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1. 下列方程是关于x的一元二次方程的是 (
A.$3(x+1)^{2}= 2(x+1)$
B.$\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}-2= 0$
C.$ax^{2}+bx+c= 0$
D.$x^{2}+2x= x^{2}-1$
A
)A.$3(x+1)^{2}= 2(x+1)$
B.$\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x}-2= 0$
C.$ax^{2}+bx+c= 0$
D.$x^{2}+2x= x^{2}-1$
答案
A
解析
A. 对于方程 $3(x+1)^{2} = 2(x+1)$，展开后得到 $3x^2 + 6x + 3 = 2x + 2$，进一步整理为 $3x^2 + 4x + 1 = 0$。此方程满足一元二次方程的定义，因为它只含有一个未知数 $x$，且 $x$ 的最高次数为 $2$，并且二次项系数不为 $0$。
B. 对于方程 $\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 2 = 0$，由于含有分式，它不是整式方程，因此不满足一元二次方程的定义。
C. 对于方程 $ax^{2} + bx + c = 0$，当 $a \neq 0$ 时，它是一元二次方程。但题目没有明确 $a \neq 0$，因此不能确定它总是一元二次方程。
D. 对于方程 $x^{2} + 2x = x^{2} - 1$，整理后得到 $2x + 1 = 0$，这是一个一元一次方程，因为 $x$ 的最高次数为 $1$。
B. 对于方程 $\frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{x} - 2 = 0$，由于含有分式，它不是整式方程，因此不满足一元二次方程的定义。
C. 对于方程 $ax^{2} + bx + c = 0$，当 $a \neq 0$ 时，它是一元二次方程。但题目没有明确 $a \neq 0$，因此不能确定它总是一元二次方程。
D. 对于方程 $x^{2} + 2x = x^{2} - 1$，整理后得到 $2x + 1 = 0$，这是一个一元一次方程，因为 $x$ 的最高次数为 $1$。
2. 若方程$(m^{2}-m-2)x^{2}+mx+n= 0$是关于x的一元二次方程,则m的取值范围是 (
A.$m≠1$
B.$m≠2$
C.$m≠-1或m≠2$
D.$m≠-1且m≠2$
D
)A.$m≠1$
B.$m≠2$
C.$m≠-1或m≠2$
D.$m≠-1且m≠2$
答案
D
解析
要使方程 $(m^2 - m - 2)x^2 + mx + n = 0$ 是关于 $x$ 的一元二次方程，必须保证 $x^2$ 的系数不为零，即：
$m^2 - m - 2 \neq 0$，
解这个不等式，首先对 $m^2 - m - 2$ 进行因式分解：
$m^2 - m - 2 = (m - 2)(m + 1)$，
所以，不等式变为：
$(m - 2)(m + 1) \neq 0$，
这意味着 $m \neq 2$ 且 $m \neq -1$。
$m^2 - m - 2 \neq 0$，
解这个不等式，首先对 $m^2 - m - 2$ 进行因式分解：
$m^2 - m - 2 = (m - 2)(m + 1)$，
所以，不等式变为：
$(m - 2)(m + 1) \neq 0$，
这意味着 $m \neq 2$ 且 $m \neq -1$。
3. 已知$x= 1是一元二次方程x^{2}-2mx+1= 0$的一个解,则m的值是 (
A.1
B.0
C.0或1
D.0或-1
A
)A.1
B.0
C.0或1
D.0或-1
答案
A
解析
已知 $ x = 1 $ 是方程 $ x^2 - 2mx + 1 = 0 $ 的一个解，代入 $ x = 1 $ 得：
$1^2 - 2m \cdot 1 + 1 = 0$，
$1 - 2m + 1 = 0$，
$2 - 2m = 0$，
$2m = 2$，
$m = 1$。
$1^2 - 2m \cdot 1 + 1 = 0$，
$1 - 2m + 1 = 0$，
$2 - 2m = 0$，
$2m = 2$，
$m = 1$。
4. 方程$x^{2}-12= 0$的解是 (
A.$x_{1}= x_{2}= 3$
B.$x_{1}= x_{2}= 2$
C.$x_{1}= 2\sqrt{3},x_{2}= -2\sqrt{3}$
D.$x_{1}= 9,x_{2}= -12$
C
)A.$x_{1}= x_{2}= 3$
B.$x_{1}= x_{2}= 2$
C.$x_{1}= 2\sqrt{3},x_{2}= -2\sqrt{3}$
D.$x_{1}= 9,x_{2}= -12$
答案
答题卡：
解：
由方程 $x^{2} - 12 = 0$，
移项得 $x^{2} = 12$，
对方程两边同时开平方，得 $x = \pm \sqrt{12}$，
化简得 $x = \pm 2\sqrt{3}$，
所以，方程的解为 $x_{1} = 2\sqrt{3}$，$x_{2} = -2\sqrt{3}$。
故选 C。
解：
由方程 $x^{2} - 12 = 0$，
移项得 $x^{2} = 12$，
对方程两边同时开平方，得 $x = \pm \sqrt{12}$，
化简得 $x = \pm 2\sqrt{3}$，
所以，方程的解为 $x_{1} = 2\sqrt{3}$，$x_{2} = -2\sqrt{3}$。
故选 C。
5. 设一元二次方程$x^{2}-3x-6= 0的两个实数根为x_{1}和x_{2}$,则下列结论正确的是 (
A.$x_{1}+x_{2}= 3$
B.$x_{1}+x_{2}= -6$
C.$x_{1}x_{2}= -3$
D.$x_{1}x_{2}= 6$
A
)A.$x_{1}+x_{2}= 3$
B.$x_{1}+x_{2}= -6$
C.$x_{1}x_{2}= -3$
D.$x_{1}x_{2}= 6$
答案
答题卡：
5. 解：
对于一元二次方程 $ax^{2} + bx + c = 0$，其两个实数根 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 满足：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a}$
$x_{1}x_{2} = \frac{c}{a}$
对于方程 $x^{2} - 3x - 6 = 0$，其中 $a = 1, b = -3, c = -6$。
根据根与系数的关系，有：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{-3}{1} = 3$
$x_{1}x_{2} = \frac{-6}{1} = -6$
对比选项，得：
A. $x_{1} + x_{2} = 3$ 正确；
B. $x_{1} + x_{2} = -6$ 错误；
C. $x_{1}x_{2} = -3$ 错误；
D. $x_{1}x_{2} = 6$ 错误。
故正确答案为 A。
5. 解：
对于一元二次方程 $ax^{2} + bx + c = 0$，其两个实数根 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ 满足：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{b}{a}$
$x_{1}x_{2} = \frac{c}{a}$
对于方程 $x^{2} - 3x - 6 = 0$，其中 $a = 1, b = -3, c = -6$。
根据根与系数的关系，有：
$x_{1} + x_{2} = -\frac{-3}{1} = 3$
$x_{1}x_{2} = \frac{-6}{1} = -6$
对比选项，得：
A. $x_{1} + x_{2} = 3$ 正确；
B. $x_{1} + x_{2} = -6$ 错误；
C. $x_{1}x_{2} = -3$ 错误；
D. $x_{1}x_{2} = 6$ 错误。
故正确答案为 A。
6. 甲、乙两个同学分别解一个一元二次方程,甲因把一次项系数看错了,而解得方程两根为-3和5；乙把常数项看错了,解得两根为$2+\sqrt{6}和2-\sqrt{6}$,则原方程是 (
A.$x^{2}+4x-15= 0$
B.$x^{2}-4x+15= 0$
C.$x^{2}+4x+15= 0$
D.$x^{2}-4x-15= 0$
D
)A.$x^{2}+4x-15= 0$
B.$x^{2}-4x+15= 0$
C.$x^{2}+4x+15= 0$
D.$x^{2}-4x-15= 0$
答案
D
解析
根据一元二次方程根与系数的关系（韦达定理），对于方程$x^2 + bx + c = 0$（二次项系数为1），两根$x_1$、$x_2$满足$x_1 + x_2 = -b$，$x_1x_2 = c$。
1. 求常数项$c$：
甲看错一次项系数$b$，但常数项$c$正确。甲解得两根为$-3$和$5$，则两根之积$c = (-3) × 5 = -15$。
2. 求一次项系数$b$：
乙看错常数项$c$，但一次项系数$b$正确。乙解得两根为$2+\sqrt{6}$和$2-\sqrt{6}$，则两根之和$-b = (2+\sqrt{6}) + (2-\sqrt{6}) = 4$，故$b = -4$。
3. 确定原方程：
原方程为$x^2 - 4x - 15 = 0$。
1. 求常数项$c$：
甲看错一次项系数$b$，但常数项$c$正确。甲解得两根为$-3$和$5$，则两根之积$c = (-3) × 5 = -15$。
2. 求一次项系数$b$：
乙看错常数项$c$，但一次项系数$b$正确。乙解得两根为$2+\sqrt{6}$和$2-\sqrt{6}$，则两根之和$-b = (2+\sqrt{6}) + (2-\sqrt{6}) = 4$，故$b = -4$。
3. 确定原方程：
原方程为$x^2 - 4x - 15 = 0$。
7. 用配方法解方程$x^{2}+3x= 2$,应把方程的两边同时 (
A.加$\frac{9}{4}$
B.加$\frac{1}{2}$
C.减$\frac{9}{4}$
D.减$\frac{1}{2}$
A
)A.加$\frac{9}{4}$
B.加$\frac{1}{2}$
C.减$\frac{9}{4}$
D.减$\frac{1}{2}$
答案
A
解析
给定方程为$x^{2}+3x= 2$，为了配方，我们需要找到一个数，使得$x^{2}+3x$可以变为一个完全平方的形式。
考虑$x^{2}+3x$，为了使其成为完全平方，我们需要加上$\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$。
这样，方程$x^{2}+3x= 2$可以变形为$x^{2}+3x+\frac{9}{4}= 2+\frac{9}{4}$，即$(x+\frac{3}{2})^{2}=\frac{17}{4}$。
从上述过程中，我们可以看到，为了配方，我们需要在方程的两边同时加上$\frac{9}{4}$。
考虑$x^{2}+3x$，为了使其成为完全平方，我们需要加上$\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$。
这样，方程$x^{2}+3x= 2$可以变形为$x^{2}+3x+\frac{9}{4}= 2+\frac{9}{4}$，即$(x+\frac{3}{2})^{2}=\frac{17}{4}$。
从上述过程中，我们可以看到，为了配方，我们需要在方程的两边同时加上$\frac{9}{4}$。
8. 若两个连续整数的积是42,则它们的和是 (
A.11
B.13
C.-13
D.±13
D
)A.11
B.13
C.-13
D.±13
答案
设两个连续整数为$x$和$x + 1$。
根据题意，有方程：
$x(x + 1) = 42$
展开方程得：
$x^2 + x - 42 = 0$
因式分解方程：
$(x - 6)(x + 7) = 0$
解得：
$x_1 = 6, \quad x_2 = -7$
当$x = 6$时，另一个整数为$x + 1 = 7$，两数之和为$6 + 7 = 13$。
当$x = -7$时，另一个整数为$x + 1 = -6$，两数之和为$-7 + (-6) = -13$。
故答案为：D. $\pm 13$
根据题意，有方程：
$x(x + 1) = 42$
展开方程得：
$x^2 + x - 42 = 0$
因式分解方程：
$(x - 6)(x + 7) = 0$
解得：
$x_1 = 6, \quad x_2 = -7$
当$x = 6$时，另一个整数为$x + 1 = 7$，两数之和为$6 + 7 = 13$。
当$x = -7$时，另一个整数为$x + 1 = -6$，两数之和为$-7 + (-6) = -13$。
故答案为：D. $\pm 13$
9. 不解方程,判断下列方程中无解的是 (
A.$-x^{2}= 2x-1$
B.$4x^{2}+4x+\frac{5}{4}= 0$
C.$\sqrt{2}x^{2}-x-\sqrt{3}= 0$
D.$(x+2)(x-3)= -5$
B
)A.$-x^{2}= 2x-1$
B.$4x^{2}+4x+\frac{5}{4}= 0$
C.$\sqrt{2}x^{2}-x-\sqrt{3}= 0$
D.$(x+2)(x-3)= -5$
答案
A. 对于方程 $-x^{2} = 2x - 1$，整理得：
$x^{2} + 2x - 1 = 0$
其中，$a = 1, b = 2, c = -1$。
计算判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac = 2^{2} - 4(1)(-1) = 8 ＞ 0$
所以，此方程有两个不相等的实数根。
B. 对于方程 $4x^{2} + 4x + \frac{5}{4} = 0$，
其中，$a = 4, b = 4, c = \frac{5}{4}$。
计算判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac = 4^{2} - 4(4)(\frac{5}{4}) = -4 ＜ 0$
所以，此方程无实数根。
C. 对于方程 $\sqrt{2}x^{2} - x - \sqrt{3} = 0$，
其中，$a = \sqrt{2}, b = -1, c = -\sqrt{3}$。
计算判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-1)^{2} - 4(\sqrt{2})(-\sqrt{3}) = 1 + 4\sqrt{6} ＞ 0$
所以，此方程有两个不相等的实数根。
D. 对于方程 $(x + 2)(x - 3) = -5$，整理得：
$x^{2} - x - 6 = -5$
$x^{2} - x - 1 = 0$
其中，$a = 1, b = -1, c = -1$。
计算判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-1)^{2} - 4(1)(-1) = 5 ＞ 0$
所以，此方程有两个不相等的实数根。
综上，只有B选项的方程无实数根。
故答案为：B。
$x^{2} + 2x - 1 = 0$
其中，$a = 1, b = 2, c = -1$。
计算判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac = 2^{2} - 4(1)(-1) = 8 ＞ 0$
所以，此方程有两个不相等的实数根。
B. 对于方程 $4x^{2} + 4x + \frac{5}{4} = 0$，
其中，$a = 4, b = 4, c = \frac{5}{4}$。
计算判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac = 4^{2} - 4(4)(\frac{5}{4}) = -4 ＜ 0$
所以，此方程无实数根。
C. 对于方程 $\sqrt{2}x^{2} - x - \sqrt{3} = 0$，
其中，$a = \sqrt{2}, b = -1, c = -\sqrt{3}$。
计算判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-1)^{2} - 4(\sqrt{2})(-\sqrt{3}) = 1 + 4\sqrt{6} ＞ 0$
所以，此方程有两个不相等的实数根。
D. 对于方程 $(x + 2)(x - 3) = -5$，整理得：
$x^{2} - x - 6 = -5$
$x^{2} - x - 1 = 0$
其中，$a = 1, b = -1, c = -1$。
计算判别式：
$\Delta = b^{2} - 4ac = (-1)^{2} - 4(1)(-1) = 5 ＞ 0$
所以，此方程有两个不相等的实数根。
综上，只有B选项的方程无实数根。
故答案为：B。
10. 把方程$(x-\sqrt{5})(x+\sqrt{5})+(2x-1)^{2}= 0$化为一元二次方程的一般形式是 (
A.$5x^{2}-4x-4= 0$
B.$x^{2}-5= 0$
C.$5x^{2}-2x+1= 0$
D.$5x^{2}-4x+6= 0$
A
)A.$5x^{2}-4x-4= 0$
B.$x^{2}-5= 0$
C.$5x^{2}-2x+1= 0$
D.$5x^{2}-4x+6= 0$
答案
A
解析
首先展开方程左边的两个乘积项：
1. $(x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) = x^2 - (\sqrt{5})^2 = x^2 - 5$
2. $(2x - 1)^2 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2 = 4x^2 - 4x + 1$
将展开后的结果相加：
$x^2 - 5 + 4x^2 - 4x + 1 = 0$
合并同类项：
$x^2 + 4x^2 = 5x^2$，$-5 + 1 = -4$，因此方程化为：
$5x^2 - 4x - 4 = 0$
11. 用
因式分解
法解方程$3(x-2)^{2}= 2x-4$比较简便.答案
因式分解
解析：首先将方程右边的$2x - 4$变形为$2(x - 2)$，原方程可化为$3(x - 2)^2 - 2(x - 2) = 0$，然后提取公因式$(x - 2)$，得到$(x - 2)[3(x - 2) - 2] = 0$，即$(x - 2)(3x - 6 - 2) = 0$，进一步化简为$(x - 2)(3x - 8) = 0$，这种通过提取公因式进行因式分解求解的方法较为简便。
解析：首先将方程右边的$2x - 4$变形为$2(x - 2)$，原方程可化为$3(x - 2)^2 - 2(x - 2) = 0$，然后提取公因式$(x - 2)$，得到$(x - 2)[3(x - 2) - 2] = 0$，即$(x - 2)(3x - 6 - 2) = 0$，进一步化简为$(x - 2)(3x - 8) = 0$，这种通过提取公因式进行因式分解求解的方法较为简便。
12. 如果$2x^{2}+1与4x^{2}-2x-5$互为相反数,则x的值为
$x_{1}=-\frac{2}{3}$，$x_{2}=1$
.答案
由题意，$2x^{2} + 1$与$4x^{2} - 2x - 5$互为相反数，
即$2x^{2} + 1 + 4x^{2} - 2x - 5 = 0$，
整理得：$6x^{2} - 2x - 4 = 0$，
即$3x^{2} - x - 2 = 0$，
因式分解得：$(3x + 2)(x - 1) = 0$，
解得：$x_{1} = - \frac{2}{3}$，$x_{2} = 1$。
故答案为：$x_{1} = - \frac{2}{3}$，$x_{2} = 1$。
即$2x^{2} + 1 + 4x^{2} - 2x - 5 = 0$，
整理得：$6x^{2} - 2x - 4 = 0$，
即$3x^{2} - x - 2 = 0$，
因式分解得：$(3x + 2)(x - 1) = 0$，
解得：$x_{1} = - \frac{2}{3}$，$x_{2} = 1$。
故答案为：$x_{1} = - \frac{2}{3}$，$x_{2} = 1$。
13. 如果关于x的一元二次方程$2x(kx-4)-x^{2}+6= 0$没有实数根,那么k的最小整数值是
2
.答案
1. 将方程化为一般形式：$2x(kx - 4)-x^{2}+6 = 0$展开得$2kx^{2}-8x - x^{2}+6 = 0$，合并同类项得$(2k - 1)x^{2}-8x + 6 = 0$。
2. 方程为一元二次方程，故$2k - 1\neq0$，即$k\neq\frac{1}{2}$。
3. 方程无实数根，判别式$\Delta＜0$。其中$a = 2k - 1$，$b=-8$，$c = 6$，$\Delta=(-8)^{2}-4(2k - 1)×6=64 - 24(2k - 1)=88 - 48k$。
4. 解不等式$88 - 48k＜0$，得$k＞\frac{11}{6}\approx1.83$。
5. 大于$1.83$的最小整数为2，且$k = 2$时，$2k - 1=3\neq0$，满足一元二次方程条件。
2
2. 方程为一元二次方程，故$2k - 1\neq0$，即$k\neq\frac{1}{2}$。
3. 方程无实数根，判别式$\Delta＜0$。其中$a = 2k - 1$，$b=-8$，$c = 6$，$\Delta=(-8)^{2}-4(2k - 1)×6=64 - 24(2k - 1)=88 - 48k$。
4. 解不等式$88 - 48k＜0$，得$k＞\frac{11}{6}\approx1.83$。
5. 大于$1.83$的最小整数为2，且$k = 2$时，$2k - 1=3\neq0$，满足一元二次方程条件。
2
