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1. 根据图中的数据，可得$x+y$的值为(
A.180
B.110
C.100
D.70
B
)。A.180
B.110
C.100
D.70
答案
1. B
解析
【分析】
首先观察图形可知这是一个三角形，已知其中一个内角为70°，要求另外两个内角的度数和。解题时想到三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°，只需用内角和减去已知角的度数，就能得到剩余两个角的度数之和。
【解析】
根据三角形内角和定理：任意三角形的三个内角之和等于180°。
结合图形可得：$ x° + 70° + y° = 180° $
移项计算：$ x + y = 180 - 70 = 110 $
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形内角和定理的直接应用，掌握基础公式即可快速解答。
【难度系数】
0.9
首先观察图形可知这是一个三角形，已知其中一个内角为70°，要求另外两个内角的度数和。解题时想到三角形内角和定理：三角形三个内角的和为180°，只需用内角和减去已知角的度数，就能得到剩余两个角的度数之和。
【解析】
根据三角形内角和定理：任意三角形的三个内角之和等于180°。
结合图形可得：$ x° + 70° + y° = 180° $
移项计算：$ x + y = 180 - 70 = 110 $
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形内角和定理的直接应用，掌握基础公式即可快速解答。
【难度系数】
0.9
2. 如图，在$△ ABC$中，点D，E分别在AB，AC上，$DE // BC$，若$∠ B = 70°$，$∠ AED = 50°$，则$∠ A$的度数为
60°
。答案
2. 60°
解析
【分析】
解题时先观察已知条件：DE//BC，根据平行线的性质可得到同位角相等，即∠C与∠AED相等，先求出∠C的度数；再结合三角形内角和为180°的定理，已知∠B和∠C的度数，就可以直接计算出∠A的度数。
【解析】
∵ DE//BC，根据“两直线平行，同位角相等”，
∴ ∠C = ∠AED = 50°，
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 70° - 50° = 60°
【答案】
60°
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是先利用平行线的性质推导未知角的度数，再结合三角形内角和定理完成计算，思路清晰直接，掌握基础定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时先观察已知条件：DE//BC，根据平行线的性质可得到同位角相等，即∠C与∠AED相等，先求出∠C的度数；再结合三角形内角和为180°的定理，已知∠B和∠C的度数，就可以直接计算出∠A的度数。
【解析】
∵ DE//BC，根据“两直线平行，同位角相等”，
∴ ∠C = ∠AED = 50°，
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
∠A = 180° - ∠B - ∠C = 180° - 70° - 50° = 60°
【答案】
60°
【知识点】
平行线的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是先利用平行线的性质推导未知角的度数，再结合三角形内角和定理完成计算，思路清晰直接，掌握基础定理即可顺利解答。
【难度系数】
0.8
3. 如图，在$△ ABC$中，$CE$平分$∠ ACB$，$∠ 1=∠ 2$，若$∠ ACE=23°$，求$∠ EDC$的度数.
答案
3. 解
∵CE 平分∠ACB,∠ACE=23°,
∴∠2=∠1=∠ACE=23°,
∴∠EDC = 180° − ∠1 − ∠2 = 180°−23°−23°=134°.
∵CE 平分∠ACB,∠ACE=23°,
∴∠2=∠1=∠ACE=23°,
∴∠EDC = 180° − ∠1 − ∠2 = 180°−23°−23°=134°.
解析
【分析】
解题时首先根据角平分线的定义，由CE平分∠ACB且已知∠ACE的度数，可求出∠1的度数；再结合已知条件∠1=∠2，得到∠2的度数；最后利用三角形内角和为180°，在△EDC中用180°减去∠1和∠2的度数，即可求出∠EDC的度数。
【解析】
解：
∵CE平分∠ACB，∠ACE=23°，
∴∠1=∠ACE=23°，
又
∵∠1=∠2，
∴∠2=23°，
在△EDC中，根据三角形内角和定理可得：
∠EDC = 180° − ∠1 − ∠2 = 180°−23°−23°=134°
【答案】
$134°$
【知识点】
角平分线的定义；三角形内角和定理；等量代换
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是先利用角平分线的性质和已知角的等量关系得到待求角所在三角形的两个内角的度数，再结合三角形内角和定理计算即可，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
解题时首先根据角平分线的定义，由CE平分∠ACB且已知∠ACE的度数，可求出∠1的度数；再结合已知条件∠1=∠2，得到∠2的度数；最后利用三角形内角和为180°，在△EDC中用180°减去∠1和∠2的度数，即可求出∠EDC的度数。
【解析】
解：
∵CE平分∠ACB，∠ACE=23°，
∴∠1=∠ACE=23°，
又
∵∠1=∠2，
∴∠2=23°，
在△EDC中，根据三角形内角和定理可得：
∠EDC = 180° − ∠1 − ∠2 = 180°−23°−23°=134°
【答案】
$134°$
【知识点】
角平分线的定义；三角形内角和定理；等量代换
【点评】
本题属于基础几何计算题，解题的核心是先利用角平分线的性质和已知角的等量关系得到待求角所在三角形的两个内角的度数，再结合三角形内角和定理计算即可，解题思路清晰，难度较低。
【难度系数】
0.8
4. 明明在电脑上用画图软件画出的图形如图①，AD与BC交于点O，若他拖动图形，使得$∠ B$的度数减小了$6°$，$∠ A$的度数增加了$6°$，得到的图形如图②，设图①中$∠ C+∠ D$的度数为$x°$，图②中$∠ C+∠ D$的度数为$y°$，则$x$与$y$的数量关系为(
A.$x=y$
B.$x=y-6$
C.$x=y+6$
D.$x=y-12$
A
).A.$x=y$
B.$x=y-6$
C.$x=y+6$
D.$x=y-12$
答案
4. A 解析 如题图①,由三角形的内角和定理,得∠A+∠B+∠AOB=180°,∠C+∠D+∠COD=180°.
∵∠AOB=∠COD,
∴∠A+∠B=∠C+∠D=x°.如题图②,同理可得∠A+∠B=∠C+∠D=y°.
∵∠B 的度数减小了 6°,∠A 的度数增加了 6°,
∴∠A+∠B 没有发生变化,
∴x=y.故选A.
∵∠AOB=∠COD,
∴∠A+∠B=∠C+∠D=x°.如题图②,同理可得∠A+∠B=∠C+∠D=y°.
∵∠B 的度数减小了 6°,∠A 的度数增加了 6°,
∴∠A+∠B 没有发生变化,
∴x=y.故选A.
解析
【分析】
首先观察图形，AD与BC交于点O，形成一组对顶角∠AOB和∠COD，结合对顶角相等、三角形内角和为180°的性质，可推导出∠A+∠B=∠C+∠D的等量关系。再分析角度变化：∠B减小6°，∠A增加6°，二者相加的总和保持不变，因此对应的∠C+∠D的度数也不会发生变化，据此即可判断x和y的数量关系。
【解析】
在图①中，根据三角形内角和定理：
在△AOB中，$∠ A + ∠ B + ∠ AOB = 180°$，
在△COD中，$∠ C + ∠ D + ∠ COD = 180°$，
∵∠AOB和∠COD是对顶角，
∴$∠ AOB=∠ COD$，
∴$∠ A + ∠ B = ∠ C + ∠ D = x°$。
在图②中，同理可得变化后$∠ A' + ∠ B' = ∠ C + ∠ D = y°$（$∠ A'$为变化后的∠A，$∠ B'$为变化后的∠B）。
由题意得$∠ A'=∠ A+6°$，$∠ B'=∠ B-6°$，
∴$∠ A' + ∠ B' = (∠ A + 6°) + (∠ B - 6°) = ∠ A + ∠ B$，
即∠A+∠B的和不变，因此$x=y$。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角的性质
【点评】
本题解题核心是利用对顶角相等和三角形内角和定理建立两组角和的等量关系，再通过角度变化的计算判断总和是否变化，属于基础题型，解题时不要被单个角度的增减误导。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，AD与BC交于点O，形成一组对顶角∠AOB和∠COD，结合对顶角相等、三角形内角和为180°的性质，可推导出∠A+∠B=∠C+∠D的等量关系。再分析角度变化：∠B减小6°，∠A增加6°，二者相加的总和保持不变，因此对应的∠C+∠D的度数也不会发生变化，据此即可判断x和y的数量关系。
【解析】
在图①中，根据三角形内角和定理：
在△AOB中，$∠ A + ∠ B + ∠ AOB = 180°$，
在△COD中，$∠ C + ∠ D + ∠ COD = 180°$，
∵∠AOB和∠COD是对顶角，
∴$∠ AOB=∠ COD$，
∴$∠ A + ∠ B = ∠ C + ∠ D = x°$。
在图②中，同理可得变化后$∠ A' + ∠ B' = ∠ C + ∠ D = y°$（$∠ A'$为变化后的∠A，$∠ B'$为变化后的∠B）。
由题意得$∠ A'=∠ A+6°$，$∠ B'=∠ B-6°$，
∴$∠ A' + ∠ B' = (∠ A + 6°) + (∠ B - 6°) = ∠ A + ∠ B$，
即∠A+∠B的和不变，因此$x=y$。
【答案】
A
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角的性质
【点评】
本题解题核心是利用对顶角相等和三角形内角和定理建立两组角和的等量关系，再通过角度变化的计算判断总和是否变化，属于基础题型，解题时不要被单个角度的增减误导。
【难度系数】
0.8
5.如图，∠1+∠2+∠3+∠4=
280°
。答案
5. 280° 解析
∵∠1 + ∠2 = 180°−40°=140°,同理,∠3+∠4=140°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=280°.
∵∠1 + ∠2 = 180°−40°=140°,同理,∠3+∠4=140°,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=280°.
解析
【分析】
解题时先回忆三角形内角和定理：任意三角形的内角和为180°。观察图形可知，∠1、∠2与已知的40°角是同一个小三角形的三个内角，可先求出∠1+∠2的度数；同理∠3、∠4与40°角是另一个三角形的三个内角，可求出∠3+∠4的度数，最后将两个和相加即可得到结果，无需单独计算每个角的度数，整体运算更简便。
【解析】
根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和等于180°：
1. 在含∠1、∠2和40°角的三角形中：
$∠ 1 + ∠ 2 + 40° = 180°$
因此$∠ 1 + ∠ 2 = 180° - 40° = 140°$
2. 在含∠3、∠4和40°角的三角形中：
$∠ 3 + ∠ 4 + 40° = 180°$
因此$∠ 3 + ∠ 4 = 180° - 40° = 140°$
3. 求和得：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = 140° + 140° = 280°$
【答案】
$280°$
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形内角和的基础应用题，解题核心是准确识别不同三角形的内角，采用整体代入计算的方法可快速得到结果，避免了不必要的计算步骤。
【难度系数】
0.8
解题时先回忆三角形内角和定理：任意三角形的内角和为180°。观察图形可知，∠1、∠2与已知的40°角是同一个小三角形的三个内角，可先求出∠1+∠2的度数；同理∠3、∠4与40°角是另一个三角形的三个内角，可求出∠3+∠4的度数，最后将两个和相加即可得到结果，无需单独计算每个角的度数，整体运算更简便。
【解析】
根据三角形内角和定理，任意三角形的内角和等于180°：
1. 在含∠1、∠2和40°角的三角形中：
$∠ 1 + ∠ 2 + 40° = 180°$
因此$∠ 1 + ∠ 2 = 180° - 40° = 140°$
2. 在含∠3、∠4和40°角的三角形中：
$∠ 3 + ∠ 4 + 40° = 180°$
因此$∠ 3 + ∠ 4 = 180° - 40° = 140°$
3. 求和得：
$∠ 1 + ∠ 2 + ∠ 3 + ∠ 4 = 140° + 140° = 280°$
【答案】
$280°$
【知识点】
三角形内角和定理
【点评】
本题是三角形内角和的基础应用题，解题核心是准确识别不同三角形的内角，采用整体代入计算的方法可快速得到结果，避免了不必要的计算步骤。
【难度系数】
0.8
6.某地有A，B，C三个村庄，如图，B村庄在C村庄的正西方向，A村庄在B村庄的北偏东$20°$方向，同时A村庄又在C村庄的北偏西$45°$方向，那么$∠ BAC$的度数为多少？
答案
6. 解 由题意可得∠PBC=∠QCB=90°,∠ABC=∠PBC−∠PBA=90°−20°=70°,∠ACB=∠QCB−∠ACQ=90°−45°=45°,
∴∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=180°−70°−45°=65°,
∴∠BAC的度数是65°.
∴∠BAC=180°−∠ABC−∠ACB=180°−70°−45°=65°,
∴∠BAC的度数是65°.
解析
【分析】
解题时首先结合方位角的特征，正北方向与正西、正东方向互相垂直，因此先得到∠PBC和∠QCB均为90°；接下来分别用90°减去对应的偏角，求出△ABC中∠ABC和∠ACB的度数；最后根据三角形内角和为180°，用180°减去已求出的两个角的度数，即可得到∠BAC的度数。
【解析】
由题意可知，PB、QC均为正北方向，BC为正西正东方向，因此∠PBC=∠QCB=90°。
计算∠ABC：$∠ ABC=∠ PBC-∠ PBA=90°-20°=70°$
计算∠ACB：$∠ ACB=∠ QCB-∠ ACQ=90°-45°=45°$
根据三角形内角和定理，在$△ ABC$中：
$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ ACB=180°-70°-45°=65°$
【答案】
$65°$
【知识点】
方位角的概念，三角形内角和定理
【点评】
本题是方位角与三角形内角和结合的基础应用题，解题的关键是理解方位角的含义，准确找到图中的直角，再结合三角形内角和定理计算角度，这类题型是角度计算类的常见基础题型，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合方位角的特征，正北方向与正西、正东方向互相垂直，因此先得到∠PBC和∠QCB均为90°；接下来分别用90°减去对应的偏角，求出△ABC中∠ABC和∠ACB的度数；最后根据三角形内角和为180°，用180°减去已求出的两个角的度数，即可得到∠BAC的度数。
【解析】
由题意可知，PB、QC均为正北方向，BC为正西正东方向，因此∠PBC=∠QCB=90°。
计算∠ABC：$∠ ABC=∠ PBC-∠ PBA=90°-20°=70°$
计算∠ACB：$∠ ACB=∠ QCB-∠ ACQ=90°-45°=45°$
根据三角形内角和定理，在$△ ABC$中：
$∠ BAC=180°-∠ ABC-∠ ACB=180°-70°-45°=65°$
【答案】
$65°$
【知识点】
方位角的概念，三角形内角和定理
【点评】
本题是方位角与三角形内角和结合的基础应用题，解题的关键是理解方位角的含义，准确找到图中的直角，再结合三角形内角和定理计算角度，这类题型是角度计算类的常见基础题型，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.8
7. 当三角形中一个内角α是另一个内角β的两倍时，我们称此三角形为“特征三角形”，其中角α称为“特征角”.
（1）已知一个“特征三角形”的“特征角”为$100°$，求这个“特征三角形”最小内角的度数.
（2）是否存在“特征角”为$120°$的三角形？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由.
（1）已知一个“特征三角形”的“特征角”为$100°$，求这个“特征三角形”最小内角的度数.
（2）是否存在“特征角”为$120°$的三角形？若存在，请举例说明；若不存在，请说明理由.
答案
7. 解 设三角形的三个内角分别为α,β,γ.(1)
∵α=2β,且α+β+γ=180°,
∴当α=100°时,β=50°,则γ=30°,
∴这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°.(2)不存在.
∵α=2β,且α+β+γ=180°,
∴当α=120°时,β=60°,则γ=0°,此时不能构成三角形,故不存在“特征角”为120°的三角形.
∵α=2β,且α+β+γ=180°,
∴当α=100°时,β=50°,则γ=30°,
∴这个“特征三角形”的最小内角的度数为30°.(2)不存在.
∵α=2β,且α+β+γ=180°,
∴当α=120°时,β=60°,则γ=0°,此时不能构成三角形,故不存在“特征角”为120°的三角形.
解析
【分析】
本题属于新定义类几何题，解题核心是准确理解“特征三角形”的定义，即特征角α是另一个内角β的2倍，再结合三角形内角和为180°的性质求解。
（1）已知特征角α的度数，首先根据α=2β求出β的度数，再用三角形内角和减去α和β的度数得到第三个内角的度数，最后比较三个内角的大小即可得到最小角。
（2）判断是否存在这类问题，可先假设存在，按照特征角的定义求出β的度数，再计算第三个内角的度数，若三个内角均大于0°则存在，反之不存在。
【解析】
设三角形的三个内角分别为α,β,γ。
(1) 根据“特征三角形”的定义可得α=2β，结合三角形内角和定理有α+β+γ=180°。
当α=100°时，β=100°÷2=50°，则γ=180°-100°-50°=30°。
对比三个内角的度数：30°＜50°＜100°，因此最小内角为30°。
(2) 不存在，理由如下：
假设存在“特征角”为120°的三角形，则α=120°，
由α=2β可得β=120°÷2=60°，
则第三个内角γ=180°-120°-60°=0°，不符合三角形内角大于0°的要求，无法构成三角形，因此不存在这样的三角形。
【答案】
(1) 30°；
(2) 不存在，当特征角为120°时，另一个内角为60°，第三个内角为0°，不能构成三角形。
【知识点】
三角形内角和定理；新定义问题
【点评】
本题结合新定义考查三角形基础性质的应用，解题关键是读懂新定义的规则，注意三角形内角均为正数的隐含条件，题型基础，主要考查信息提取能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
本题属于新定义类几何题，解题核心是准确理解“特征三角形”的定义，即特征角α是另一个内角β的2倍，再结合三角形内角和为180°的性质求解。
（1）已知特征角α的度数，首先根据α=2β求出β的度数，再用三角形内角和减去α和β的度数得到第三个内角的度数，最后比较三个内角的大小即可得到最小角。
（2）判断是否存在这类问题，可先假设存在，按照特征角的定义求出β的度数，再计算第三个内角的度数，若三个内角均大于0°则存在，反之不存在。
【解析】
设三角形的三个内角分别为α,β,γ。
(1) 根据“特征三角形”的定义可得α=2β，结合三角形内角和定理有α+β+γ=180°。
当α=100°时，β=100°÷2=50°，则γ=180°-100°-50°=30°。
对比三个内角的度数：30°＜50°＜100°，因此最小内角为30°。
(2) 不存在，理由如下：
假设存在“特征角”为120°的三角形，则α=120°，
由α=2β可得β=120°÷2=60°，
则第三个内角γ=180°-120°-60°=0°，不符合三角形内角大于0°的要求，无法构成三角形，因此不存在这样的三角形。
【答案】
(1) 30°；
(2) 不存在，当特征角为120°时，另一个内角为60°，第三个内角为0°，不能构成三角形。
【知识点】
三角形内角和定理；新定义问题
【点评】
本题结合新定义考查三角形基础性质的应用，解题关键是读懂新定义的规则，注意三角形内角均为正数的隐含条件，题型基础，主要考查信息提取能力和基础计算能力。
【难度系数】
0.8
