典例2 用适当的方法解下列方程：
(1)$5(x-1)^2=125$；
(2)$x^2+4x-2=0$；
(3)$x^2-1=2(x+1)$；
(4)$x^2-3x-1=0$。
典例解析

(1) 整理, 得 $(x - 1)^2=25$.
由此可得 $x - 1=\pm5$.
$x-1=5$,或 $x-1=-5$,
即 $x_1=6,x_2=-4$.
(2) 移项,得$x^2 +4x=2$.
配方,得$x^2 +4x +2^2=2+2^2,(x+2)^2=6$.
由此可得$x+2=\pm\sqrt{6},$
$\therefore x_1=-2+\sqrt{6},x_2=-2-\sqrt{6}.$
(3) 移项,得$(x +1)(x -1)-2(x+1)=0.$
左边分解因式,得$(x +1)(x -1 -2)=0.$
于是$x+1=0,$或$x-3=0,$
即$x_1=-1,x_2=3.$
(4) 因为$a=1,b=-3,c=-1,$
所以$\Delta =b^2 -4ac=(-3)^2 -4×1×(-1)=13＞0.$方程有两个不相等的实数根 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2×1}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2},\therefore x_1=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{13}}{2}.$

举一反三 用适当的方法解下列方程：
(1)$(6x-1)^2 -25=0$；
(2)$x^2 + \frac{1}{8} = \frac{\sqrt{2}}{2}x$；
(3)$3x^2 +8x -3=0$；
(4)$5x^2=4x -1$。
$x_1=6,x_2=-4.$
(2)移项,得$x^2 +4x=2.$
配方,得$x^2 +4x +2^2=2+2^2,(x+2)^2=6.$
由此可得$x+2=\pm\sqrt{6},$
$\therefore x_1=-2+\sqrt{6},x_2=-2-\sqrt{6}.$
(3)移项,得$(x +1)(x -1)-2(x+1)=0.$
左边分解因式,得$(x +1)(x -1 -2)=0.$
于是$x+1=0,$或$x-3=0,$
即$x_1=-1,x_2=3.$
(4)因为$a=1,b=-3,c=-1,$
所以$\Delta =b^2 -4ac=(-3)^2 -4×1×(-1)=13＞0.$方程有两个不相等的实数根 $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2×1}=\frac{3\pm\sqrt{13}}{2},\therefore x_1=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{13}}{2},x_2=\frac{3}{2}-\frac{\sqrt{13}}{2}.$

(1) 移项,得$(6x-1)^2=25$.
由此可得 $6x-1=\pm5$,
$6x-1=5$,或 $6x-1=-5$,
即 $x_1=1,x_2=-\frac{2}{3}$.
(2) 整理,得 $8x^2 -4\sqrt{2}x +1=0$, 即$(2\sqrt{2}x-1)^2=0$.
由此可得 $2\sqrt{2}x-1=0,x_1=x_2=\frac{\sqrt{2}}{4}$.
(3) 整理,得 $x^2 +\frac{8}{3}x=1$.
配方,得 $x^2 +\frac{8}{3}x+(\frac{4}{3})^2=1+(\frac{4}{3})^2$,
$(x+\frac{4}{3})^2=\frac{25}{9}$.
由此可得 $x+\frac{4}{3}=\pm\frac{5}{3},x_1=\frac{1}{3},x_2=-3$.
(4) 方程化为 $5x^2 -4x +1=0$,
此时 $a=5,b=-4,c=1$,
所以 $\Delta =b^2 -4ac=(-4)^2 -4×5×1=-4＜0$.
方程无实数根.