8.如图,将一副三角尺叠放在一起.
(1)若∠CAE=58°,求∠BAE的度数;
(2)若∠CAE=2∠BAD,求∠CAD的度数.

8. 解:(1)因为∠BAC=90°,∠CAE=58°,所以∠BAE = ∠BAC − ∠CAE = 90°−58°=32°.(2)设∠BAD=x,则∠CAE=2x,所以∠BAE=90°−2x.因为∠DAE=60°,所以90°−2x+x=60°,解得x=30°.所以∠CAD = ∠BAC + ∠BAD = 90°+30°=120°.

9.(新定义题)新定义:若$∠α$的度数是$∠β$的度数的$n$倍,则$∠α$叫作$∠β$的$n$倍角.
(1)若$∠ M=10°21'$,请直接写出$∠ M$的3倍角的度数;
(2)如图①,若$∠ AOB=∠ BOC=∠ COD$,请直接写出图中$∠ AOB$的所有2倍角;
(3)如图②,若$∠ AOC$是$∠ AOB$的3倍角,$∠ COD$是$∠ AOB$的4倍角,且$∠ BOD=90°$,求$∠ BOC$的度数.

9. 解:(1)因为∠M=10°21′,所以3∠M=3×10°21′=31°3′.(2)因为∠AOB=∠BOC=∠COD,所以∠AOC=2∠AOB,∠BOD=2∠AOB.所以∠AOB的2倍角有∠AOC,∠BOD.(3)因为∠AOC是∠AOB的3倍角,∠COD是∠AOB的4倍角,所以设∠AOB = x, ∠AOC = 3x,∠COD=4x,所以∠BOC = ∠AOC − ∠AOB=2x.因为∠BOD=90°,所以∠BOC+∠COD=2x+4x=90°,解得x=15°.所以∠BOC=2x=30°.

10.(1)如图①，∠AOB是平角，过∠AOB的顶点O画射线OC，已知OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线，则∠DOE的度数是多少？为什么？
(2)如图②，∠AOB是直角，OC是∠AOB内部的一条射线，已知OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线，则∠DOE的度数是多少？为什么？
(3)已知∠AOB是直角，OC是∠AOB外的一条射线，若OD，OE分别是∠AOC，∠BOC的平分线，则∠DOE的度数是多少？为什么？

解:(1)∠DOE 的度数为 90°.理由如下：因为 OD,OE 分别是∠AOC,∠BOC 的平分线，所以 ∠DOC = 1/2 ∠AOC, ∠EOC = 1/2∠BOC,所以 ∠DOE = ∠DOC + ∠EOC = 1/2∠AOC+ 1/2∠BOC = 1/2(∠AOC + ∠BOC).因为∠AOC+∠BOC=180°,所以∠DOE=1/2×180°=90°.(2)∠DOE 的度数为 45°.理由如下：因为 OD,OE 分别是∠AOC,∠BOC 的平分线，所以 ∠DOC = 1/2 ∠AOC, ∠EOC = 1/2∠BOC.所以 ∠DOE = ∠DOC + ∠EOC = 1/2∠AOC+1/2∠BOC=1/2∠AOB=45°.(3)∠DOE 的度数为 45°或 135°.理由如下：因为 OD,OE 分别是∠AOC,∠BOC 的平分线，所以 ∠DOC = 1/2 ∠AOC, ∠EOC = 1/2∠BOC.如图①,∠DOE = ∠EOC − ∠DOC = 1/2∠BOC−1/2∠AOC=1/2∠AOB.因为∠AOB=90°,所以∠DOE=45°.如图②,∠DOE = ∠DOC + ∠EOC = 1/2∠AOC+ 1/2 ∠BOC = 1/2（360°−∠AOB）= 1/2 ×（360°−90°）= 1/2 ×270°=135°.