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7.已知坐标平面内有一点$ A(m-1,2m+3) $.
(1)点A在二、四象限的角平分线上,求点A的坐标.
(2)点A到y轴的距离为2时,求点A的坐标.
(1)点A在二、四象限的角平分线上,求点A的坐标.
(2)点A到y轴的距离为2时,求点A的坐标.
答案
7.(1)$A(-\dfrac{5}{3},-\dfrac{5}{3})$ (2)$(2,9)$或$(-2,1)$
8. 如图，平面直角坐标系中有一正方形OABC，点C的坐标为(-2,-1)，则点B的坐标为
$(-3,1)$
。答案
8.$(-3,1)$
解析
【分析】
要确定点B的坐标，可利用正方形的性质：四条边相等、相邻边夹角为90°，通过构造直角三角形证明全等，将已知点C的坐标转化为线段长度，进而计算点B的横、纵坐标。具体思考步骤：①过点C作平行于x轴的直线，分别过O、B作该直线的垂线，得到两个直角三角形；②利用同角的余角相等证明两个直角三角形的对应角相等，结合正方形边相等的性质证明三角形全等；③根据点C的坐标求出全等三角形的对应边长，再结合点C的坐标计算点B的坐标。
【解析】
解：过点C作直线MN//x轴，过点O作OD⊥MN于点D，过点B作BE⊥MN于点E，
则$∠ ODC=∠ CEB=90°$，
$\therefore ∠ COD + ∠ OCD=90°$，
∵四边形OABC是正方形，
$\therefore OC=BC$，$∠ OCB=90°$，
$\therefore ∠ OCD + ∠ BCE=180° - 90°=90°$，
$\therefore ∠ COD=∠ BCE$，
在$△ ODC$和$△ CEB$中：
$\{\begin{array}{l}∠ ODC=∠ CEB \\∠ COD=∠ BCE \\OC=CB\end{array} $
$\therefore △ ODC≌△ CEB$（AAS），
∵点C坐标为$(-2,-1)$，MN为直线$y=-1$，
$\therefore OD=\vert 0 - (-1)\vert=1$，$DC=\vert 0 - (-2)\vert=2$，
由全等得：$CE=OD=1$，$BE=DC=2$，
∵点B在点C的左上方，
∴点B的横坐标为：$-2 - 1=-3$，
点B的纵坐标为：$-1 + 2=1$。
【答案】
$(-3,1)$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题属于坐标与几何的综合题，解题核心是通过构造合适的辅助线得到全等三角形，实现坐标与线段长度的互相转化，能有效考查学生的几何直观和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
要确定点B的坐标，可利用正方形的性质：四条边相等、相邻边夹角为90°，通过构造直角三角形证明全等，将已知点C的坐标转化为线段长度，进而计算点B的横、纵坐标。具体思考步骤：①过点C作平行于x轴的直线，分别过O、B作该直线的垂线，得到两个直角三角形；②利用同角的余角相等证明两个直角三角形的对应角相等，结合正方形边相等的性质证明三角形全等；③根据点C的坐标求出全等三角形的对应边长，再结合点C的坐标计算点B的坐标。
【解析】
解：过点C作直线MN//x轴，过点O作OD⊥MN于点D，过点B作BE⊥MN于点E，
则$∠ ODC=∠ CEB=90°$，
$\therefore ∠ COD + ∠ OCD=90°$，
∵四边形OABC是正方形，
$\therefore OC=BC$，$∠ OCB=90°$，
$\therefore ∠ OCD + ∠ BCE=180° - 90°=90°$，
$\therefore ∠ COD=∠ BCE$，
在$△ ODC$和$△ CEB$中：
$\{\begin{array}{l}∠ ODC=∠ CEB \\∠ COD=∠ BCE \\OC=CB\end{array} $
$\therefore △ ODC≌△ CEB$（AAS），
∵点C坐标为$(-2,-1)$，MN为直线$y=-1$，
$\therefore OD=\vert 0 - (-1)\vert=1$，$DC=\vert 0 - (-2)\vert=2$，
由全等得：$CE=OD=1$，$BE=DC=2$，
∵点B在点C的左上方，
∴点B的横坐标为：$-2 - 1=-3$，
点B的纵坐标为：$-1 + 2=1$。
【答案】
$(-3,1)$
【知识点】
正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平面直角坐标系中点的坐标
【点评】
本题属于坐标与几何的综合题，解题核心是通过构造合适的辅助线得到全等三角形，实现坐标与线段长度的互相转化，能有效考查学生的几何直观和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6
9.已知点$ M(1 - m, m - 3) $，则点$ M $不可能在 （
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
A
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
9.A
解析
【分析】
解决本题的核心是结合平面直角坐标系各象限的坐标符号特征，用分类讨论的思想逐一验证点M在各象限时是否存在符合条件的m值：首先明确四个象限横、纵坐标的正负要求，再分别假设点M在对应象限，列出一元一次不等式组，若不等式组无解，说明点M不可能在该象限。
【解析】
平面直角坐标系中四个象限的点的坐标符号特征为：第一象限（+，+）、第二象限（-，+）、第三象限（-，-）、第四象限（+，-），分情况讨论如下：
1. 若点M在第一象限，需满足：
$\begin{cases}1-m＞0 \\ m-3＞0\end{cases}$
解第一个不等式得$m＜1$，解第二个不等式得$m＞3$，该不等式组无公共解，不存在符合条件的m值，故点M不可能在第一象限。
2. 若点M在第二象限，需满足：
$\begin{cases}1-m＜0 \\ m-3＞0\end{cases}$
解得公共解集为$m＞3$，即当$m＞3$时，点M在第二象限，存在可能。
3. 若点M在第三象限，需满足：
$\begin{cases}1-m＜0 \\ m-3＜0\end{cases}$
解得公共解集为$1＜m＜3$，即当$1＜m＜3$时，点M在第三象限，存在可能。
4. 若点M在第四象限，需满足：
$\begin{cases}1-m＞0 \\ m-3＜0\end{cases}$
解得公共解集为$m＜1$，即当$m＜1$时，点M在第四象限，存在可能。
综上，点M不可能在第一象限。
【答案】
A
【知识点】
象限内点的坐标特征；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是坐标性质与不等式组的综合应用题，用到分类讨论的数学思想，解题关键是准确记忆各象限坐标的符号规律，正确求解不等式组的公共解集。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是结合平面直角坐标系各象限的坐标符号特征，用分类讨论的思想逐一验证点M在各象限时是否存在符合条件的m值：首先明确四个象限横、纵坐标的正负要求，再分别假设点M在对应象限，列出一元一次不等式组，若不等式组无解，说明点M不可能在该象限。
【解析】
平面直角坐标系中四个象限的点的坐标符号特征为：第一象限（+，+）、第二象限（-，+）、第三象限（-，-）、第四象限（+，-），分情况讨论如下：
1. 若点M在第一象限，需满足：
$\begin{cases}1-m＞0 \\ m-3＞0\end{cases}$
解第一个不等式得$m＜1$，解第二个不等式得$m＞3$，该不等式组无公共解，不存在符合条件的m值，故点M不可能在第一象限。
2. 若点M在第二象限，需满足：
$\begin{cases}1-m＜0 \\ m-3＞0\end{cases}$
解得公共解集为$m＞3$，即当$m＞3$时，点M在第二象限，存在可能。
3. 若点M在第三象限，需满足：
$\begin{cases}1-m＜0 \\ m-3＜0\end{cases}$
解得公共解集为$1＜m＜3$，即当$1＜m＜3$时，点M在第三象限，存在可能。
4. 若点M在第四象限，需满足：
$\begin{cases}1-m＞0 \\ m-3＜0\end{cases}$
解得公共解集为$m＜1$，即当$m＜1$时，点M在第四象限，存在可能。
综上，点M不可能在第一象限。
【答案】
A
【知识点】
象限内点的坐标特征；一元一次不等式组的解法
【点评】
本题是坐标性质与不等式组的综合应用题，用到分类讨论的数学思想，解题关键是准确记忆各象限坐标的符号规律，正确求解不等式组的公共解集。
【难度系数】
0.7
10.如图，$△ ABC$各顶点在格点处.
(1)写出$△ ABC$各顶点的坐标.
(2)过A作$AD ⊥ BC$于D，求$AD · BC$的值.
(1)写出$△ ABC$各顶点的坐标.
(2)过A作$AD ⊥ BC$于D，求$AD · BC$的值.
答案
10.(1)$A(-2,-1),B(2,-2),C(5,2)$ (2)19
解析
【分析】
(1) 确定平面直角坐标系内格点的坐标，只需分别读取各点对应的横坐标（x轴对应数值）和纵坐标（y轴对应数值）即可。
(2) 所求$AD·BC$中，$AD$是$BC$边上的高，结合三角形面积公式$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD$，可推出$AD·BC=2S_{△ABC}$，因此只需先利用割补法计算出$△ ABC$的面积，再乘2即可得到结果，避免了分别计算$AD$、$BC$长度的复杂运算。
【解析】
(1) 观察坐标系中各点位置：
点$A$的横坐标为$-2$，纵坐标为$-1$，即$A(-2,-1)$；
点$B$的横坐标为$2$，纵坐标为$-2$，即$B(2,-2)$；
点$C$的横坐标为$5$，纵坐标为$2$，即$C(5,2)$。
(2) 先用割补法计算$△ ABC$的面积：
取包围$△ ABC$的矩形，横向从$x=-2$到$x=5$，纵向从$y=-2$到$y=2$，矩形面积为$(5-(-2))×(2-(-2))=7×4=28$。
减去矩形内$△ ABC$外的三个直角三角形的面积：
① 左下角直角三角形：底为$2-(-2)=4$，高为$-1-(-2)=1$，面积为$\frac{1}{2}×4×1=2$；
② 右下角直角三角形：底为$5-2=3$，高为$2-(-2)=4$，面积为$\frac{1}{2}×3×4=6$；
③ 左上角直角三角形：底为$5-(-2)=7$，高为$2-(-1)=3$，面积为$\frac{1}{2}×7×3=10.5$。
因此$S_{△ABC}=28-2-6-10.5=9.5$。
根据三角形面积公式$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD$，可得：
$AD·BC=2S_{△ABC}=2×9.5=19$。
【答案】
(1) $A(-2,-1),B(2,-2),C(5,2)$；(2) $19$
【知识点】
平面直角坐标系点的坐标；割补法求格点面积；三角形面积公式
【点评】
本题属于格点坐标系基础题型，第一问考查坐标的基本认读，第二问通过面积公式将所求乘积转化为两倍三角形面积，简化了运算，体现了转化思想在几何计算中的应用，是格点面积类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
(1) 确定平面直角坐标系内格点的坐标，只需分别读取各点对应的横坐标（x轴对应数值）和纵坐标（y轴对应数值）即可。
(2) 所求$AD·BC$中，$AD$是$BC$边上的高，结合三角形面积公式$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD$，可推出$AD·BC=2S_{△ABC}$，因此只需先利用割补法计算出$△ ABC$的面积，再乘2即可得到结果，避免了分别计算$AD$、$BC$长度的复杂运算。
【解析】
(1) 观察坐标系中各点位置：
点$A$的横坐标为$-2$，纵坐标为$-1$，即$A(-2,-1)$；
点$B$的横坐标为$2$，纵坐标为$-2$，即$B(2,-2)$；
点$C$的横坐标为$5$，纵坐标为$2$，即$C(5,2)$。
(2) 先用割补法计算$△ ABC$的面积：
取包围$△ ABC$的矩形，横向从$x=-2$到$x=5$，纵向从$y=-2$到$y=2$，矩形面积为$(5-(-2))×(2-(-2))=7×4=28$。
减去矩形内$△ ABC$外的三个直角三角形的面积：
① 左下角直角三角形：底为$2-(-2)=4$，高为$-1-(-2)=1$，面积为$\frac{1}{2}×4×1=2$；
② 右下角直角三角形：底为$5-2=3$，高为$2-(-2)=4$，面积为$\frac{1}{2}×3×4=6$；
③ 左上角直角三角形：底为$5-(-2)=7$，高为$2-(-1)=3$，面积为$\frac{1}{2}×7×3=10.5$。
因此$S_{△ABC}=28-2-6-10.5=9.5$。
根据三角形面积公式$S_{△ABC}=\frac{1}{2}×BC×AD$，可得：
$AD·BC=2S_{△ABC}=2×9.5=19$。
【答案】
(1) $A(-2,-1),B(2,-2),C(5,2)$；(2) $19$
【知识点】
平面直角坐标系点的坐标；割补法求格点面积；三角形面积公式
【点评】
本题属于格点坐标系基础题型，第一问考查坐标的基本认读，第二问通过面积公式将所求乘积转化为两倍三角形面积，简化了运算，体现了转化思想在几何计算中的应用，是格点面积类问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
11.如图,在平面直角坐标系xOy中,三角板的直角顶点P的坐标为(1,1),三角板绕点P在坐标平面内旋转,一条直角边与x轴的正半轴交于点A,另一条直角边与y轴交于点B.
(1)连结AB,请判断△PAB是什么三角形,并说明理由.
(2)在三角板绕点P旋转的过程中,OA+OB是定值吗?若是,请求出定值;若不是,请说明理由.
(3)当△POA为等腰三角形时,请直接写出所有满足条件的点B的坐标.
(1)连结AB,请判断△PAB是什么三角形,并说明理由.
(2)在三角板绕点P旋转的过程中,OA+OB是定值吗?若是,请求出定值;若不是,请说明理由.
(3)当△POA为等腰三角形时,请直接写出所有满足条件的点B的坐标.
答案
11.(1)为等腰直角三角形，理由略 (2)是定值，$OA+OB=2$
(3)$B(0,1)$或$(0,0)$或$(0,2-\sqrt{2})$
(3)$B(0,1)$或$(0,0)$或$(0,2-\sqrt{2})$
解析
【分析】
(1)要判断△PAB的形状，已知∠APB是直角，只需证明PA=PB即可。可过点P作x轴、y轴的垂线构造全等三角形，结合点P的坐标得两条垂线段相等，利用同角的余角相等找全等条件，证明△PBD≌△PAC得到PA=PB，即可判断三角形形状。
(2)判断OA+OB是否为定值，可利用(1)的全等结论，将OA、OB转化为已知长度的线段和差，结合P点横纵坐标均为1的特点计算即可得到定值。
(3)△POA为等腰三角形时，需分OA=OP、OP=PA、OA=PA三种情况讨论，分别计算每种情况下OA的长度，再结合全等得到的BD=AC的关系求出OB的长度，即可得到点B的坐标，注意排除不符合题意的情况。
【解析】
(1)△PAB是等腰直角三角形，理由如下：
过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，
∴∠PDB=∠PCA=90°，
∵P(1,1)，
∴PC=PD=1，
∵∠CPD=90°，∠APB=90°，
∴∠DPB+∠BPC=∠CPA+∠BPC=90°，
∴∠DPB=∠CPA，
在△DPB和△CPA中：
$\{\begin{array}{l}∠ PDB=∠ PCA\\ PD=PC\\ ∠ DPB=∠ CPA\end{array} $
∴△DPB≌△CPA(ASA)，
∴PB=PA，又
∵∠APB=90°，
∴△PAB是等腰直角三角形。
(2)OA+OB是定值，定值为2，理由如下：
由(1)中△DPB≌△CPA得BD=AC，
∵OA=OC+AC=1+AC，OB=OD-BD=1-BD，
∴OA+OB=(1+AC)+(1-BD)，
又
∵AC=BD，
∴OA+OB=1+1=2，是定值。
(3)首先计算OP的长度：$OP=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，分三种情况讨论：
①当$OA=OP=\sqrt{2}$时：
$AC=OA-OC=\sqrt{2}-1$，由BD=AC得$BD=\sqrt{2}-1$，
∴$OB=OD-BD=1-(\sqrt{2}-1)=2-\sqrt{2}$，即B$(0,2-\sqrt{2})$；
②当$OP=PA=\sqrt{2}$时：
∵PC⊥OA，
∴OC=AC=1，OA=OC+AC=2，
∴BD=AC=1，$OB=OD-BD=1-1=0$，即B(0,0)；
③当$OA=PA$时：
设OA=x，则PA=x，AC=x-1，
在Rt△PCA中，由勾股定理得：$PC^2+AC^2=PA^2$，
即$1^2+(x-1)^2=x^2$，解得x=1，
∴AC=0，BD=AC=0，OB=OD-BD=1，即B(0,1)。
综上，满足条件的B点坐标为(0,1)、(0,0)、$(0,2-\sqrt{2})$。
【答案】
(1)等腰直角三角形；
(2)是定值，$OA+OB=2$；
(3)$B(0,1)$或$(0,0)$或$(0,2-\sqrt{2})$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形判定，等腰三角形分类讨论
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系与几何变换的结合，解题的关键是通过作垂线构造全等三角形，将未知线段转化为已知线段进行计算；对于等腰三角形的问题要注意分情况讨论，避免漏解，同时要结合图形判断解是否符合题意。
【难度系数】
0.6
(1)要判断△PAB的形状，已知∠APB是直角，只需证明PA=PB即可。可过点P作x轴、y轴的垂线构造全等三角形，结合点P的坐标得两条垂线段相等，利用同角的余角相等找全等条件，证明△PBD≌△PAC得到PA=PB，即可判断三角形形状。
(2)判断OA+OB是否为定值，可利用(1)的全等结论，将OA、OB转化为已知长度的线段和差，结合P点横纵坐标均为1的特点计算即可得到定值。
(3)△POA为等腰三角形时，需分OA=OP、OP=PA、OA=PA三种情况讨论，分别计算每种情况下OA的长度，再结合全等得到的BD=AC的关系求出OB的长度，即可得到点B的坐标，注意排除不符合题意的情况。
【解析】
(1)△PAB是等腰直角三角形，理由如下：
过点P作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，
∴∠PDB=∠PCA=90°，
∵P(1,1)，
∴PC=PD=1，
∵∠CPD=90°，∠APB=90°，
∴∠DPB+∠BPC=∠CPA+∠BPC=90°，
∴∠DPB=∠CPA，
在△DPB和△CPA中：
$\{\begin{array}{l}∠ PDB=∠ PCA\\ PD=PC\\ ∠ DPB=∠ CPA\end{array} $
∴△DPB≌△CPA(ASA)，
∴PB=PA，又
∵∠APB=90°，
∴△PAB是等腰直角三角形。
(2)OA+OB是定值，定值为2，理由如下：
由(1)中△DPB≌△CPA得BD=AC，
∵OA=OC+AC=1+AC，OB=OD-BD=1-BD，
∴OA+OB=(1+AC)+(1-BD)，
又
∵AC=BD，
∴OA+OB=1+1=2，是定值。
(3)首先计算OP的长度：$OP=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$，分三种情况讨论：
①当$OA=OP=\sqrt{2}$时：
$AC=OA-OC=\sqrt{2}-1$，由BD=AC得$BD=\sqrt{2}-1$，
∴$OB=OD-BD=1-(\sqrt{2}-1)=2-\sqrt{2}$，即B$(0,2-\sqrt{2})$；
②当$OP=PA=\sqrt{2}$时：
∵PC⊥OA，
∴OC=AC=1，OA=OC+AC=2，
∴BD=AC=1，$OB=OD-BD=1-1=0$，即B(0,0)；
③当$OA=PA$时：
设OA=x，则PA=x，AC=x-1，
在Rt△PCA中，由勾股定理得：$PC^2+AC^2=PA^2$，
即$1^2+(x-1)^2=x^2$，解得x=1，
∴AC=0，BD=AC=0，OB=OD-BD=1，即B(0,1)。
综上，满足条件的B点坐标为(0,1)、(0,0)、$(0,2-\sqrt{2})$。
【答案】
(1)等腰直角三角形；
(2)是定值，$OA+OB=2$；
(3)$B(0,1)$或$(0,0)$或$(0,2-\sqrt{2})$
【知识点】
全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形判定，等腰三角形分类讨论
【点评】
本题综合考查平面直角坐标系与几何变换的结合，解题的关键是通过作垂线构造全等三角形，将未知线段转化为已知线段进行计算；对于等腰三角形的问题要注意分情况讨论，避免漏解，同时要结合图形判断解是否符合题意。
【难度系数】
0.6
