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10.计算下列各题：
(1)$\frac{5}{21} ÷ (-\frac{1}{7})$；
(2)$(-1) ÷ (-1.5)$；
(3)$(-3) ÷ (-\frac{2}{5}) ÷ (-\frac{1}{4})$；
(4)$(-3) ÷ [(-\frac{2}{5}) ÷ (-\frac{1}{4})]$。
(1)$\frac{5}{21} ÷ (-\frac{1}{7})$；
(2)$(-1) ÷ (-1.5)$；
(3)$(-3) ÷ (-\frac{2}{5}) ÷ (-\frac{1}{4})$；
(4)$(-3) ÷ [(-\frac{2}{5}) ÷ (-\frac{1}{4})]$。
答案
解：
(1) 原式$=\frac{5}{21} × (-7)$
$=-\frac{5 × 7}{21}$
$=-\frac{5}{3}$
(2) 原式$=(-1) ÷ (-\frac{3}{2})$
$=(-1) × (-\frac{2}{3})$
$=\frac{2}{3}$
(3) 原式$=(-3) × (-\frac{5}{2}) × (-4)$
$=-3 × \frac{5}{2} × 4$
$=-3 × 5 × 2$
$=-30$
(4) 原式$=(-3) ÷ [(-\frac{2}{5}) × (-4)]$
$=(-3) ÷ \frac{8}{5}$
$=(-3) × \frac{5}{8}$
$=-\frac{15}{8}$
(1) 原式$=\frac{5}{21} × (-7)$
$=-\frac{5 × 7}{21}$
$=-\frac{5}{3}$
(2) 原式$=(-1) ÷ (-\frac{3}{2})$
$=(-1) × (-\frac{2}{3})$
$=\frac{2}{3}$
(3) 原式$=(-3) × (-\frac{5}{2}) × (-4)$
$=-3 × \frac{5}{2} × 4$
$=-3 × 5 × 2$
$=-30$
(4) 原式$=(-3) ÷ [(-\frac{2}{5}) × (-4)]$
$=(-3) ÷ \frac{8}{5}$
$=(-3) × \frac{5}{8}$
$=-\frac{15}{8}$
解析
【分析】
解决这组有理数除法计算题，核心依据是有理数除法法则：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数，运算时先确定结果符号（同号得正，异号得负），再计算绝对值。具体思路：(1)直接将除法转化为乘法，约分后得到结果；(2)先把小数转化为分数，再按除法法则计算；(3)连除运算从左到右依次转化为乘法，先确定符号（3个负因数，结果为负），再计算绝对值，可先约分简化计算；(4)有括号的运算先算括号内的内容，再算括号外的除法，每一步都要注意符号判断。
【解析】
(1) 原式$=\frac{5}{21} × (-7)$
$=-\frac{5 × 7}{21}$
$=-\frac{5}{3}$
(2) 原式$=(-1) ÷ (-\frac{3}{2})$
$=(-1) × (-\frac{2}{3})$
$=\frac{2}{3}$
(3) 原式$=(-3) × (-\frac{5}{2}) × (-4)$
$=-3 × \frac{5}{2} × 4$
$=-3 × 5 × 2$
$=-30$
(4) 原式$=(-3) ÷ [(-\frac{2}{5}) × (-4)]$
$=(-3) ÷ \frac{8}{5}$
$=(-3) × \frac{5}{8}$
$=-\frac{15}{8}$
【答案】
(1)$-\frac{5}{3}$；(2)$\frac{2}{3}$；(3)$-30$；(4)$-\frac{15}{8}$
【知识点】
有理数除法法则，乘除混合运算，四则运算顺序
【点评】
本题是有理数除法的基础训练题，重点考查除法转乘法的转化思想，需要注意运算结果的符号判断，计算时优先约分可降低计算量，带括号的运算要遵循先算括号内、再算括号外的顺序，避免因运算顺序错误失分。
【难度系数】
0.7
解决这组有理数除法计算题，核心依据是有理数除法法则：除以一个不为0的数，等于乘这个数的倒数，运算时先确定结果符号（同号得正，异号得负），再计算绝对值。具体思路：(1)直接将除法转化为乘法，约分后得到结果；(2)先把小数转化为分数，再按除法法则计算；(3)连除运算从左到右依次转化为乘法，先确定符号（3个负因数，结果为负），再计算绝对值，可先约分简化计算；(4)有括号的运算先算括号内的内容，再算括号外的除法，每一步都要注意符号判断。
【解析】
(1) 原式$=\frac{5}{21} × (-7)$
$=-\frac{5 × 7}{21}$
$=-\frac{5}{3}$
(2) 原式$=(-1) ÷ (-\frac{3}{2})$
$=(-1) × (-\frac{2}{3})$
$=\frac{2}{3}$
(3) 原式$=(-3) × (-\frac{5}{2}) × (-4)$
$=-3 × \frac{5}{2} × 4$
$=-3 × 5 × 2$
$=-30$
(4) 原式$=(-3) ÷ [(-\frac{2}{5}) × (-4)]$
$=(-3) ÷ \frac{8}{5}$
$=(-3) × \frac{5}{8}$
$=-\frac{15}{8}$
【答案】
(1)$-\frac{5}{3}$；(2)$\frac{2}{3}$；(3)$-30$；(4)$-\frac{15}{8}$
【知识点】
有理数除法法则，乘除混合运算，四则运算顺序
【点评】
本题是有理数除法的基础训练题，重点考查除法转乘法的转化思想，需要注意运算结果的符号判断，计算时优先约分可降低计算量，带括号的运算要遵循先算括号内、再算括号外的顺序，避免因运算顺序错误失分。
【难度系数】
0.7
11.规定：$a △ b = (-\frac{1}{a}) ÷ \frac{b}{2}$，例如，$2 △ 3 = (-\frac{1}{2}) ÷ \frac{3}{2} = -\frac{1}{3}$。试求$(2 △ 7) △ 4$的值。
答案
解：
先计算括号内的$2△7$：
$2△7 = (-\dfrac{1}{2}) ÷ \dfrac{7}{2} = (-\dfrac{1}{2}) × \dfrac{2}{7} = -\dfrac{1}{7}$
再计算$(-\dfrac{1}{7})△4$：
$(-\dfrac{1}{7})△4 = (-\dfrac{1}{-\dfrac{1}{7}}) ÷ \dfrac{4}{2} = 7 ÷ 2 = \dfrac{7}{2}$
所以$(2△7)△4$的值为$\dfrac{7}{2}$。
先计算括号内的$2△7$：
$2△7 = (-\dfrac{1}{2}) ÷ \dfrac{7}{2} = (-\dfrac{1}{2}) × \dfrac{2}{7} = -\dfrac{1}{7}$
再计算$(-\dfrac{1}{7})△4$：
$(-\dfrac{1}{7})△4 = (-\dfrac{1}{-\dfrac{1}{7}}) ÷ \dfrac{4}{2} = 7 ÷ 2 = \dfrac{7}{2}$
所以$(2△7)△4$的值为$\dfrac{7}{2}$。
解析
【分析】
这是新定义运算类题目，首先要明确题目给出的运算规则：$a△b$等于$a$的倒数的相反数除以$b$的一半。运算时遵循混合运算顺序，有括号先算括号内的，先算出$2△7$的结果，再把这个结果作为新的$a$，和4按照新运算规则计算，就能得到最终结果。
【解析】
第一步：先计算括号内的$2△7$，此时$a=2$，$b=7$，代入新运算规则：
$2△7 = (-\dfrac{1}{2}) ÷ \dfrac{7}{2} = (-\dfrac{1}{2}) × \dfrac{2}{7} = -\dfrac{1}{7}$
第二步：计算$(-\dfrac{1}{7})△4$，此时新的$a=-\dfrac{1}{7}$，$b=4$，代入新运算规则：
$(-\dfrac{1}{7})△4 = (-\dfrac{1}{-\dfrac{1}{7}}) ÷ \dfrac{4}{2} = 7 ÷ 2 = \dfrac{7}{2}$
【答案】
$\dfrac{7}{2}$
【知识点】
新定义运算、有理数的除法
【点评】
解决这类题的核心是准确理解新定义的运算规则，严格按照规则代入数值计算，运算时要注意顺序，同时留意有理数除法运算中的符号变化，避免因看错运算对象或符号失误丢分。
【难度系数】
0.7
这是新定义运算类题目，首先要明确题目给出的运算规则：$a△b$等于$a$的倒数的相反数除以$b$的一半。运算时遵循混合运算顺序，有括号先算括号内的，先算出$2△7$的结果，再把这个结果作为新的$a$，和4按照新运算规则计算，就能得到最终结果。
【解析】
第一步：先计算括号内的$2△7$，此时$a=2$，$b=7$，代入新运算规则：
$2△7 = (-\dfrac{1}{2}) ÷ \dfrac{7}{2} = (-\dfrac{1}{2}) × \dfrac{2}{7} = -\dfrac{1}{7}$
第二步：计算$(-\dfrac{1}{7})△4$，此时新的$a=-\dfrac{1}{7}$，$b=4$，代入新运算规则：
$(-\dfrac{1}{7})△4 = (-\dfrac{1}{-\dfrac{1}{7}}) ÷ \dfrac{4}{2} = 7 ÷ 2 = \dfrac{7}{2}$
【答案】
$\dfrac{7}{2}$
【知识点】
新定义运算、有理数的除法
【点评】
解决这类题的核心是准确理解新定义的运算规则，严格按照规则代入数值计算，运算时要注意顺序，同时留意有理数除法运算中的符号变化，避免因看错运算对象或符号失误丢分。
【难度系数】
0.7
12. 请仔细阅读,并解答问题.
两个有理数$a,b$满足$a,b$同号,求$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}$的值.
解:由$a,b$同号可知$a,b$有两种可能:$a,b$都是正数;$a,b$都是负数.
①若$a,b$都是正数,即$a＞0,b＞0$,有$|a|=a,|b|=b$,则$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}=\frac{a}{a}+\frac{b}{b}=1+1=2$;
②若$a,b$都是负数,即$a＜0,b＜0$,有$|a|=-a,|b|=-b$,则$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}=\frac{-a}{a}+\frac{-b}{b}=(-1)+(-1)=-2$.
所以$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}$的值为2或-2.
请根据上面的解题思路解答下面的问题:
两个有理数$a,b$满足$a,b$异号,求$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}$的值.
两个有理数$a,b$满足$a,b$同号,求$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}$的值.
解:由$a,b$同号可知$a,b$有两种可能:$a,b$都是正数;$a,b$都是负数.
①若$a,b$都是正数,即$a＞0,b＞0$,有$|a|=a,|b|=b$,则$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}=\frac{a}{a}+\frac{b}{b}=1+1=2$;
②若$a,b$都是负数,即$a＜0,b＜0$,有$|a|=-a,|b|=-b$,则$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}=\frac{-a}{a}+\frac{-b}{b}=(-1)+(-1)=-2$.
所以$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}$的值为2或-2.
请根据上面的解题思路解答下面的问题:
两个有理数$a,b$满足$a,b$异号,求$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}$的值.
答案
解：由a,b异号可知，a,b有两种可能：a为正数，b为负数；a为负数，b为正数。
①若a是正数，b是负数，即$a＞0,b＜0$，有$|a|=a,|b|=-b$，则$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}=\frac{a}{a}+\frac{-b}{b}=1+(-1)=0$；
②若a是负数，b是正数，即$a＜0,b＞0$，有$|a|=-a,|b|=b$，则$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}=\frac{-a}{a}+\frac{b}{b}=(-1)+1=0$。
所以$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}$的值为0。
①若a是正数，b是负数，即$a＞0,b＜0$，有$|a|=a,|b|=-b$，则$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}=\frac{a}{a}+\frac{-b}{b}=1+(-1)=0$；
②若a是负数，b是正数，即$a＜0,b＞0$，有$|a|=-a,|b|=b$，则$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}=\frac{-a}{a}+\frac{b}{b}=(-1)+1=0$。
所以$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}$的值为0。
解析
【分析】
首先根据题目中a,b异号的条件，可确定存在两种情况：a为正数、b为负数，或者a为负数、b为正数。接下来结合绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数），分别对两种情况去掉绝对值符号，再依据有理数的除法法则化简计算，最后汇总两种情况的结果即可得到答案。
【解析】
由a,b异号可知，a,b有两种可能：a为正数，b为负数；a为负数，b为正数。
①若a是正数，b是负数，即$a＞0,b＜0$，有$|a|=a,|b|=-b$，则$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}=\frac{a}{a}+\frac{-b}{b}=1+(-1)=0$；
②若a是负数，b是正数，即$a＜0,b＞0$，有$|a|=-a,|b|=b$，则$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}=\frac{-a}{a}+\frac{b}{b}=(-1)+1=0$。
所以$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}$的值为0。
【答案】
0
【知识点】
绝对值的性质；有理数的除法；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查分类讨论的思想，解题的核心是根据两数异号的条件准确分类，再结合绝对值的性质化简计算，分类时要做到不重不漏。
【难度系数】
0.8
首先根据题目中a,b异号的条件，可确定存在两种情况：a为正数、b为负数，或者a为负数、b为正数。接下来结合绝对值的性质（正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数），分别对两种情况去掉绝对值符号，再依据有理数的除法法则化简计算，最后汇总两种情况的结果即可得到答案。
【解析】
由a,b异号可知，a,b有两种可能：a为正数，b为负数；a为负数，b为正数。
①若a是正数，b是负数，即$a＞0,b＜0$，有$|a|=a,|b|=-b$，则$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}=\frac{a}{a}+\frac{-b}{b}=1+(-1)=0$；
②若a是负数，b是正数，即$a＜0,b＞0$，有$|a|=-a,|b|=b$，则$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}=\frac{-a}{a}+\frac{b}{b}=(-1)+1=0$。
所以$\frac{|a|}{a}+\frac{|b|}{b}$的值为0。
【答案】
0
【知识点】
绝对值的性质；有理数的除法；分类讨论思想
【点评】
本题重点考查分类讨论的思想，解题的核心是根据两数异号的条件准确分类，再结合绝对值的性质化简计算，分类时要做到不重不漏。
【难度系数】
0.8
