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3. 在一个直角三角形中,两直角边长分别为$3和4$,下列说法正确的是(
A.斜边长为$25$
B.三角形的周长为$25$
C.斜边长为$5$
D.三角形的面积为$20$
C
)。A.斜边长为$25$
B.三角形的周长为$25$
C.斜边长为$5$
D.三角形的面积为$20$
答案
C
解析
在直角三角形中，两直角边分别为$3$和$4$。
根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5$。
三角形周长为$3 + 4 + 5=12$。
三角形面积为$\frac{1}{2}×3×4 = 6$。
综上，正确的是C。
根据勾股定理，斜边长为$\sqrt{3^{2}+4^{2}}=\sqrt{9 + 16}=\sqrt{25}=5$。
三角形周长为$3 + 4 + 5=12$。
三角形面积为$\frac{1}{2}×3×4 = 6$。
综上，正确的是C。
4. 以直角三角形的两条直角边为边向外作正方形,它们的面积分别是$6和3$,则斜边长是
3
。答案
3
解析
设直角三角形的两条直角边分别为$a$、$b$，斜边长为$c$。
因为以直角边为边的正方形面积分别是$6$和$3$，所以$a^{2}=6$，$b^{2}=3$。
根据勾股定理$c^{2}=a^{2}+b^{2}$，可得$c^{2}=6 + 3=9$，则$c=\sqrt{9}=3$。
3
因为以直角边为边的正方形面积分别是$6$和$3$，所以$a^{2}=6$，$b^{2}=3$。
根据勾股定理$c^{2}=a^{2}+b^{2}$，可得$c^{2}=6 + 3=9$，则$c=\sqrt{9}=3$。
3
5. 在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,$AB = 34$,并且$AC:BC = 8:15$,则$AC = $
16
,$BC = $30
。答案
16 30
解析
设$AC = 8k$，$BC = 15k$（$k＞0$）。
在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，由勾股定理得：$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$。
即$(8k)^{2}+(15k)^{2}=34^{2}$，$64k^{2}+225k^{2}=1156$，$289k^{2}=1156$，$k^{2}=4$，解得$k = 2$（$k=-2$舍去）。
所以$AC=8k=8×2 = 16$，$BC=15k=15×2 = 30$。
16 30
在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，由勾股定理得：$AC^{2}+BC^{2}=AB^{2}$。
即$(8k)^{2}+(15k)^{2}=34^{2}$，$64k^{2}+225k^{2}=1156$，$289k^{2}=1156$，$k^{2}=4$，解得$k = 2$（$k=-2$舍去）。
所以$AC=8k=8×2 = 16$，$BC=15k=15×2 = 30$。
16 30
6. 在$\triangle ABC$中,$\angle C = 90^{\circ}$,若$a:b = 3:4$,且$c = 10\mathrm{cm}$,则$S_{\triangle ABC}= $
24
$\mathrm{cm}^{2}$。答案
24
解析
设$a = 3k$，$b = 4k$（$k＞0$）。
在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，由勾股定理得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
$(3k)^{2}+(4k)^{2}=10^{2}$，即$9k^{2}+16k^{2}=100$，$25k^{2}=100$，$k^{2}=4$，解得$k = 2$（$k=-2$舍去）。
$a=3k=6$，$b=4k=8$。
$S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{1}{2}×6×8=24$。
24
在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，由勾股定理得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$。
$(3k)^{2}+(4k)^{2}=10^{2}$，即$9k^{2}+16k^{2}=100$，$25k^{2}=100$，$k^{2}=4$，解得$k = 2$（$k=-2$舍去）。
$a=3k=6$，$b=4k=8$。
$S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}ab=\dfrac{1}{2}×6×8=24$。
24
7. 已知直角三角形的一个锐角为$60^{\circ}$,斜边长为$1$,则此直角三角形两条直角边长的平方和是
1
。答案
1
解析
在直角三角形中，根据勾股定理，两条直角边长的平方和等于斜边长的平方。已知斜边长为$1$，所以两条直角边长的平方和为$1^2 = 1$。
1
1
8. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = AC$,$\triangle ABC的高BN$,$CM交于点P$。
(1)$PB = PC$吗？为什么？
(2)若$PB = 5$,$PN = 3$,求$AB$的长。
(1)$PB = PC$吗？为什么？
(2)若$PB = 5$,$PN = 3$,求$AB$的长。
答案
解：（1）PB=PC。理由如下：
因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB。
因为BN，CM为△ABC的高，
所以∠BMC=∠BNC=90°，
所以∠ABC+∠BCM=90°，∠ACB+∠NBC=90°。
所以∠BCM=∠NBC，所以PB=PC。
（2）因为PB=PC，PB=5，所以PC=5。
因为PN=3，∠PNC=90°，所以NC=4。
设AB=AC=x，则AN=x - 4。
在△ABN中，AB²=BN²+AN²，即x²=(5 + 3)²+(x - 4)²，解得x=10。
因为AB=AC，所以∠ABC=∠ACB。
因为BN，CM为△ABC的高，
所以∠BMC=∠BNC=90°，
所以∠ABC+∠BCM=90°，∠ACB+∠NBC=90°。
所以∠BCM=∠NBC，所以PB=PC。
（2）因为PB=PC，PB=5，所以PC=5。
因为PN=3，∠PNC=90°，所以NC=4。
设AB=AC=x，则AN=x - 4。
在△ABN中，AB²=BN²+AN²，即x²=(5 + 3)²+(x - 4)²，解得x=10。
9. 有一个面积为$1$的正方形,经过一次“生长”后,在它的左右肩上生出两个小正方形,其中,三个正方形围成的三角形是直角三角形,再经过一次“生长”后,变成了如图所示的图形。如果继续“生长”下去,它将变得“枝繁叶茂”。请你算出“生长”了$2026$次后形成的图形中所有的正方形的面积和是(
A.$1$
B.$2025$
C.$2027$
D.$2026$
C
)。A.$1$
B.$2025$
C.$2027$
D.$2026$
答案
C
解析
初始正方形面积为1。
第一次“生长”：设直角三角形两直角边对应正方形面积为$S_1$、$S_2$，斜边对应原正方形面积1。由勾股定理，$S_1 + S_2 = 1$，新增面积和为1，此时总面积为$1 + 1 = 2$。
第二次“生长”：每个小正方形“生长”新增面积和等于其自身面积。新增面积和为$S_1 + S_2 = 1$，此时总面积为$2 + 1 = 3$。
规律：每次“生长”新增面积为1，“生长”n次后总面积为$1 + n$。
“生长”2026次后，总面积为$1 + 2026 = 2027$。
C
第一次“生长”：设直角三角形两直角边对应正方形面积为$S_1$、$S_2$，斜边对应原正方形面积1。由勾股定理，$S_1 + S_2 = 1$，新增面积和为1，此时总面积为$1 + 1 = 2$。
第二次“生长”：每个小正方形“生长”新增面积和等于其自身面积。新增面积和为$S_1 + S_2 = 1$，此时总面积为$2 + 1 = 3$。
规律：每次“生长”新增面积为1，“生长”n次后总面积为$1 + n$。
“生长”2026次后，总面积为$1 + 2026 = 2027$。
C
10. 如图,在$\triangle ABC$中,$CE平分\angle ACB$,$CF平分\angle ACD$,且$EF// BC$,$EF与AC交于点M$。若$CM = 5$,求$CE^{2}+CF^{2}$的值。
答案
解：如图。
因为CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
所以∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∠3=∠4=$\frac{1}{2}$∠ACD。
所以∠2+∠3=$\frac{1}{2}$(∠ACB+∠ACD)=90°。所以△CEF是直角三角形。
因为EF//BC，
所以∠1=∠5，∠4=∠F。
所以∠2=∠5，∠3=∠F。
所以EM=CM，CM=MF。
因为CM=5，所以EF=5 + 5=10。
在Rt△CEF中，CE²+CF²=EF²=10²=100。
因为CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
所以∠1=∠2=$\frac{1}{2}$∠ACB，
∠3=∠4=$\frac{1}{2}$∠ACD。
所以∠2+∠3=$\frac{1}{2}$(∠ACB+∠ACD)=90°。所以△CEF是直角三角形。
因为EF//BC，
所以∠1=∠5，∠4=∠F。
所以∠2=∠5，∠3=∠F。
所以EM=CM，CM=MF。
因为CM=5，所以EF=5 + 5=10。
在Rt△CEF中，CE²+CF²=EF²=10²=100。
