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典例1 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$EF// AB$，$∠ B=39°$，则$∠ 1$的度数为（
A.$39°$
B.$51°$
C.$38°$
D.$52°$
温馨提示 利用直角三角形两个锐角互余的性质求一个锐角的度数时，必须指明是在同一个直角三角形中.
B
）.A.$39°$
B.$51°$
C.$38°$
D.$52°$
温馨提示 利用直角三角形两个锐角互余的性质求一个锐角的度数时，必须指明是在同一个直角三角形中.
答案
典例1 答案B
解析 在$Rt△ ABC$中，$\because ∠ C = 90°$，$∠ B = 39°$，$\therefore ∠ A = 90° - ∠ B = 51°$。
$\because EF// AB$，$\therefore ∠ 1 = ∠ A$，$\therefore ∠ 1 = 51°$。
故选B。
规律方法 直角三角形的判定方法：
(1)证明三角形中有一个内角为$90°$(或证明三角形的两条边互相垂直)；
(2)证明三角形中有两个内角互余；
(3)证明三角形中有一个内角与该三角形外已知的直角相等。
解析
【分析】
首先从已知条件入手，已知△ABC是直角三角形，∠C为直角，且给出了∠B的度数，可先利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠A的度数；再结合EF与AB平行的条件，根据平行线的同位角相等性质，就能推导出∠1的度数。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$\because ∠C = 90°$，$∠B = 39°$，
$\therefore ∠A = 90° - ∠B = 90° - 39° = 51°$。
$\because EF// AB$，两直线平行，同位角相等，
$\therefore ∠1 = ∠A = 51°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形性质；平行线性质；同位角
【点评】
本题属于基础几何计算题，综合考查直角三角形和平行线的核心性质，解题逻辑清晰，熟练掌握对应基础知识点即可快速作答，是平面几何的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
首先从已知条件入手，已知△ABC是直角三角形，∠C为直角，且给出了∠B的度数，可先利用直角三角形两锐角互余的性质求出∠A的度数；再结合EF与AB平行的条件，根据平行线的同位角相等性质，就能推导出∠1的度数。
【解析】
在$Rt△ABC$中，$\because ∠C = 90°$，$∠B = 39°$，
$\therefore ∠A = 90° - ∠B = 90° - 39° = 51°$。
$\because EF// AB$，两直线平行，同位角相等，
$\therefore ∠1 = ∠A = 51°$。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
直角三角形性质；平行线性质；同位角
【点评】
本题属于基础几何计算题，综合考查直角三角形和平行线的核心性质，解题逻辑清晰，熟练掌握对应基础知识点即可快速作答，是平面几何的常见基础题型。
【难度系数】
0.8
举一反三 在$△ ABC$中，$∠ C = 90°$，$∠ A = 2∠ B$，则$∠ A$的度数是(
A.$45°$
B.$30°$
C.$90°$
D.$60°$
D
)。A.$45°$
B.$30°$
C.$90°$
D.$60°$
答案
1. D
解析
【分析】
解决这道题的思路是先结合三角形内角和定理与直角三角形的特征，得到两个锐角的和，再根据题目给出的∠A和∠B的倍数关系，代入计算即可求出∠A的度数。首先我们知道任意三角形内角和为180°，题中△ABC是直角三角形，∠C=90°，因此剩余两个锐角∠A和∠B的和为90°；再结合已知∠A=2∠B，将∠A替换为含∠B的表达式，就可以先算出∠B的度数，进而求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵三角形内角和为180°，在△ABC中∠C=90°
∴∠A + ∠B = 180° - ∠C = 180° - 90° = 90°
又
∵已知∠A = 2∠B，将其代入上式可得：
2∠B + ∠B = 90°
即3∠B = 90°，解得∠B = 30°
∴∠A = 2∠B = 2×30° = 60°
故选D。
【答案】D
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用直角三角形两个锐角的数量关系结合已知倍数条件求解角度，熟练掌握三角形内角和相关性质就能快速解答。
【难度系数】
0.9
解决这道题的思路是先结合三角形内角和定理与直角三角形的特征，得到两个锐角的和，再根据题目给出的∠A和∠B的倍数关系，代入计算即可求出∠A的度数。首先我们知道任意三角形内角和为180°，题中△ABC是直角三角形，∠C=90°，因此剩余两个锐角∠A和∠B的和为90°；再结合已知∠A=2∠B，将∠A替换为含∠B的表达式，就可以先算出∠B的度数，进而求出∠A的度数。
【解析】
解：
∵三角形内角和为180°，在△ABC中∠C=90°
∴∠A + ∠B = 180° - ∠C = 180° - 90° = 90°
又
∵已知∠A = 2∠B，将其代入上式可得：
2∠B + ∠B = 90°
即3∠B = 90°，解得∠B = 30°
∴∠A = 2∠B = 2×30° = 60°
故选D。
【答案】D
【知识点】
三角形内角和定理；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础题型，核心是利用直角三角形两个锐角的数量关系结合已知倍数条件求解角度，熟练掌握三角形内角和相关性质就能快速解答。
【难度系数】
0.9
典例2 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$∠ ACD=∠ B$. 求证：$△ CDB$是直角三角形.
典例解析
典例解析
答案
典例2 证明
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°.
∵∠ACD=∠B，
∴∠B+∠DCB=90°，
∴△CDB是直角三角形.
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°.
∵∠ACD=∠B，
∴∠B+∠DCB=90°，
∴△CDB是直角三角形.
解析
【分析】
要证明△CDB是直角三角形，核心是证明该三角形存在一个内角为90°。我们可以从已知条件逐步推导：首先已知∠ACB=90°，可将其拆分为∠ACD与∠DCB的和，得到∠ACD+∠DCB=90°；再结合题目给出的∠ACD=∠B的条件，通过等量代换把∠ACD替换为∠B，即可得到△CDB中两个内角的和为90°，进而推出第三个角为90°，完成证明。
【解析】
证明：
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠B+∠DCB=90°，
∴△CDB是直角三角形。
【答案】
证明：
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠B+∠DCB=90°，
∴△CDB是直角三角形。
【知识点】
直角三角形的判定；角的和差计算；等量代换
【点评】
本题是基础的几何证明题型，解题的核心是理清角之间的数量关系，通过等量代换推导得到待证三角形的内角特征，能够锻炼基础的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.9
要证明△CDB是直角三角形，核心是证明该三角形存在一个内角为90°。我们可以从已知条件逐步推导：首先已知∠ACB=90°，可将其拆分为∠ACD与∠DCB的和，得到∠ACD+∠DCB=90°；再结合题目给出的∠ACD=∠B的条件，通过等量代换把∠ACD替换为∠B，即可得到△CDB中两个内角的和为90°，进而推出第三个角为90°，完成证明。
【解析】
证明：
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠B+∠DCB=90°，
∴△CDB是直角三角形。
【答案】
证明：
∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°，
∵∠ACD=∠B，
∴∠B+∠DCB=90°，
∴△CDB是直角三角形。
【知识点】
直角三角形的判定；角的和差计算；等量代换
【点评】
本题是基础的几何证明题型，解题的核心是理清角之间的数量关系，通过等量代换推导得到待证三角形的内角特征，能够锻炼基础的逻辑推理能力。
【难度系数】
0.9
举一反三 在△ABC中，若∠A=42°，∠B=48°，则△ABC是(
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
典例2
证明 ∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°.
∵∠ACD=∠B，
∴∠B+∠DCB=90°，
∴△CDB是直角三角形.
B
).A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
典例2
证明 ∵∠ACB=90°，
∴∠ACD+∠DCB=90°.
∵∠ACD=∠B，
∴∠B+∠DCB=90°，
∴△CDB是直角三角形.
答案
2. B
解析
【分析】
要判断△ABC的类型，已知两个内角的度数，我们可以利用三角形内角和为180°的性质，先求出第三个内角的度数，再根据三角形按角分类的标准确定三角形的类型。
【解析】
解：由三角形内角和定理可知，三角形三个内角的和为180°，因此第三个角的度数为：
∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 42° - 48° = 90°
有一个内角为90°（直角）的三角形是直角三角形，因此△ABC是直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题是基础类题目，主要考查三角形内角和的应用和三角形类型的判断，熟练掌握三角形内角和为180°的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
要判断△ABC的类型，已知两个内角的度数，我们可以利用三角形内角和为180°的性质，先求出第三个内角的度数，再根据三角形按角分类的标准确定三角形的类型。
【解析】
解：由三角形内角和定理可知，三角形三个内角的和为180°，因此第三个角的度数为：
∠C = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 42° - 48° = 90°
有一个内角为90°（直角）的三角形是直角三角形，因此△ABC是直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；三角形按角分类
【点评】
本题是基础类题目，主要考查三角形内角和的应用和三角形类型的判断，熟练掌握三角形内角和为180°的性质即可快速解题。
【难度系数】
0.9
