16. 已知$|m| = 2$,$|n| = 3$,求$m + n^{2}$的值。

11 或 7

因为$|m| = 2$，所以$m = \pm 2$；
因为$|n| = 3$，所以$n^2 = |n|^2 = 3^2 = 9$。
当$m = 2$时，$m + n^2 = 2 + 9 = 11$；
当$m = -2$时，$m + n^2 = -2 + 9 = 7$。
综上，$m + n^2$的值为11或7。

17. 观察下列一组数：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…$$。其中每个数$n都连续出现n$次,那么这一组数的第119个数是多少？

15

设第119个数是$n$。因为每个数$k$连续出现$k$次，所以前$n-1$个数的总个数为$1 + 2 + 3 + \cdots + (n - 1)=\frac{(n - 1)n}{2}$，前$n$个数的总个数为$1 + 2 + \cdots + n=\frac{n(n + 1)}{2}$。
令$\frac{(n - 1)n}{2} ＜ 119 \leq \frac{n(n + 1)}{2}$。
当$n = 15$时，$\frac{(15 - 1)×15}{2}=105$，$\frac{15×(15 + 1)}{2}=120$。
因为$105 ＜ 119 \leq 120$，所以第119个数是15。
15

18. (综合与实践)观察下列解题过程。
计算$1 + 5 + 5^{2} + 5^{3} + … + 5^{24} + 5^{25}$的值。
解：设$s = 1 + 5 + 5^{2} + 5^{3} + … + 5^{24} + 5^{25}$,
则$5s = 5 + 5^{2} + 5^{3} + … + 5^{25} + 5^{26}$,
故$s = \frac{5^{26} - 1}{4}$。即原式$= \frac{5^{26} - 1}{4}$。
通过阅读,你一定学会了这种解决问题的方法,请用你学到的方法计算：
$1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + … + 3^{9} + 3^{10}$。

解：设$s=1+3+3^{2}+3^{3}+\cdots +3^{9}+3^{10}$，则$3s=3+3^{2}+3^{3}+3^{4}+\cdots +3^{10}+3^{11}$，故$s=\dfrac{3^{11}-1}{2}$。

解：设$s = 1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + \cdots + 3^{9} + 3^{10}$，则$3s = 3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + \cdots + 3^{10} + 3^{11}$，两式相减得$3s - s=(3 + 3^{2} + 3^{3} + 3^{4} + \cdots + 3^{10} + 3^{11})-(1 + 3 + 3^{2} + 3^{3} + \cdots + 3^{9} + 3^{10})$，即$2s = 3^{11}-1$，故$s=\dfrac{3^{11}-1}{2}$。即原式$=\dfrac{3^{11}-1}{2}$。