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，第一问考查待定系数法求函数解析式的常规方法，第二问将等腰三角形的性质和二次函数点的坐标特征相结合，解题关键是将等腰三角形的条件转化为点的纵坐标特征，侧重对基础知识点应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
（1）求抛物线解析式时，已知抛物线上A、B两个点的坐标，解析式中仅含有b、c两个未知系数，可采用待定系数法，将两点坐标代入解析式得到关于b、c的二元一次方程组，解方程组即可求出系数，进而得到解析式。
（2）△BOP是以BO为底边的等腰三角形，根据等腰三角形的性质，点P在BO的垂直平分线上。由于BO在y轴上，端点为B(0,2)、O(0,0)，因此BO的垂直平分线是直线y=1，即点P的纵坐标为1，再将y=1代入已求出的抛物线解析式，求解对应的x值即可得到点P的坐标，两个x的解均符合题意。
【解析】
（1）将点$A(2, 0)$，$B(0, 2)$分别代入$y=-x^2+bx+c$，得：
$\begin{cases}-4+2b+c=0\\c=2\end{cases}$
把$c=2$代入第一个方程，解得$b=1$。
因此抛物线的解析式为$y=-x^2+x+2$。
（2）因为$△ BOP$是以$BO$为底边的等腰三角形，且$OB=2$，所以点P在OB的垂直平分线上，可得点P的纵坐标为1。
当$y=1$时，代入解析式得：
$-x^2+x+2=1$
整理为$x^2-x-1=0$，由求根公式解得：
$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$，$x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$
因此点P的坐标为$(\frac{1+\sqrt{5}}{2}, 1)$或$(\frac{1-\sqrt{5}}{2}, 1)$。
【答案】
（1）$y=-x^2+x+2$；
（2）$\boldsymbol{(\frac{1+\sqrt{5}}{2}, 1)}$或$\boldsymbol{(\frac{1-\sqrt{5}}{2}, 1)}$
【知识点】
待定系数法求二次函数解析式；等腰三角形的性质；二次函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题是二次函数的基础应用题，第一问考查待定系数法求函数解析式的常规方法，第二问将等腰三角形的性质和二次函数点的坐标特征相结合，解题关键是将等腰三角形的条件转化为点的纵坐标特征，侧重对基础知识点应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
